Theorem cnfcom 7925

Description: Any ordinal B is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a	|- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b	|- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.1	|- ( ph -> I e. dom G )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom	|- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, z, A   k, I, x, z   x, M   f, k, x, z, F   z, T   f, G, k, x, z   f, H, x   S, k, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, k)   A( f)   B( x, z, f, k)   S( x, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   I( f)   K( x, z, f, k)   M( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom.1	. 2 |- ( ph -> I e. dom G )
2		cnfcom.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
3		omelon 7844	. . . . . . 7 |- om e. On
4	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> om e. On )
5		cnfcom.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. On )
6		cnfcom.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
7		cnfcom.f	. . . . . . 7 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
8	2, 4, 5	cantnff1o 7918	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
9		f1ocnv 5646	. . . . . . . . 9 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
10		f1of 5634	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
12		cnfcom.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
13	11, 12	ffvelrnd 5837	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
14	7, 13	syl5eqel 2521	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. S )
15	2, 4, 5, 6, 14	cantnfcl 7867	. . . . 5 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
16	15	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> dom G e. om )
17		elnn 6481	. . . 4 |- ( ( I e. dom G /\ dom G e. om ) -> I e. om )
18	1, 16, 17	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> I e. om )
19		eleq1 2497	. . . . . 6 |- ( w = I -> ( w e. dom G <-> I e. dom G ) )
20		suceq 4776	. . . . . . . 8 |- ( w = I -> suc w = suc I )
21	20	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = I -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc I ) )
22	20	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = I -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc I ) )
23		fveq2 5684	. . . . . . . . 9 |- ( w = I -> ( G ` w ) = ( G ` I ) )
24	23	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( w = I -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` I ) ) )
25	23	fveq2d 5688	. . . . . . . 8 |- ( w = I -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` I ) ) )
26	24, 25	oveq12d 6104	. . . . . . 7 |- ( w = I -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )
27	21, 22, 26	f1oeq123d 5631	. . . . . 6 |- ( w = I -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
28	19, 27	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = I -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
29	28	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = I -> ( ( ph -> ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) ) )
30		eleq1 2497	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w e. dom G <-> (/) e. dom G ) )
31		suceq 4776	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
32	31	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc (/) ) )
33	31	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc (/) ) )
34		fveq2 5684	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( G ` w ) = ( G ` (/) ) )
35	34	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
36	34	fveq2d 5688	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` (/) ) ) )
37	35, 36	oveq12d 6104	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
38	32, 33, 37	f1oeq123d 5631	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) )
39	30, 38	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( (/) e. dom G -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) ) )
40		eleq1 2497	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w e. dom G <-> y e. dom G ) )
41		suceq 4776	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> suc w = suc y )
42	41	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc y ) )
43	41	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc y ) )
44		fveq2 5684	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( G ` w ) = ( G ` y ) )
45	44	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` y ) ) )
46	44	fveq2d 5688	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
47	45, 46	oveq12d 6104	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) )
48	42, 43, 47	f1oeq123d 5631	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) )
49	40, 48	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) )
50		eleq1 2497	. . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( w e. dom G <-> suc y e. dom G ) )
51		suceq 4776	. . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> suc w = suc suc y )
52	51	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( T ` suc w ) = ( T ` suc suc y ) )
53	51	fveq2d 5688	. . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( H ` suc w ) = ( H ` suc suc y ) )
54		fveq2 5684	. . . . . . . . 9 |- ( w = suc y -> ( G ` w ) = ( G ` suc y ) )
55	54	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> ( om ^o ( G ` w ) ) = ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
56	54	fveq2d 5688	. . . . . . . 8 |- ( w = suc y -> ( F ` ( G ` w ) ) = ( F ` ( G ` suc y ) ) )
57	55, 56	oveq12d 6104	. . . . . . 7 |- ( w = suc y -> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) = ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
58	52, 53, 57	f1oeq123d 5631	. . . . . 6 |- ( w = suc y -> ( ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) <-> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) )
59	50, 58	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = suc y -> ( ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) <-> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
60	5	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> A e. On )
