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Theorem cnfcom2OLD 8171
Description: Any nonzero ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom2 8163 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcomOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcomOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcomOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcomOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcomOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcomOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcomOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcomOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcomOLD.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom2OLD.1  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom2OLD  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom2OLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.s . . . . 5  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 cnfcomOLD.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnfcomOLD.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
4 cnfcomOLD.f . . . . 5  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcomOLD.g . . . . 5  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6 cnfcomOLD.h . . . . 5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
7 cnfcomOLD.t . . . . 5  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
8 cnfcomOLD.m . . . . 5  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
9 cnfcomOLD.k . . . . 5  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
10 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
114, 10eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  F  e. 
_V
1211cnvex 6746 . . . . . . . . . 10  |-  `' F  e.  _V
13 imaexg 6736 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
145oion 7979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  On
1615elexi 3119 . . . . . . . 8  |-  dom  G  e.  _V
1716uniex 6595 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  _V
1817sucid 4966 . . . . . 6  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
19 cnfcomOLD.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
20 cnfcom2OLD.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lemOLD 8170 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
2218, 21syl5eleqr 2552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcomOLD 8169 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2419oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  W )  =  ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )
2519fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( F `
 W )  =  ( F `  ( G `  U. dom  G
) )
2624, 25oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )
27 f1oeq3 5815 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )  -> 
( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2923, 28sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
3021fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G )  =  ( T `
 suc  U. dom  G
) )
31 f1oeq1 5813 . . . 4  |-  ( ( T `  dom  G
)  =  ( T `
 suc  U. dom  G
)  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
3329, 32mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : ( H `
 suc  U. dom  G
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
) )
344fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
35 omelon 8080 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
371, 36, 2cantnff1o 8154 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
38 f1ocnv 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
39 f1of 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
4140, 3ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
424, 41syl5eqel 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
438oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
4544mpt2eq3ia 6361 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
46 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
47 seqomeq12 7137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
496, 48eqtri 2486 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
501, 36, 2, 5, 42, 49cantnfvalOLD 8134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
5134, 50syl5reqr 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
) )
5221fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( H `
 suc  U. dom  G
) )
53 f1ocnvfv2 6184 . . . . 5  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
5437, 3, 53syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5551, 52, 543eqtr3d 2506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  U.
dom  G )  =  B )
56 f1oeq2 5814 . . 3  |-  ( ( H `  suc  U. dom  G )  =  B  ->  ( ( T `
 dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
5833, 57mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469   (/)c0 3793   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515    _E cep 4798   Oncon0 4887   suc csuc 4889   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   omcom 6699  seq𝜔cseqom 7130   1oc1o 7141    +o coa 7145    .o comu 7146    ^o coe 7147  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096
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