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Theorem cnextfvval 19479
Description: The value of the continuous extension of a given function  F at a point  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cnextfvval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    x, X    ph, x

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
21adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  J  e.  Top )
3 cnextf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
43adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
65adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  F : A --> B )
7 cnextf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
87adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A  C_  C )
9 cnextf.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
10 cnextf.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
119, 10cnextfun 19478 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 1212 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
13 cnextf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
1413eleq2d 2500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  X  e.  C ) )
1514biimpar 482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
16 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1716uniex 6365 . . . . . 6  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1817snid 3893 . . . . 5  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) }
19 sneq 3875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2019fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { X } ) )
2120oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) )
2221oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) )
2322fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
2423breq1d 4290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) 
<->  ( ph  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) ) )
263adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
271adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  Top )
289toptopon 18380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
307adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A  C_  C )
31 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
3213eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  x  e.  C ) )
3332biimpar 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
34 trnei 19307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
3534biimpa 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
375adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : A --> B )
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
3910hausflf2 19413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4140expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ) `  F ) 
~~  1o ) )
4225, 41vtoclga 3025 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
4342impcom 430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
44 en1b 7365 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4618, 45syl5eleqr 2520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
47 nfiu1 4188 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U_ x  e.  (
( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
4847nfel2 2581 . . . . . . 7  |-  F/ x <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
49 nfv 1672 . . . . . . 7  |-  F/ x
( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
5048, 49nfbi 1865 . . . . . 6  |-  F/ x
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
51 opeq1 4047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  =  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >. )
5251eleq1d 2499 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
53 eleq1 2493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
5423eleq2d 2500 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
5553, 54anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5652, 55bibi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( <. x ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )  <-> 
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) ) )
57 opeliunxp 4877 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
5850, 56, 57vtoclg1f 3018 . . . . 5  |-  ( X  e.  C  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5958adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6015, 46, 59mpbir2and 906 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
61 df-br 4281 . . . 4  |-  ( X ( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F ) )
62 haustop 18777 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
633, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
6463adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Top )
659, 10cnextfval 19476 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 1212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
6766eleq2d 2500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6861, 67syl5bb 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( X ( ( JCnExt
K ) `  F
) U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6960, 68mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X
( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
70 funbrfv 5718 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  ->  ( X ( ( JCnExt K ) `  F ) U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
7112, 69, 70sylc 60 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   <.cop 3871   U.cuni 4079   U_ciun 4159   class class class wbr 4280    X. cxp 4825   Fun wfun 5400   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1oc1o 6901    ~~ cen 7295   ↾t crest 14342   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   clsccl 18464   neicnei 18543   Hauscha 18754   Filcfil 19260    fLimf cflf 19350  CnExtccnext 19473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-1o 6908  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-rest 14344  df-fbas 17658  df-top 18345  df-topon 18348  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-haus 18761  df-fil 19261  df-flim 19354  df-flf 19355  df-cnext 19474
This theorem is referenced by:  cnextcn  19481  cnextfres  19482
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