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Theorem cnfcom3 7937
Description: Any infinite ordinal  B is equinumerous to a power of  om. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 7939.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
cnfcom.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    u, k,
v, x, z    x, M    ph, u, v    f,
k, u, v, x, z, F    u, K, v    u, T, v, z   
u, W, v, x   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( v, u, f)    B( x, z, v, u, f, k)    S( x, v, u, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, v, u, f, k)    N( x, z, v, u, f, k)    W( z, f, k)    X( x, z, v, u, f, k)    Y( x, z, v, u, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3
StepHypRef Expression
1 omelon 7852 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 cnfcom.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 suppssdm 6703 . . . . . . . . 9  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 7926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcom.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1210, 11ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
134, 12syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
145, 6, 2cantnfs 7874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  F finSupp  (/) ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
17 fdm 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
193, 18syl5sseq 3404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  A )
20 cnfcom.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
21 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F supp  (/) )  e.  _V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
2322oion 7750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F supp  (/) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  G  e.  On
2524elexi 2982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  G  e.  _V
2625uniex 6376 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  G  e.  _V
2726sucid 4798 . . . . . . . . . . 11  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
28 cnfcom.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
29 cnfcom.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
30 cnfcom.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
31 cnfcom.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
33 peano1 6495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  om
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3532, 34sseldd 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
365, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2lem 7934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
3727, 36syl5eleqr 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
3822oif 7744 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
3938ffvelrni 5842 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4120, 40syl5eqel 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( F supp  (/) ) )
4219, 41sseldd 3357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  A )
43 onelon 4744 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  W  e.  A )  ->  W  e.  On )
442, 42, 43syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
45 oecl 6977 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  W  e.  On )  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
461, 44, 45sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  W
)  e.  On )
4716, 42ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  om )
48 nnon 6482 . . . . . 6  |-  ( ( F `  W )  e.  om  ->  ( F `  W )  e.  On )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  e.  On )
50 cnfcom.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
51 cnfcom.x . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
5250, 51omf1o 7414 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  e.  On  /\  ( F `  W )  e.  On )  -> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
5346, 49, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) ) )
54 ffn 5559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
56 0ex 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
58 elsuppfn 6698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  On  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) ) )
5955, 2, 57, 58syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( F supp  (/) )  <->  ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  =/=  (/) ) ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  A  /\  ( F `  W )  =/=  (/) )  ->  ( F `  W )  =/=  (/) )
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( W  e.  ( F supp  (/) )  ->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6241, 61mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  W
)  =/=  (/) )
63 on0eln0 4774 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  W )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6447, 48, 633syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  W )  <->  ( F `  W )  =/=  (/) ) )
6562, 64mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  W ) )
665, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 32cnfcom3lem 7936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
67 ondif1 6941 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W
) )
6867simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  ->  (/)  e.  W
)
6966, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  W )
70 omabs 7086 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  W )  e.  om  /\  (/)  e.  ( F `  W ) )  /\  ( W  e.  On  /\  (/)  e.  W ) )  ->  ( ( F `
 W )  .o  ( om  ^o  W
) )  =  ( om  ^o  W ) )
7147, 65, 44, 69, 70syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  W )  .o  ( om  ^o  W ) )  =  ( om  ^o  W ) )
72 f1oeq3 5634 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7371, 72syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( ( F `  W
)  .o  ( om 
^o  W ) )  <-> 
( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
7453, 73mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) )
755, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35cnfcom2 7935 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
76 f1oco 5663 . . 3  |-  ( ( ( X  o.  `' Y ) : ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  /\  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) )  ->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
7774, 75, 76syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
78 cnfcom.n . . 3  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
79 f1oeq1 5632 . . 3  |-  ( N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )  -> 
( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W )  <->  ( ( X  o.  `' Y
)  o.  ( T `
 dom  G )
) : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) ) )
8078, 79ax-mp 5 . 2  |-  ( N : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  <->  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) ) : B -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
8177, 80sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  N : B -1-1-onto-> ( om 
^o  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    _E cep 4630   Oncon0 4719   suc csuc 4721   `'ccnv 4839   dom cdm 4840    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   omcom 6476   supp csupp 6690  seq𝜔cseqom 6902   1oc1o 6913    +o coa 6917    .o comu 6918    ^o coe 6919   finSupp cfsupp 7620  OrdIsocoi 7723   CNF ccnf 7867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-seqom 6903  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-oexp 6926  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-cnf 7868
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