MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf2 Structured version   Unicode version

Theorem cnf2 19544
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 19530 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
21simprbda 623 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
323impa 1191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   A.wral 2814   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-top 19194  df-topon 19197  df-cn 19522
This theorem is referenced by:  iscncl  19564  cncls2  19568  cncls  19569  cnntr  19570  cnrest2  19581  cnrest2r  19582  ptcn  19891  txdis1cn  19899  lmcn2  19913  cnmpt11  19927  cnmpt1t  19929  cnmpt12  19931  cnmpt21  19935  cnmpt2t  19937  cnmpt22  19938  cnmpt22f  19939  cnmptcom  19942  cnmptkp  19944  cnmptk1  19945  cnmpt1k  19946  cnmptkk  19947  cnmptk1p  19949  cnmptk2  19950  cnmpt2k  19952  qtopss  19979  qtopeu  19980  qtopomap  19982  qtopcmap  19983  hmeof1o2  20027  xpstopnlem1  20073  xkocnv  20078  xkohmeo  20079  qtophmeo  20081  cnmpt1plusg  20349  cnmpt2plusg  20350  tsmsmhm  20411  cnmpt1vsca  20459  cnmpt2vsca  20460  cnmpt1ds  21110  cnmpt2ds  21111  fsumcn  21137  cnmpt2pc  21191  htpyco1  21241  htpyco2  21242  phtpyco2  21253  pi1xfrf  21316  pi1xfr  21318  pi1xfrcnvlem  21319  pi1xfrcnv  21320  pi1cof  21322  pi1coghm  21324  cnmpt1ip  21450  cnmpt2ip  21451  txsconlem  28353  txscon  28354  cvmlift3lem6  28437  fcnre  31006  refsumcn  31011  refsum2cnlem1  31018  icccncfext  31254  itgsubsticclem  31321
  Copyright terms: Public domain W3C validator