MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf2 Structured version   Unicode version

Theorem cnf2 19728
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnf2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 19714 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
21simprbda 623 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
323impa 1192 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804   A.wral 2793   `'ccnv 4988   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281  TopOnctopon 19373    Cn ccn 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-top 19377  df-topon 19380  df-cn 19706
This theorem is referenced by:  iscncl  19748  cncls2  19752  cncls  19753  cnntr  19754  cnrest2  19765  cnrest2r  19766  ptcn  20106  txdis1cn  20114  lmcn2  20128  cnmpt11  20142  cnmpt1t  20144  cnmpt12  20146  cnmpt21  20150  cnmpt2t  20152  cnmpt22  20153  cnmpt22f  20154  cnmptcom  20157  cnmptkp  20159  cnmptk1  20160  cnmpt1k  20161  cnmptkk  20162  cnmptk1p  20164  cnmptk2  20165  cnmpt2k  20167  qtopss  20194  qtopeu  20195  qtopomap  20197  qtopcmap  20198  hmeof1o2  20242  xpstopnlem1  20288  xkocnv  20293  xkohmeo  20294  qtophmeo  20296  cnmpt1plusg  20564  cnmpt2plusg  20565  tsmsmhm  20626  cnmpt1vsca  20674  cnmpt2vsca  20675  cnmpt1ds  21325  cnmpt2ds  21326  fsumcn  21352  cnmpt2pc  21406  htpyco1  21456  htpyco2  21457  phtpyco2  21468  pi1xfrf  21531  pi1xfr  21533  pi1xfrcnvlem  21534  pi1xfrcnv  21535  pi1cof  21537  pi1coghm  21539  cnmpt1ip  21665  cnmpt2ip  21666  txsconlem  28663  txscon  28664  cvmlift3lem6  28747  fcnre  31354  refsumcn  31359  refsum2cnlem1  31366  icccncfext  31644  itgsubsticclem  31728
  Copyright terms: Public domain W3C validator