61	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> B e. ( om ^o A ) )
62		cnfcom.h	. . . . . . 7 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
63		cnfcom.t	. . . . . . 7 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
64		cnfcom.m	. . . . . . 7 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
65		cnfcom.k	. . . . . . 7 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
66		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. dom G )
67	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> om e. On )
68		suppssdm 6698	. . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
69	2, 4, 5	cantnfs 7866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) ) )
70	14, 69	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) )
71	70	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> om )
72		fdm 5556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> om -> dom F = A )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = A )
74	68, 73	syl5sseq 3397	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ A )
75		onss 6397	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. On -> A C_ On )
76	5, 75	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ On )
77	74, 76	sstrd 3359	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ On )
78	6	oif 7736	. . . . . . . . . 10 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
79	78	ffvelrni 5835	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) )
80		ssel2 3344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F supp (/) ) C_ On /\ ( G ` (/) ) e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` (/) ) e. On )
81	77, 79, 80	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( G ` (/) ) e. On )
82		peano1 6490	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
83	82	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. om )
84		oen0 7017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. On /\ ( G ` (/) ) e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
85	67, 81, 83, 84	syl21anc 1217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` (/) ) ) )
86		0ex 4415	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
87	63	seqom0g 6903	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V -> ( T ` (/) ) = (/) )
88	86, 87	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( T ` (/) ) = (/)
89		f1o0 5668	. . . . . . . . . 10 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
90	62	seqom0g 6903	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) )
91		f1oeq2 5626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` (/) ) = (/) -> ( (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
92	86, 90, 91	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) )
93	89, 92	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/)
94		f1oeq1 5625	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` (/) ) = (/) -> ( ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) <-> (/) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) ) )
95	93, 94	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` (/) ) = (/) -> ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) )
96	88, 95	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( T ` (/) ) : ( H ` (/) ) -1-1-onto-> (/) )
97	2, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96	cnfcomlem 7924	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) e. dom G ) -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) )
98	97	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) e. dom G -> ( T ` suc (/) ) : ( H ` suc (/) ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` (/) ) ) .o ( F ` ( G ` (/) ) ) ) ) )
99	6	oicl 7735	. . . . . . . . . 10 |- Ord dom G
100		ordtr 4725	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom G -> Tr dom G )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Tr dom G
102		trsuc 4795	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr dom G /\ suc y e. dom G ) -> y e. dom G )
103	101, 102	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. dom G -> y e. dom G )
104	103	imim1i 58	. . . . . . 7 |- ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) )
105	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> A e. On )
106	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> B e. ( om ^o A ) )
107		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc y e. dom G )
108	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> A C_ On )
109	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F supp (/) ) C_ A )
110	78	ffvelrni 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc y e. dom G -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
111	110	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. ( F supp (/) ) )
112	109, 111	sseldd 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. A )
113	108, 112	sseldd 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` suc y ) e. On )
114		eloni 4721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` suc y ) e. On -> Ord ( G ` suc y ) )
115	113, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> Ord ( G ` suc y ) )
116		vex 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
117	116	sucid 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. suc y
118	5, 74	ssexd 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
119	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
120	6	oiiso 7743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
121	118, 119, 120	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
122	121	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
123	103	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> y e. dom G )
124		isorel 6010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( y e. dom G /\ suc y e. dom G ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
125	122, 123, 107, 124	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( y _E suc y <-> ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) ) )
126	116	sucex 6417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc y e. _V
