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Theorem cnextfvval 21135
Description: The value of the continuous extension of a given function  F at a point  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cnextfvval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    x, X    ph, x

Proof of Theorem cnextfvval
StepHypRef Expression
1 cnextf.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
21adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  J  e.  Top )
3 cnextf.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
43adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
65adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  F : A --> B )
7 cnextf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
87adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  A  C_  C )
9 cnextf.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
10 cnextf.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
119, 10cnextfun 21134 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
122, 4, 6, 8, 11syl22anc 1277 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
13 cnextf.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
1413eleq2d 2525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  X  e.  C ) )
1514biimpar 492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
16 fvex 5902 . . . . . . 7  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1716uniex 6619 . . . . . 6  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
1817snid 4008 . . . . 5  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) }
19 sneq 3990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
2019fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { X } ) )
2120oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) )
2221oveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) )
2322fveq1d 5894 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
2423breq1d 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
2524imbi2d 322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) 
<->  ( ph  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) ) )
263adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
271adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  Top )
289toptopon 20003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
2927, 28sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
307adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A  C_  C )
31 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
3213eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  x  e.  C ) )
3332biimpar 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
34 trnei 20962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
3534biimpa 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
3629, 30, 31, 33, 35syl31anc 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
375adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : A --> B )
38 cnextf.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
3910hausflf2 21068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4026, 36, 37, 38, 39syl31anc 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
4140expcom 441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ) `  F ) 
~~  1o ) )
4225, 41vtoclga 3125 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  C  ->  ( ph  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o ) )
4342impcom 436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
44 en1b 7668 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4543, 44sylib 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) } )
4618, 45syl5eleqr 2547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
47 nfiu1 4322 . . . . . . . 8  |-  F/_ x U_ x  e.  (
( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
4847nfel2 2619 . . . . . . 7  |-  F/ x <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
49 nfv 1772 . . . . . . 7  |-  F/ x
( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
5048, 49nfbi 2028 . . . . . 6  |-  F/ x
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
51 opeq1 4180 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  <. x ,  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  =  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >. )
5251eleq1d 2524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( <. x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
53 eleq1 2528 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
5423eleq2d 2525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
5553, 54anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5652, 55bibi12d 327 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( <. x ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )  <-> 
( <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) ) )
57 opeliunxp 4908 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
5850, 56, 57vtoclg1f 3118 . . . . 5  |-  ( X  e.  C  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
5958adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( X  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  U. ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  { X } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6015, 46, 59mpbir2and 938 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
61 df-br 4419 . . . 4  |-  ( X ( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F ) )
62 haustop 20402 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
633, 62syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
6463adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  K  e.  Top )
659, 10cnextfval 21132 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
662, 64, 6, 8, 65syl22anc 1277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
6766eleq2d 2525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( <. X ,  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  ( ( JCnExt K ) `
 F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6861, 67syl5bb 265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  ( X ( ( JCnExt
K ) `  F
) U. ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  <->  <. X ,  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) ( { x }  X.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
6960, 68mpbird 240 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  X
( ( JCnExt K
) `  F ) U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
70 funbrfv 5930 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  ->  ( X ( ( JCnExt K ) `  F ) U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) ) )
7112, 69, 70sylc 62 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  X )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { X } )t  A ) ) `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4212   U_ciun 4292   class class class wbr 4418    X. cxp 4854   Fun wfun 5599   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   1oc1o 7206    ~~ cen 7597   ↾t crest 15374   Topctop 19972  TopOnctopon 19973   clsccl 20088   neicnei 20168   Hauscha 20379   Filcfil 20915    fLimf cflf 21005  CnExtccnext 21129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-1o 7213  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-rest 15376  df-fbas 19022  df-top 19976  df-topon 19978  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-haus 20386  df-fil 20916  df-flim 21009  df-flf 21010  df-cnext 21130
This theorem is referenced by:  cnextcn  21137  cnextfres1  21138
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