Theorem cnfcom 8161

Description: Any ordinal B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a	|- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b	|- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.1	|- ( ph -> I e. dom G )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom	|- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, z, A   k, I, x, z   x, M   f, k, x, z, F   z, T   f, G, k, x, z   f, H, x   S, k, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, k)   A( f)   B( x, z, f, k)   S( x, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   I( f)   K( x, z, f, k)   M( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom.1	. 2 |- ( ph -> I e. dom G )
2		cnfcom.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
3		omelon 8080	. . . . . . 7 |- om e. On
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> om e. On )
5		cnfcom.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. On )
6		cnfcom.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
7		cnfcom.f	. . . . . . 7 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
8	2, 4, 5	cantnff1o 8154	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
9		f1ocnv 5834	. . . . . . . . 9 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
10		f1of 5822	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
12		cnfcom.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
13	11, 12	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
14	7, 13	syl5eqel 2549	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. S )
15	2, 4, 5, 6, 14	cantnfcl 8103	. . . . 5 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
16	15	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> dom G e. om )
17		elnn 6709	. . . 4 |- ( ( I e. dom G /\ dom G e. om ) -> I e. om )
18	1, 16, 17	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> I e. om )
19		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( w = I -> ( w e. dom G <-> I e. dom G ) )
20		suceq 4952	. . . . . . . 8 |- ( w = I -> suc w = suc I )
21	20	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = I -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc I ) )
22	20	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = I -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc I ) )
23		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( w = I -> ( G ` w ) = ( G ` I ) )
24	23	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( w = I -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` I ) ) )
25	23	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( w = I -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` I ) ) )
26	24, 25	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( w = I -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
27	21, 22, 26	f1oeq123d 5819	. . . . . 6 |- ( w = I -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
28	19, 27	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = I -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
29	28	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = I -> ( ( ph -> ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) ) )
30		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w e. dom G <-> (/) e. dom G ) )
31		suceq 4952	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
32	31	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc (/) ) )
33	31	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc (/) ) )
34		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( G ` w ) = ( G ` (/) ) )
35	34	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
36	34	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` (/) ) ) )
37	35, 36	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
38	32, 33, 37	f1oeq123d 5819	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) )
39	30, 38	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( (/) e. dom G -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) ) )
40		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w e. dom G <-> y e. dom G ) )
41		suceq 4952	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> suc w = suc y )
42	41	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc y ) )
43	41	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc y ) )
44		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( G ` w ) = ( G ` y ) )
45	44	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` y ) ) )
46	44	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
47	45, 46	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) )
48	42, 43, 47	f1oeq123d 5819	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) )
49	40, 48	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) )
50		eleq1 2529	. . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( w e. dom G <-> suc y e. dom G ) )
51		suceq 4952	. . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> suc w = suc suc y )
52	51	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc suc y ) )
53	51	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc suc y ) )
54		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( w = suc y -> ( G ` w ) = ( G ` suc y ) )
55	54	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
56	54	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` suc y ) ) )
57	55, 56	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
58	52, 53, 57	f1oeq123d 5819	. . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) )
59	50, 58	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = suc y -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
60	5	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> A e. On )
61	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> B e. ( om ^o A ) )
62		cnfcom.h	. . . . . . 7 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
63		cnfcom.t	. . . . . . 7 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
64		cnfcom.m	. . . . . . 7 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
65		cnfcom.k	. . . . . . 7 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
66		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. dom G )
67	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> om e. On )
68		suppssdm 6930	. . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
69	2, 4, 5	cantnfs 8102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) ) )
70	14, 69	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) )
71	70	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> om )
72		fdm 5741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> om -> dom F = A )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = A )
74	68, 73	syl5sseq 3547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ A )
75		onss 6625	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
76	5, 75	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ On )
77	74, 76	sstrd 3509	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ On )
78	6	oif 7973	. . . . . . . . . 10 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
79	78	ffvelrni 6031	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) )
80		ssel2 3494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F supp (/) ) C_ On /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. On )
81	77, 79, 80	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. On )
82		peano1 6718	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. om )
84		oen0 7253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
85	67, 81, 83, 84	syl21anc 1227	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
86		0ex 4587	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
87	63	seqom0g 7139	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V -> ( T ` (/) ) = (/) )
88	86, 87	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( T ` (/) ) = (/)
