Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3 Structured version   Unicode version

Theorem cnfcom3 8165
 Description: Any infinite ordinal is equinumerous to a power of . (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 8167.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s CNF
cnfcom.a
cnfcom.b
cnfcom.f CNF
cnfcom.g OrdIso supp
cnfcom.h seq𝜔
cnfcom.t seq𝜔
cnfcom.m
cnfcom.k
cnfcom.w
cnfcom3.1
cnfcom.x
cnfcom.y
cnfcom.n
Assertion
Ref Expression
cnfcom3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,   ,,   ,,,,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 8080 . . . . . 6
2 cnfcom.a . . . . . . 7
3 suppssdm 6930 . . . . . . . . 9 supp
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13 CNF
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 CNF
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75, 6, 2cantnff1o 8154 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF
8 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
9 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15 CNF CNF
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14 CNF
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13 CNF
134, 12syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12
145, 6, 2cantnfs 8102 . . . . . . . . . . . 12 finSupp
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . 11 finSupp
1615simpld 459 . . . . . . . . . 10
17 fdm 5741 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9
193, 18syl5sseq 3547 . . . . . . . 8 supp
20 cnfcom.w . . . . . . . . 9
21 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 OrdIso supp
2322oion 7979 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
2524elexi 3119 . . . . . . . . . . . . 13
2625uniex 6595 . . . . . . . . . . . 12
2726sucid 4966 . . . . . . . . . . 11
28 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔
29 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12 seq𝜔
30 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12
31 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13
33 peano1 6718 . . . . . . . . . . . . . 14
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 34sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12
365, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2lem 8162 . . . . . . . . . . 11
3727, 36syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . 10
3822oif 7973 . . . . . . . . . . 11 supp
3938ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10 supp
4037, 39syl 16 . . . . . . . . 9 supp
4120, 40syl5eqel 2549 . . . . . . . 8 supp
4219, 41sseldd 3500 . . . . . . 7
43 onelon 4912 . . . . . . 7
442, 42, 43syl2anc 661 . . . . . 6
45 oecl 7205 . . . . . 6
461, 44, 45sylancr 663 . . . . 5
4716, 42ffvelrnd 6033 . . . . . 6
48 nnon 6705 . . . . . 6
4947, 48syl 16 . . . . 5
50 cnfcom.y . . . . . 6
51 cnfcom.x . . . . . 6
5250, 51omf1o 7639 . . . . 5
5346, 49, 52syl2anc 661 . . . 4
54 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10
56 0ex 4587 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
58 elsuppfn 6925 . . . . . . . . . 10 supp
5955, 2, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 supp
60 simpr 461 . . . . . . . . 9
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . 8 supp
6241, 61mpd 15 . . . . . . 7
63 on0eln0 4942 . . . . . . . 8
6447, 48, 633syl 20 . . . . . . 7
6562, 64mpbird 232 . . . . . 6
665, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 32cnfcom3lem 8164 . . . . . . 7
67 ondif1 7169 . . . . . . . 8
6867simprbi 464 . . . . . . 7
6966, 68syl 16 . . . . . 6
70 omabs 7314 . . . . . 6
7147, 65, 44, 69, 70syl22anc 1229 . . . . 5
72 f1oeq3 5815 . . . . 5
7371, 72syl 16 . . . 4
7453, 73mpbid 210 . . 3
755, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2 8163 . . 3
76 f1oco 5844 . . 3
7774, 75, 76syl2anc 661 . 2
78 cnfcom.n . . 3
79 f1oeq1 5813 . . 3
8078, 79ax-mp 5 . 2
8177, 80sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469   wss 3471  c0 3793  cuni 4251   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cep 4798  con0 4887   csuc 4889  ccnv 5007   cdm 5008   ccom 5012   wfn 5589  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  com 6699   supp csupp 6917  seq𝜔cseqom 7130  c1o 7141   coa 7145   comu 7146   coe 7147   finSupp cfsupp 7847  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096 This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  8166
 Copyright terms: Public domain W3C validator