127	126	epelc 4626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y _E suc y <-> y e. suc y )
128		fvex 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G ` suc y ) e. _V
129	128	epelc 4626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` y ) _E ( G ` suc y ) <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
130	125, 127, 129	3bitr3g 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( y e. suc y <-> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) ) )
131	117, 130	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) )
132		ordsucss 6424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord ( G ` suc y ) -> ( ( G ` y ) e. ( G ` suc y ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) )
133	115, 131, 132	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) )
134	78	ffvelrni 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. dom G -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
135	123, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( F supp (/) ) )
136	109, 135	sseldd 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. A )
137	108, 136	sseldd 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( G ` y ) e. On )
138		suceloni 6419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` y ) e. On -> suc ( G ` y ) e. On )
139	137, 138	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> suc ( G ` y ) e. On )
140	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> om e. On )
141	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> (/) e. om )
142		oewordi 7022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( suc ( G ` y ) e. On /\ ( G ` suc y ) e. On /\ om e. On ) /\ (/) e. om ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) ) )
143	139, 113, 140, 141, 142	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( suc ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) ) )
144	133, 143	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) C_ ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
145	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> F : A --> om )
146	145, 136	ffvelrnd 5837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. om )
147		nnon 6477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` y ) ) e. On )
149		oecl 6969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( om ^o ( G ` y ) ) e. On )
150	140, 137, 149	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o ( G ` y ) ) e. On )
151		oen0 7017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) )
152	140, 137, 141, 151	syl21anc 1217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) )
153		omord2 6998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` ( G ` y ) ) e. On /\ om e. On /\ ( om ^o ( G ` y ) ) e. On ) /\ (/) e. ( om ^o ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om <-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) ) )
154	148, 140, 150, 152, 153	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` y ) ) e. om <-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) ) )
155	146, 154	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
156		oesuc 6959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( om e. On /\ ( G ` y ) e. On ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
157	140, 137, 156	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( om ^o suc ( G ` y ) ) = ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o om ) )
158	155, 157	eleqtrrd 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( om ^o suc ( G ` y ) ) )
159	144, 158	sseldd 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) e. ( om ^o ( G ` suc y ) ) )
160		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) )
161	2, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160	cnfcomlem 7924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om ) /\ ( suc y e. dom G /\ ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) ) -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) )
162	161	exp32 605	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( suc y e. dom G -> ( ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
163	162	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( suc y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
164	104, 163	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) )
165	164	expcom 435	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( y e. dom G -> ( T ` suc y ) : ( H ` suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` y ) ) .o ( F ` ( G ` y ) ) ) ) -> ( suc y e. dom G -> ( T ` suc suc y ) : ( H ` suc suc y ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` suc y ) ) .o ( F ` ( G ` suc y ) ) ) ) ) ) )
166	39, 49, 59, 98, 165	finds2 6499	. . . 4 |- ( w e. om -> ( ph -> ( w e. dom G -> ( T ` suc w ) : ( H ` suc w ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` w ) ) .o ( F ` ( G ` w ) ) ) ) ) )
167	29, 166	vtoclga 3029	. . 3 |- ( I e. om -> ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) ) )
168	18, 167	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I e. dom G -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) ) )
169	1, 168	mpd 15	1 |- ( ph -> ( T ` suc I ) : ( H ` suc I ) -1-1-onto-> ( ( om ^o ( G ` I ) ) .o ( F ` ( G ` I ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2966   u. cun 3319   C_ wss 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4285   e. cmpt 4343   Tr wtr 4378   _E cep 4622   We wwe 4670   Ord word 4710   Oncon0 4711   suc csuc 4713   `'ccnv 4831   dom cdm 4832   -->wf 5407   -1-1-onto->wf1o 5410   ` cfv 5411   Isom wiso 5412  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   omcom 6471   supp csupp 6685  seq_𝜔cseqom 6894   +o coa 6909   .o comu 6910   ^o coe 6911   finSupp cfsupp 7612  OrdIsocoi 7715   CNF ccnf 7859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-seqom 6895  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-oexp 6918  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-cnf 7860

This theorem is referenced by:  cnfcom2  7927