89		f1o0 5856	. . . . . . . . . 10 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
90	62	seqom0g 7139	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) )
91		f1oeq2 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` (/) ) = (/) -> ( (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
92	86, 90, 91	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
93	89, 92	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/)
94		f1oeq1 5813	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` (/) ) = (/) -> ( ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) ) )
95	93, 94	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` (/) ) = (/) -> ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) )
96	88, 95	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) )
97	2, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96	cnfcomlem 8160	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
98	97	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) e. dom G -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) )
99	6	oicl 7972	. . . . . . . . . 10 |- Ord dom G
100		ordtr 4901	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom G -> Tr dom G )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Tr dom G
102		trsuc 4971	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr dom G /\ suc y e. dom G ) -> y e. dom G )
103	101, 102	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. dom G -> y e. dom G )
104	103	imim1i 58	. . . . . . 7 |- ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) )
105	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> A e. On )
106	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> B e. ( om ^o A ) )
107		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc y e. dom G )
108	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> A C_ On )
109	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ A )
110	78	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc y e. dom G -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
111	110	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
112	109, 111	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. A )
113	108, 112	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. On )
114		eloni 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` suc y ) e. On -> Ord ( G ` suc y ) )
115	113, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> Ord ( G ` suc y ) )
116		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
117	116	sucid 4966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. suc y
118	5, 74	ssexd 4603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
119	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
120	6	oiiso 7980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
121	118, 119, 120	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
122	121	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
123	103	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> y e. dom G )
124		isorel 6223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( y e. dom G /\ suc y e. dom G ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
125	122, 123, 107, 124	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
126	116	sucex 6645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc y e. _V
127	126	epelc 4802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y _E suc y <-> y e. suc y )
128		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G ` suc y ) e. _V
129	128	epelc 4802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
130	125, 127, 129	3bitr3g 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( y e. suc y <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) ) )
131	117, 130	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
132		ordsucss 6652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord ( G ` suc y ) -> ( ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) )
133	115, 131, 132	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) )
134	78	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. dom G -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
135	123, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
136	109, 135	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. A )
137	108, 136	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. On )
138		suceloni 6647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` y ) e. On -> suc ( G ` y ) e. On )
139	137, 138	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) e. On )
140	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> om e. On )
141	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> (/) e. om )
142		oewordi 7258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( suc ( G ` y ) e. On /\ ( G ` suc y ) e. On /\ om e. On ) /\ (/) e. om ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) ) )
143	139, 113, 140, 141, 142	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) ) )
144	133, 143	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
145	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> F : A --> om )
146	145, 136	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. om )
147		nnon 6705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
149		oecl 7205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( om ^o ( G ` y ) ) e. On )
150	140, 137, 149	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o ( G ` y ) ) e. On )
151		oen0 7253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) )
152	140, 137, 141, 151	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) )
153		omord2 7234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` ( G ` y ) ) e. On /\ om e. On /\ ( om ^o ( G ` y ) ) e. On ) /\ (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om <-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) ) )
154	148, 140, 150, 152, 153	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om <-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) ) )
155	146, 154	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
156		oesuc 7195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
157	140, 137, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
158	155, 157	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( om ^o suc ( G ` y ) ) )
159	144, 158	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
160		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) )
161	2, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160	cnfcomlem 8160	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
162	161	exp32 605	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( suc y e. dom G -> ( ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
163	162	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( suc y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
164	104, 163	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
165	164	expcom 435	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) ) )
166	39, 49, 59, 98, 165	finds2 6727	. . . 4 |- ( w e. om -> ( ph -> ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) ) )
167	29, 166	vtoclga 3173	. . 3 |- ( I e. om -> ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
168	18, 167	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
169	1, 168	mpd 15	1 |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   Tr wtr 4550   _E cep 4798   We wwe 4846   Ord word 4886   Oncon0 4887   suc csuc 4889   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   omcom 6699   supp csupp 6917  seq_𝜔cseqom 7130   +o coa 7145   .o comu 7146   ^o coe 7147   finSupp cfsupp 7847  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096

This theorem is referenced by:  cnfcom2  8163