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Theorem cnfcf 20306
Description: Continuity of a function in terms of cluster points of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    f, K, x    f, X, x   
f, Y, x

Proof of Theorem cnfcf
StepHypRef Expression
1 cncnp 19575 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpfcf 20305 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2900 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109fclselbas 20280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 19223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  x  e.  X ) )
1514pm4.71rd 635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) ) ) )
1615imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2899 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fClus  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 3022 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
238, 22bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2423pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
251, 24bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   U.cuni 4245   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519    CnP ccnp 19520   Filcfil 20109    fClus cfcls 20200    fClusf cfcf 20201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-topgen 14699  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-topon 19197  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-fcls 20205  df-fcf 20206
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