Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2OLD Structured version   Unicode version

Theorem cnfcom2OLD 8171
 Description: Any nonzero ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom2 8163 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s CNF
cnfcomOLD.a
cnfcomOLD.b
cnfcomOLD.f CNF
cnfcomOLD.g OrdIso
cnfcomOLD.h seq𝜔
cnfcomOLD.t seq𝜔
cnfcomOLD.m
cnfcomOLD.k
cnfcomOLD.w
cnfcom2OLD.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom2OLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem cnfcom2OLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.s . . . . 5 CNF
2 cnfcomOLD.a . . . . 5
3 cnfcomOLD.b . . . . 5
4 cnfcomOLD.f . . . . 5 CNF
5 cnfcomOLD.g . . . . 5 OrdIso
6 cnfcomOLD.h . . . . 5 seq𝜔
7 cnfcomOLD.t . . . . 5 seq𝜔
8 cnfcomOLD.m . . . . 5
9 cnfcomOLD.k . . . . 5
10 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12 CNF
114, 10eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
1211cnvex 6746 . . . . . . . . . 10
13 imaexg 6736 . . . . . . . . . 10
145oion 7979 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9
1615elexi 3119 . . . . . . . 8
1716uniex 6595 . . . . . . 7
1817sucid 4966 . . . . . 6
19 cnfcomOLD.w . . . . . . 7
20 cnfcom2OLD.1 . . . . . . 7
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lemOLD 8170 . . . . . 6
2218, 21syl5eleqr 2552 . . . . 5
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcomOLD 8169 . . . 4
2419oveq2i 6307 . . . . . 6
2519fveq2i 5875 . . . . . 6
2624, 25oveq12i 6308 . . . . 5
27 f1oeq3 5815 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
2923, 28sylibr 212 . . 3
3021fveq2d 5876 . . . 4
31 f1oeq1 5813 . . . 4
3230, 31syl 16 . . 3
3329, 32mpbird 232 . 2
344fveq2i 5875 . . . . 5 CNF CNF CNF
35 omelon 8080 . . . . . . 7
3635a1i 11 . . . . . 6
371, 36, 2cantnff1o 8154 . . . . . . . . 9 CNF
38 f1ocnv 5834 . . . . . . . . 9 CNF CNF
39 f1of 5822 . . . . . . . . 9 CNF CNF
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . 8 CNF
4140, 3ffvelrnd 6033 . . . . . . 7 CNF
424, 41syl5eqel 2549 . . . . . 6
438oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
4443a1i 11 . . . . . . . . 9
4544mpt2eq3ia 6361 . . . . . . . 8
46 eqid 2457 . . . . . . . 8
47 seqomeq12 7137 . . . . . . . 8 seq𝜔 seq𝜔
4845, 46, 47mp2an 672 . . . . . . 7 seq𝜔 seq𝜔
496, 48eqtri 2486 . . . . . 6 seq𝜔
501, 36, 2, 5, 42, 49cantnfvalOLD 8134 . . . . 5 CNF
5134, 50syl5reqr 2513 . . . 4 CNF CNF
5221fveq2d 5876 . . . 4
53 f1ocnvfv2 6184 . . . . 5 CNF CNF CNF
5437, 3, 53syl2anc 661 . . . 4 CNF CNF
5551, 52, 543eqtr3d 2506 . . 3
56 f1oeq2 5814 . . 3
5755, 56syl 16 . 2
5833, 57mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469  c0 3793  cuni 4251   cmpt 4515   cep 4798  con0 4887   csuc 4889  ccnv 5007   cdm 5008  cima 5011  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  com 6699  seq𝜔cseqom 7130  c1o 7141   coa 7145   comu 7146   coe 7147  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096 This theorem is referenced by:  cnfcom3OLD  8173
 Copyright terms: Public domain W3C validator