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Theorem cnfcf 20709
Description: Continuity of a function in terms of cluster points of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    f, K, x    f, X, x   
f, Y, x

Proof of Theorem cnfcf
StepHypRef Expression
1 cncnp 19948 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpfcf 20708 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2890 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109fclselbas 20683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 19595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  x  e.  X ) )
1514pm4.71rd 633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) ) ) )
1615imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fClus  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2889 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fClusf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fClus  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 3015 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `
 F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fClus  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fClus  f )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
238, 22bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) )
2423pm5.32da 639 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
251, 24bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fClus  f ) ( F `  x
)  e.  ( ( K  fClusf  f ) `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   U.cuni 4235   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892    CnP ccnp 19893   Filcfil 20512    fClus cfcls 20603    fClusf cfcf 20604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-topgen 14933  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-topon 19569  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-fcls 20608  df-fcf 20609
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