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Theorem cnfcom2 7615
Description: Any nonzero ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom2.1  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom2
StepHypRef Expression
1 cnfcom.s . . . . 5  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 cnfcom.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnfcom.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
4 cnfcom.f . . . . 5  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.g . . . . 5  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6 cnfcom.h . . . . 5  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
7 cnfcom.t . . . . 5  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
8 cnfcom.m . . . . 5  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
9 cnfcom.k . . . . 5  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
10 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
114, 10eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  F  e. 
_V
1211cnvex 5365 . . . . . . . . . 10  |-  `' F  e.  _V
13 imaexg 5176 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
145oion 7461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  On
1615elexi 2925 . . . . . . . 8  |-  dom  G  e.  _V
1716uniex 4664 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  _V
1817sucid 4620 . . . . . 6  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
19 cnfcom.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
20 cnfcom2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 20cnfcom2lem 7614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
2218, 21syl5eleqr 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22cnfcom 7613 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2419oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( om 
^o  W )  =  ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )
2519fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( F `
 W )  =  ( F `  ( G `  U. dom  G
) )
2624, 25oveq12i 6052 . . . . 5  |-  ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )
27 f1oeq3 5626 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  U. dom  G ) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) )  -> 
( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  U. dom  G
) )  .o  ( F `  ( G `  U. dom  G ) ) ) )
2923, 28sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
3021fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G )  =  ( T `
 suc  U. dom  G
) )
31 f1oeq1 5624 . . . 4  |-  ( ( T `  dom  G
)  =  ( T `
 suc  U. dom  G
)  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  suc  U.
dom  G ) : ( H `  suc  U.
dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  suc  U. dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
3329, 32mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : ( H `
 suc  U. dom  G
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
) )
344fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
35 omelon 7557 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
371, 36, 2cantnff1o 7608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
38 f1ocnv 5646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
39 f1of 5633 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
4037, 38, 393syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
4140, 3ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
424, 41syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
438oveq1i 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
4544mpt2eq3ia 6098 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
46 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
47 seqomeq12 6670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
4845, 46, 47mp2an 654 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
496, 48eqtri 2424 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
501, 36, 2, 5, 42, 49cantnfval 7579 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  ( H `  dom  G ) )
5134, 50syl5reqr 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
) )
5221fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  dom  G )  =  ( H `
 suc  U. dom  G
) )
53 f1ocnvfv2 5974 . . . . 5  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
5437, 3, 53syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5551, 52, 543eqtr3d 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  U.
dom  G )  =  B )
56 f1oeq2 5625 . . 3  |-  ( ( H `  suc  U. dom  G )  =  B  ->  ( ( T `
 dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) )  <-> 
( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) ) )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  dom  G ) : ( H `  suc  U. dom  G ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W )
)  <->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> (
( om  ^o  W
)  .o  ( F `
 W ) ) ) )
5833, 57mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( T `  dom  G ) : B -1-1-onto-> ( ( om  ^o  W )  .o  ( F `  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278   (/)c0 3588   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    _E cep 4452   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042  seq𝜔cseqom 6663   1oc1o 6676    +o coa 6680    .o comu 6681    ^o coe 6682  OrdIsocoi 7434   CNF ccnf 7572
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-oexp 6689  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-cnf 7573
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