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Theorem cnfcom3OLD 8173
Description: Any infinite ordinal  B is equinumerous to a power of  om. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3cOLD 8175.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3 8165 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcomOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcomOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcomOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcomOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcomOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcomOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcomOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcomOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcomOLD.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3OLD.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
cnfcomOLD.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcomOLD.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcomOLD.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3OLD  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    u, k,
v, x, z    x, M    ph, u, v    f,
k, u, v, x, z, F    u, K, v    u, T, v, z   
u, W, v, x   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( v, u, f)    B( x, z, v, u, f, k)    S( x, v, u, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, v, u, f, k)    N( x, z, v, u, f, k)    W( z, f, k)    X( x, z, v, u, f, k)    Y( x, z, v, u, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3OLD
StepHypRef Expression
1 omelon 8080 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 cnfcomOLD.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 8154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1210, 11ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
134, 12syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
145, 6, 2cantnfsOLD 8132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
17 fdm 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
193, 18syl5sseq 3547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
20 cnfcomOLD.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
21 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
224, 21eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  e. 
_V
2322cnvex 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' F  e.  _V
24 imaexg 6736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
25 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2625oion 7979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  G  e.  On
2827elexi 3119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  G  e.  _V
2928uniex 6595 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  G  e.  _V
3029sucid 4966 . . . . . . . . . . 11  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
31 cnfcomOLD.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
32 cnfcomOLD.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
33 cnfcomOLD.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
34 cnfcomOLD.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
35 cnfcom3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
36 peano1 6718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3835, 37sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
395, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 38cnfcom2lemOLD 8170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4030, 39syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4125oif 7973 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4241ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4420, 43syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4519, 44sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
46 onelon 4912 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  W  e.  A )  ->  W  e.  On )
472, 45, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
48 oecl 7205 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
491, 47, 48sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
5016, 45ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  om )
51 nnon 6705 . . . . . 6  |-  ( ( F `  W )  e.  om  ->  ( F `  W )  e.  On )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  On )
53 cnfcomOLD.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
54 cnfcomOLD.x . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
5553, 54omf1o 7639 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( F `  W )  e.  On )  -> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
5649, 52, 55syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
57 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
58 elpreima 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  ( W  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o ) ) ) )
5916, 57, 583syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( W  e.  A  /\  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
6044, 59mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) )
6160simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
62 dif1o 7168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 W )  e. 
_V  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6362simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( F `
 W )  =/=  (/) )
6461, 63syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  =/=  (/) )
65 on0eln0 4942 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6650, 51, 653syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6764, 66mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  W ) )
685, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 35cnfcom3lemOLD 8172 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
69 ondif1 7169 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W
) )
7069simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  W
)
7168, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  W )
72 omabs 7314 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  W )  e.  om  /\  (/)  e.  ( F `  W ) )  /\  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W ) )  ->  ( ( F `
 W )  .o  ( om  ^o  W
) )  =  ( om  ^o  W ) )
7350, 67, 47, 71, 72syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  .o  ( om  ^o  W ) )  =  ( om  ^o  W ) )
74 f1oeq3 5815 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7573, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7656, 75mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
775, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 38cnfcom2OLD 8171 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
78 f1oco 5844 . . 3  |-  ( ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  /\  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) )  ->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
7976, 77, 78syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
80 cnfcomOLD.n . . 3  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
81 f1oeq1 5813 . . 3  |-  ( N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )  -> 
( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
8280, 81ax-mp 5 . 2  |-  ( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
8379, 82sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515    _E cep 4798   Oncon0 4887   suc csuc 4889   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   omcom 6699  seq𝜔cseqom 7130   1oc1o 7141    +o coa 7145    .o comu 7146    ^o coe 7147   Fincfn 7535  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096
This theorem is referenced by:  cnfcom3clemOLD  8174
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