Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextucn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnextucn 21396
 Description: Extension by continuity. Proposition 11 of [BourbakiTop1] p. II.20. Given a topology on , a subset dense in , this states a condition for from to a space Hausdorff and complete to be extensible by continuity. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextucn.x
cnextucn.y
cnextucn.j
cnextucn.k
cnextucn.u UnifSt
cnextucn.v
cnextucn.t
cnextucn.w CUnifSp
cnextucn.h
cnextucn.a
cnextucn.f
cnextucn.c
cnextucn.l t CauFilu
Assertion
Ref Expression
cnextucn CnExt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnextucn
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2
2 eqid 2471 . 2
3 cnextucn.v . . 3
4 cnextucn.j . . . 4
54tpstop 20031 . . 3
63, 5syl 17 . 2
7 cnextucn.h . 2
8 cnextucn.f . . 3
9 cnextucn.t . . . . 5
10 cnextucn.y . . . . . 6
11 cnextucn.k . . . . . 6
1210, 11tpsuni 20030 . . . . 5
139, 12syl 17 . . . 4
1413feq3d 5726 . . 3
158, 14mpbid 215 . 2
16 cnextucn.a . . 3
17 cnextucn.x . . . . 5
1817, 4tpsuni 20030 . . . 4
193, 18syl 17 . . 3
2016, 19sseqtrd 3454 . 2
21 cnextucn.c . . 3
2221, 19eqtrd 2505 . 2
2310, 11istps 20028 . . . . . 6 TopOn
249, 23sylib 201 . . . . 5 TopOn
2524adantr 472 . . . 4 TopOn
2619eleq2d 2534 . . . . . . 7
2726biimpar 493 . . . . . 6
2821adantr 472 . . . . . 6
2927, 28eleqtrrd 2552 . . . . 5
301toptopon 20025 . . . . . . . . 9 TopOn
316, 30sylib 201 . . . . . . . 8 TopOn
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
3332eleq2d 2534 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
3531, 34mpbird 240 . . . . . . 7 TopOn
3635adantr 472 . . . . . 6 TopOn
3716adantr 472 . . . . . 6
38 trnei 20985 . . . . . 6 TopOn t
3936, 37, 27, 38syl3anc 1292 . . . . 5 t
4029, 39mpbid 215 . . . 4 t
418adantr 472 . . . 4
42 flfval 21083 . . . 4 TopOn t t t
4325, 40, 41, 42syl3anc 1292 . . 3 t t
44 cnextucn.w . . . . 5 CUnifSp
4544adantr 472 . . . 4 CUnifSp
46 cnextucn.l . . . . . 6 t CauFilu
4727, 46syldan 478 . . . . 5 t CauFilu
48 cnextucn.u . . . . . 6 UnifSt
4948fveq2i 5882 . . . . 5 CauFilu CauFiluUnifSt
5047, 49syl6eleq 2559 . . . 4 t CauFiluUnifSt
51 fvex 5889 . . . . . . 7
5210, 51eqeltri 2545 . . . . . 6
5352a1i 11 . . . . 5
54 filfbas 20941 . . . . . 6 t t
5540, 54syl 17 . . . . 5 t
56 fmfil 21037 . . . . 5 t t
5753, 55, 41, 56syl3anc 1292 . . . 4 t
5810, 11cuspcvg 21394 . . . 4 CUnifSp t CauFiluUnifSt t t
5945, 50, 57, 58syl3anc 1292 . . 3 t
6043, 59eqnetrd 2710 . 2 t
61 cuspusp 21393 . . . 4 CUnifSp UnifSp
6244, 61syl 17 . . 3 UnifSp
6311uspreg 21367 . . 3 UnifSp
6462, 7, 63syl2anc 673 . 2
651, 2, 6, 7, 15, 20, 22, 60, 64cnextcn 21160 1 CnExt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cuni 4190  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   ↾t crest 15397  ctopn 15398  cfbas 19035  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ctps 19996  ccl 20110  cnei 20190   ccn 20317  cha 20401  creg 20402  cfil 20938   cfm 21026   cflim 21027   cflf 21028  CnExtccnext 21152  UnifStcuss 21346  UnifSpcusp 21347  CauFiluccfilu 21379  CUnifSpccusp 21390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-reg 20409  df-tx 20654  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cnext 21153  df-ust 21293  df-utop 21324  df-usp 21350  df-cusp 21391 This theorem is referenced by:  ucnextcn  21397
 Copyright terms: Public domain W3C validator