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Theorem cnextfvval 20300
Description: The value of the continuous extension of a given function  F at a point  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cnextfvval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    x, X    ph, x

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  J  e.  Top )
3 cnextf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
43adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  F : A --> B )
7 cnextf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
87adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A  C_  C )
9 cnextf.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
10 cnextf.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
119, 10cnextfun 20299 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 1229 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
13 cnextf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
1413eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  X  e.  C ) )
1514biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
16 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1716uniex 6578 . . . . . 6  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1817snid 4055 . . . . 5  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) }
19 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2019fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { X } ) )
2120oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) )
2221oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) )
2322fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
2423breq1d 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) 
<->  ( ph  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) ) )
263adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  Top )
289toptopon 19201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
307adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A  C_  C )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
3213eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  x  e.  C ) )
3332biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
34 trnei 20128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
375adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : A --> B )
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
3910hausflf2 20234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4140expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ) `  F ) 
~~  1o ) )
4225, 41vtoclga 3177 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
4342impcom 430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
44 en1b 7580 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4618, 45syl5eleqr 2562 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
47 nfiu1 4355 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U_ x  e.  (
( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
4847nfel2 2647 . . . . . . 7  |-  F/ x <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
49 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ x
( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
5048, 49nfbi 1881 . . . . . 6  |-  F/ x
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
51 opeq1 4213 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  =  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >. )
5251eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
53 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
5423eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
5553, 54anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5652, 55bibi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( <. x ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )  <-> 
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) ) )
57 opeliunxp 5050 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
5850, 56, 57vtoclg1f 3170 . . . . 5  |-  ( X  e.  C  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5958adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6015, 46, 59mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
61 df-br 4448 . . . 4  |-  ( X ( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F ) )
62 haustop 19598 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
633, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
6463adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Top )
659, 10cnextfval 20297 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
6766eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6861, 67syl5bb 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( X ( ( JCnExt
K ) `  F
) U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6960, 68mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X
( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
70 funbrfv 5904 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  ->  ( X ( ( JCnExt K ) `  F ) U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
7112, 69, 70sylc 60 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1oc1o 7120    ~~ cen 7510   ↾t crest 14672   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   clsccl 19285   neicnei 19364   Hauscha 19575   Filcfil 20081    fLimf cflf 20171  CnExtccnext 20294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-1o 7127  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-rest 14674  df-fbas 18187  df-top 19166  df-topon 19169  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-haus 19582  df-fil 20082  df-flim 20175  df-flf 20176  df-cnext 20295
This theorem is referenced by:  cnextcn  20302  cnextfres  20303
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