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Theorem cnfcom3 8149
Description: Any infinite ordinal  B is equinumerous to a power of  om. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 8151.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
cnfcom.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    u, k,
v, x, z    x, M    ph, u, v    f,
k, u, v, x, z, F    u, K, v    u, T, v, z   
u, W, v, x   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( v, u, f)    B( x, z, v, u, f, k)    S( x, v, u, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, v, u, f, k)    N( x, z, v, u, f, k)    W( z, f, k)    X( x, z, v, u, f, k)    Y( x, z, v, u, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 8064 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 cnfcom.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 suppssdm 6915 . . . . . . . . 9  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 8138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1210, 11ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
134, 12syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
145, 6, 2cantnfs 8086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  F finSupp  (/) ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
17 fdm 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
193, 18syl5sseq 3552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  A )
20 cnfcom.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
21 ovex 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F supp  (/) )  e.  _V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
2322oion 7962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F supp  (/) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  G  e.  On
2524elexi 3123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  G  e.  _V
2625uniex 6581 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  G  e.  _V
2726sucid 4957 . . . . . . . . . . 11  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
28 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
29 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
30 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
31 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
33 peano1 6704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3532, 34sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
365, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2lem 8146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
3727, 36syl5eleqr 2562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
3822oif 7956 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
3938ffvelrni 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4120, 40syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( F supp  (/) ) )
4219, 41sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
43 onelon 4903 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  W  e.  A )  ->  W  e.  On )
442, 42, 43syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
45 oecl 7188 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
461, 44, 45sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
4716, 42ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  om )
48 nnon 6691 . . . . . 6  |-  ( ( F `  W )  e.  om  ->  ( F `  W )  e.  On )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  On )
50 cnfcom.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
51 cnfcom.x . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
5250, 51omf1o 7621 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( F `  W )  e.  On )  -> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
5346, 49, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
54 ffn 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
56 0ex 4577 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
58 elsuppfn 6910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  On  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) ) )
5955, 2, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  =/=  (/) )  ->  ( F `  W )  =/=  (/) )
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( F supp  (/) )  ->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6241, 61mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  =/=  (/) )
63 on0eln0 4933 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6447, 48, 633syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6562, 64mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  W ) )
665, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 32cnfcom3lem 8148 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
67 ondif1 7152 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W
) )
6867simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  W
)
6966, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  W )
70 omabs 7297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  W )  e.  om  /\  (/)  e.  ( F `  W ) )  /\  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W ) )  ->  ( ( F `
 W )  .o  ( om  ^o  W
) )  =  ( om  ^o  W ) )
7147, 65, 44, 69, 70syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  .o  ( om  ^o  W ) )  =  ( om  ^o  W ) )
72 f1oeq3 5809 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7371, 72syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7453, 73mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
755, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2 8147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
76 f1oco 5838 . . 3  |-  ( ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  /\  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) )  ->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
7774, 75, 76syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
78 cnfcom.n . . 3  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
79 f1oeq1 5807 . . 3  |-  ( N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )  -> 
( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
8078, 79ax-mp 5 . 2  |-  ( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
8177, 80sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _E cep 4789   Oncon0 4878   suc csuc 4880   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   omcom 6685   supp csupp 6902  seq𝜔cseqom 7113   1oc1o 7124    +o coa 7128    .o comu 7129    ^o coe 7130   finSupp cfsupp 7830  OrdIsocoi 7935   CNF ccnf 8079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-seqom 7114  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-oexp 7137  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-cnf 8080
This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  8150
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