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Theorem cnextfun 21157
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1  |-  C  = 
U. J
cnextfrel.2  |-  B  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnextfun  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)

Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20424 . . 3  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
2 cnextfrel.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
3 cnextfrel.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
42, 3cnextrel 21156 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
51, 4sylanl2 663 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
6 simpllr 777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  K  e.  Haus )
72toptopon 20025 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
87biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
98ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
10 simplrr 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  A  C_  C
)
119, 7sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  Top )
122clsss3 20151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  C )
1311, 10, 12syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  A )  C_  C
)
14 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
1513, 14sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  C )
16 trnei 20985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
1716biimpa 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
19 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  F : A
--> B )
203hausflf 21090 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  E* y  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
216, 18, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
2221ex 441 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2322alrimiv 1781 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
24 moanimv 2380 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2524albii 1699 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  A
)  /\  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2623, 25sylibr 217 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
27 df-br 4396 . . . . . . 7  |-  ( x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( ( JCnExt
K ) `  F
) )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( JCnExt K ) `
 F ) ) )
292, 3cnextfval 21155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
301, 29sylanl2 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3130eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
32 opeliunxp 4891 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3428, 31, 333bitrd 287 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3534mobidv 2340 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3635albidv 1775 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( A. x E* y  x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  A. x E* y
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3726, 36mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y )
38 dffun6 5604 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  ( Rel  ( ( JCnExt
K ) `  F
)  /\  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y ) )
395, 37, 38sylanbrc 677 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   E*wmo 2320    C_ wss 3390   {csn 3959   <.cop 3965   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   clsccl 20110   neicnei 20190   Hauscha 20401   Filcfil 20938    fLimf cflf 21028  CnExtccnext 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-pm 7493  df-rest 15399  df-fbas 19044  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-haus 20408  df-fil 20939  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cnext 21153
This theorem is referenced by:  cnextfvval  21158  cnextf  21159  cnextfres  21162
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