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Theorem cnfcom 7954
Description: Any ordinal  B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.1  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
Assertion
Ref Expression
cnfcom  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    k, I, x, z    x, M    f,
k, x, z, F   
z, T    f, G, k, x, z    f, H, x    S, k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, k)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    I( f)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcom.1 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
2 cnfcom.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
3 omelon 7873 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
5 cnfcom.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
6 cnfcom.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
7 cnfcom.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
82, 4, 5cantnff1o 7947 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5662 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 5865 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
147, 13syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
152, 4, 5, 6, 14cantnfcl 7896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
1615simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
17 elnn 6507 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  G  /\  dom  G  e.  om )  ->  I  e.  om )
181, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  om )
19 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  I  ->  (
w  e.  dom  G  <->  I  e.  dom  G ) )
20 suceq 4805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  suc  w  =  suc  I )
2120fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  ( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  I ) )
2220fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  ( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  I ) )
23 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  I  ->  ( G `  w )  =  ( G `  I ) )
2423oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  ( om  ^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  I )
) )
2523fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  I  ->  ( F `  ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  I )
) )
2624, 25oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( w  =  I  ->  (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )
2721, 22, 26f1oeq123d 5659 . . . . . 6  |-  ( w  =  I  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
2819, 27imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  I  ->  (
( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( I  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) )
2928imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  I  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( I  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) ) ) )
30 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  dom  G  <->  (/)  e.  dom  G ) )
31 suceq 4805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
3231fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( T `
 suc  w )  =  ( T `  suc  (/) ) )
3331fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( H `
 suc  w )  =  ( H `  suc  (/) ) )
34 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G `
 w )  =  ( G `  (/) ) )
3534oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( om 
^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  (/) ) ) )
3634fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F `
 ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  (/) ) ) )
3735, 36oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( om  ^o  ( G `
 w ) )  .o  ( F `  ( G `  w ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
3832, 33, 37f1oeq123d 5659 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( T `  suc  w
) : ( H `
 suc  w ) -1-1-onto-> (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  (/) ) : ( H `
 suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
3930, 38imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) ) )
40 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  G  <->  y  e.  dom  G ) )
41 suceq 4805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  suc  w  =  suc  y )
4241fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  y ) )
4341fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  y ) )
44 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
4544oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( om  ^o  ( G `  w ) )  =  ( om  ^o  ( G `  y )
) )
4644fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( F `  ( G `  w ) )  =  ( F `  ( G `  y )
) )
4745, 46oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( om  ^o  ( G `  w )
)  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) ) )
4842, 43, 47f1oeq123d 5659 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
4940, 48imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( y  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  y ) : ( H `  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) ) )
50 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( w  e.  dom  G  <->  suc  y  e.  dom  G ) )
51 suceq 4805 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  ->  suc  w  =  suc  suc  y )
5251fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( T `  suc  w )  =  ( T `  suc  suc  y ) )
5351fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( H `  suc  w )  =  ( H `  suc  suc  y ) )
54 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( G `  w
)  =  ( G `
 suc  y )
)
5554oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( om  ^o  ( G `  w )
)  =  ( om 
^o  ( G `  suc  y ) ) )
5654fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( F `  ( G `  w )
)  =  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) )
5755, 56oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) )
5852, 53, 57f1oeq123d 5659 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( T `  suc  w ) : ( H `  suc  w
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) )  <-> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5950, 58imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  y  -> 
( ( w  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  w ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) )  <->  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  suc  y
) : ( H `
 suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
605adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  A  e.  On )
6112adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  B  e.  ( om  ^o  A ) )
62 cnfcom.h . . . . . . 7  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
63 cnfcom.t . . . . . . 7  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
64 cnfcom.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
65 cnfcom.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
66 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  dom  G )
673a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  om  e.  On )
68 suppssdm 6724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
692, 4, 5cantnfs 7895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
7014, 69mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  F finSupp  (/) ) )
7170simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
72 fdm 5584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7468, 73syl5sseq 3425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  A )
75 onss 6423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
7774, 76sstrd 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
786oif 7765 . . . . . . . . . 10  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
7978ffvelrni 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  ( F supp  (/) ) )
80 ssel2 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F supp  (/) )  C_  On  /\  ( G `  (/) )  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
8177, 79, 80syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( G `  (/) )  e.  On )
82 peano1 6516 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  om )
84 oen0 7046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  ( G `  (/) )  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  (/)  e.  ( om 
^o  ( G `  (/) ) ) )
8567, 81, 83, 84syl21anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 (/) ) ) )
86 0ex 4443 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
8763seqom0g 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( T `  (/) )  =  (/) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 (/) )  =  (/)
89 f1o0 5696 . . . . . . . . . 10  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
9062seqom0g 6932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( H `  (/) )  =  (/) )
91 f1oeq2 5654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  (/) )  =  (/)  ->  ( (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
9286, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
9389, 92mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)
94 f1oeq1 5653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  (/) )  =  (/)  ->  ( ( T `
 (/) ) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/)  <->  (/) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/) ) )
9593, 94mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  (/) )  =  (/)  ->  ( T `  (/) ) : ( H `
 (/) ) -1-1-onto-> (/) )
9688, 95mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( T `  (/) ) : ( H `  (/) ) -1-1-onto-> (/) )
972, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96cnfcomlem 7953 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  dom  G )  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) )
9897ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  (/) ) : ( H `  suc  (/) ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `
 (/) ) )  .o  ( F `  ( G `  (/) ) ) ) ) )
996oicl 7764 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  dom  G
100 ordtr 4754 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
dom  G  ->  Tr  dom  G )
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Tr  dom  G
102 trsuc 4824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  dom  G  /\  suc  y  e.  dom  G )  ->  y  e.  dom  G )
103101, 102mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  y  e.  dom  G
)
104103imim1i 58 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )
1055ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  A  e.  On )
10612ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  B  e.  ( om  ^o  A
) )
107 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  y  e.  dom  G )
10876ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  A  C_  On )
10974ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F supp 
(/) )  C_  A
)
11078ffvelrni 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
111110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
112109, 111sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  A )
113108, 112sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  suc  y )  e.  On )
114 eloni 4750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  suc  y
)  e.  On  ->  Ord  ( G `  suc  y ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  Ord  ( G `  suc  y
) )
116 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
117116sucid 4819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
suc  y
1185, 74ssexd 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
11915simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
1206oiiso 7772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
121118, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
123103ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  y  e.  dom  G )
124 isorel 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  suc  y  e. 
