MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3OLD Structured version   Unicode version

Theorem cnfcom3OLD 7957
Description: Any infinite ordinal  B is equinumerous to a power of  om. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3cOLD 7959.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3 7949 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcomOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcomOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcomOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcomOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcomOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcomOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcomOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcomOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcomOLD.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3OLD.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
cnfcomOLD.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcomOLD.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcomOLD.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3OLD  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    u, k,
v, x, z    x, M    ph, u, v    f,
k, u, v, x, z, F    u, K, v    u, T, v, z   
u, W, v, x   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( v, u, f)    B( x, z, v, u, f, k)    S( x, v, u, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, v, u, f, k)    N( x, z, v, u, f, k)    W( z, f, k)    X( x, z, v, u, f, k)    Y( x, z, v, u, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3OLD
StepHypRef Expression
1 omelon 7864 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 cnfcomOLD.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5201 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 7938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1210, 11ffvelrnd 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
134, 12syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
145, 6, 2cantnfsOLD 7916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
17 fdm 5575 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
193, 18syl5sseq 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
20 cnfcomOLD.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
21 fvex 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
224, 21eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  e. 
_V
2322cnvex 6537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' F  e.  _V
24 imaexg 6527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
25 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2625oion 7762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  G  e.  On
2827elexi 2994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  G  e.  _V
2928uniex 6388 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  G  e.  _V
3029sucid 4810 . . . . . . . . . . 11  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
31 cnfcomOLD.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
32 cnfcomOLD.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
33 cnfcomOLD.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
34 cnfcomOLD.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
35 cnfcom3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
36 peano1 6507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3835, 37sseldd 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
395, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 38cnfcom2lemOLD 7954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4030, 39syl5eleqr 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4125oif 7756 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4241ffvelrni 5854 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4340, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4420, 43syl5eqel 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4519, 44sseldd 3369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
46 onelon 4756 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  W  e.  A )  ->  W  e.  On )
472, 45, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
48 oecl 6989 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
491, 47, 48sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
5016, 45ffvelrnd 5856 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  om )
51 nnon 6494 . . . . . 6  |-  ( ( F `  W )  e.  om  ->  ( F `  W )  e.  On )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  On )
53 cnfcomOLD.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
54 cnfcomOLD.x . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
5553, 54omf1o 7426 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( F `  W )  e.  On )  -> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
5649, 52, 55syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
57 ffn 5571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
58 elpreima 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  ( W  e.  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o ) ) ) )
5916, 57, 583syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( W  e.  A  /\  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
6044, 59mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) )
6160simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
62 dif1o 6952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 W )  e. 
_V  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6362simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( F `
 W )  =/=  (/) )
6461, 63syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  =/=  (/) )
65 on0eln0 4786 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6650, 51, 653syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6764, 66mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  W ) )
685, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 35cnfcom3lemOLD 7956 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
69 ondif1 6953 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W
) )
7069simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  W
)
7168, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  W )
72 omabs 7098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  W )  e.  om  /\  (/)  e.  ( F `  W ) )  /\  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W ) )  ->  ( ( F `
 W )  .o  ( om  ^o  W
) )  =  ( om  ^o  W ) )
7350, 67, 47, 71, 72syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  .o  ( om  ^o  W ) )  =  ( om  ^o  W ) )
74 f1oeq3 5646 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7573, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7656, 75mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
775, 2, 11, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 20, 38cnfcom2OLD 7955 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
78 f1oco 5675 . . 3  |-  ( ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  /\  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) )  ->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
7976, 77, 78syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
80 cnfcomOLD.n . . 3  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
81 f1oeq1 5644 . . 3  |-  ( N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )  -> 
( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
8280, 81ax-mp 5 . 2  |-  ( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
8379, 82sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338    C_ wss 3340   (/)c0 3649   U.cuni 4103    e. cmpt 4362    _E cep 4642   Oncon0 4731   suc csuc 4733   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   "cima 4855    o. ccom 4856    Fn wfn 5425   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   omcom 6488  seq𝜔cseqom 6914   1oc1o 6925    +o coa 6929    .o comu 6930    ^o coe 6931   Fincfn 7322  OrdIsocoi 7735   CNF ccnf 7879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-seqom 6915  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-oexp 6938  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-oi 7736  df-cnf 7880
This theorem is referenced by:  cnfcom3clemOLD  7958
  Copyright terms: Public domain W3C validator