MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom2 Structured version   Unicode version

Theorem cnfcom2 8045
Description: Any nonzero ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom2.1  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 cnfcom.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnfcom.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
4 cnfcom.f . . . . 5  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.g . . . . 5  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
6 cnfcom.h . . . . 5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
7 cnfcom.t . . . . 5  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
8 cnfcom.m . . . . 5  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
9 cnfcom.k . . . . 5  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
10 ovex 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( F supp  (/) )  e.  _V
115oion 7860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F supp  (/) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  On
1312elexi 3086 . . . . . . . 8  |-  dom  G  e.  _V
1413uniex 6485 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  _V
1514sucid 4905 . . . . . 6  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
16 cnfcom.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
17 cnfcom2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17cnfcom2lem 8044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
1915, 18syl5eleqr 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19cnfcom 8043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2116oveq2i 6210 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  W )  =  ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )
2216fveq2i 5801 . . . . . 6  |-  ( F `
 W )  =  ( F `  ( G `  U. dom  G
) )
2321, 22oveq12i 6211 . . . . 5  |-  ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )
24 f1oeq3 5741 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )  -> 
( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2620, 25sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
2718fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G )  =  ( T `
 suc  U. dom  G
) )
28 f1oeq1 5739 . . . 4  |-  ( ( T `  dom  G
)  =  ( T `
 suc  U. dom  G
)  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
2927, 28syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
3026, 29mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : ( H `
 suc  U. dom  G
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
) )
314fveq2i 5801 . . . . 5  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
32 omelon 7962 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
341, 33, 2cantnff1o 8036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
35 f1ocnv 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
36 f1of 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
3837, 3ffvelrnd 5952 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
394, 38syl5eqel 2546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
408oveq1i 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
4241mpt2eq3ia 6259 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
43 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
44 seqomeq12 7018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
466, 45eqtri 2483 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
471, 33, 2, 5, 39, 46cantnfval 7986 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
4831, 47syl5reqr 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
) )
4918fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( H `
 suc  U. dom  G
) )
50 f1ocnvfv2 6092 . . . . 5  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
5134, 3, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5248, 49, 513eqtr3d 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  U.
dom  G )  =  B )
53 f1oeq2 5740 . . 3  |-  ( ( H `  suc  U. dom  G )  =  B  ->  ( ( T `
 dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
5452, 53syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
5530, 54mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    u. cun 3433   (/)c0 3744   U.cuni 4198    |-> cmpt 4457    _E cep 4737   Oncon0 4826   suc csuc 4828   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    |-> cmpt2 6201   omcom 6585   supp csupp 6799  seq𝜔cseqom 7011    +o coa 7026    .o comu 7027    ^o coe 7028  OrdIsocoi 7833   CNF ccnf 7977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-seqom 7012  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-oexp 7035  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-oi 7834  df-cnf 7978
This theorem is referenced by:  cnfcom3  8047
  Copyright terms: Public domain W3C validator