dom  G ) )  ->  ( y  _E 
suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
125122, 123, 107, 124syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
y  _E  suc  y  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y ) ) )
126116sucex 6443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  y  e.  _V
127126epelc 4655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  _E  suc  y  <->  y  e.  suc  y )
128 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 suc  y )  e.  _V
129128epelc 4655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y
) )
130125, 127, 1293bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
y  e.  suc  y  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y ) ) )
131117, 130mpbii 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( G `  suc  y ) )
132 ordsucss 6450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( G `  suc  y )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( G `
 suc  y )  ->  suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) ) )
133115, 131, 132sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y ) )
13478ffvelrni 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  dom  G  -> 
( G `  y
)  e.  ( F supp  (/) ) )
135123, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( F supp  (/) ) )
136109, 135sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  A )
137108, 136sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  On )
138 suceloni 6445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  y )  e.  On  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  suc  ( G `  y )  e.  On )
1403a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  om  e.  On )
14182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (/)  e.  om )
142 oewordi 7051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( suc  ( G `
 y )  e.  On  /\  ( G `
 suc  y )  e.  On  /\  om  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( suc  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) ) )
143139, 113, 140, 141, 142syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( suc  ( G `  y
)  C_  ( G `  suc  y )  -> 
( om  ^o  suc  ( G `  y ) )  C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y ) ) ) )
144133, 143mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) ) 
C_  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) )
14571ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  F : A --> om )
146145, 136ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e. 
om )
147 nnon 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  ( G `
 y ) )  e.  om  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  e.  On )
149 oecl 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( om  ^o  ( G `  y )
)  e.  On )
150140, 137, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )
151 oen0 7046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  -> 
(/)  e.  ( om  ^o  ( G `  y
) ) )
152140, 137, 141, 151syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 y ) ) )
153 omord2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  y ) )  e.  On  /\  om  e.  On  /\  ( om  ^o  ( G `  y ) )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( om  ^o  ( G `
 y ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  y ) )  e. 
om 
<->  ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) ) )
154148, 140, 150, 152, 153syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( F `  ( G `  y )
)  e.  om  <->  ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `  ( G `  y )
) )  e.  ( ( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  om )
) )
155146, 154mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) )
156 oesuc 6988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  y )  e.  On )  -> 
( om  ^o  suc  ( G `  y ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 y ) )  .o  om ) )
157140, 137, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( om  ^o  suc  ( G `
 y ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  y ) )  .o 
om ) )
158155, 157eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( om  ^o  suc  ( G `  y
) ) )
159144, 158sseldd 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  (
( om  ^o  ( G `  y )
)  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  e.  ( om  ^o  ( G `  suc  y
) ) )
160 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )
1612, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160cnfcomlem 7953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om )  /\  ( suc  y  e.  dom  G  /\  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) ) )  ->  ( T `  suc  suc  y
) : ( H `
 suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  suc  y ) ) ) )
162161exp32 605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) )  ->  ( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
163162a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
164104, 163syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( (
y  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) )
165164expcom 435 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  y ) : ( H `  suc  y
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  y ) )  .o  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  G  -> 
( T `  suc  suc  y ) : ( H `  suc  suc  y ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  suc  y
) )  .o  ( F `  ( G `  suc  y ) ) ) ) ) ) )
16639, 49, 59, 98, 165finds2 6525 . . . 4  |-  ( w  e.  om  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  G  ->  ( T `
 suc  w ) : ( H `  suc  w ) -1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  w ) )  .o  ( F `
 ( G `  w ) ) ) ) ) )
16729, 166vtoclga 3057 . . 3  |-  ( I  e.  om  ->  ( ph  ->  ( I  e. 
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 ( G `  I ) ) ) ) ) )
16818, 167mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  dom  G  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
1691, 168mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    u. cun 3347    C_ wss 3349   (/)c0 3658   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   Tr wtr 4406    _E cep 4651    We wwe 4699   Ord word 4739   Oncon0 4740   suc csuc 4742   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439    Isom wiso 5440  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   omcom 6497   supp csupp 6711  seq𝜔cseqom 6923    +o coa 6938    .o comu 6939    ^o coe 6940   finSupp cfsupp 7641  OrdIsocoi 7744   CNF ccnf 7888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-seqom 6924  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-oexp 6947  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-oi 7745  df-cnf 7889
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