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Theorem cnextfvval 19640
Description: The value of the continuous extension of a given function  F at a point  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cnextfvval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    x, X    ph, x

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  J  e.  Top )
3 cnextf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
43adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  F : A --> B )
7 cnextf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A  C_  C )
9 cnextf.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
10 cnextf.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
119, 10cnextfun 19639 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 1219 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
13 cnextf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
1413eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  X  e.  C ) )
1514biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
16 fvex 5704 . . . . . . 7  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1716uniex 6379 . . . . . 6  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1817snid 3908 . . . . 5  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) }
19 sneq 3890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2019fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { X } ) )
2120oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) )
2221oveq2d 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) )
2322fveq1d 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
2423breq1d 4305 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) 
<->  ( ph  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) ) )
263adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  Top )
289toptopon 18541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
307adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A  C_  C )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
3213eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  x  e.  C ) )
3332biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
34 trnei 19468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
375adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : A --> B )
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
3910hausflf2 19574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4140expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ) `  F ) 
~~  1o ) )
4225, 41vtoclga 3039 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
4342impcom 430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
44 en1b 7380 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4618, 45syl5eleqr 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
47 nfiu1 4203 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U_ x  e.  (
( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
4847nfel2 2594 . . . . . . 7  |-  F/ x <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
49 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ x
( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
5048, 49nfbi 1867 . . . . . 6  |-  F/ x
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
51 opeq1 4062 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  =  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >. )
5251eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
53 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
5423eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
5553, 54anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5652, 55bibi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( <. x ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )  <-> 
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) ) )
57 opeliunxp 4893 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
5850, 56, 57vtoclg1f 3032 . . . . 5  |-  ( X  e.  C  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5958adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6015, 46, 59mpbir2and 913 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
61 df-br 4296 . . . 4  |-  ( X ( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F ) )
62 haustop 18938 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
633, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
6463adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Top )
659, 10cnextfval 19637 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
6766eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6861, 67syl5bb 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( X ( ( JCnExt
K ) `  F
) U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6960, 68mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X
( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
70 funbrfv 5733 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  ->  ( X ( ( JCnExt K ) `  F ) U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
7112, 69, 70sylc 60 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880   <.cop 3886   U.cuni 4094   U_ciun 4174   class class class wbr 4295    X. cxp 4841   Fun wfun 5415   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   1oc1o 6916    ~~ cen 7310   ↾t crest 14362   Topctop 18501  TopOnctopon 18502   clsccl 18625   neicnei 18704   Hauscha 18915   Filcfil 19421    fLimf cflf 19511  CnExtccnext 19634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-1o 6923  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-rest 14364  df-fbas 17817  df-top 18506  df-topon 18509  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-haus 18922  df-fil 19422  df-flim 19515  df-flf 19516  df-cnext 19635
This theorem is referenced by:  cnextcn  19642  cnextfres  19643
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