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Theorem cnextfun 20690
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1  |-  C  = 
U. J
cnextfrel.2  |-  B  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnextfun  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)

Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19959 . . 3  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
2 cnextfrel.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
3 cnextfrel.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
42, 3cnextrel 20689 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
51, 4sylanl2 651 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
6 simpllr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  K  e.  Haus )
72toptopon 19561 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
87biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
98ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
10 simplrr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  A  C_  C
)
119, 7sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  Top )
122clsss3 19687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  C )
1311, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  A )  C_  C
)
14 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
1513, 14sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  C )
16 trnei 20519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
19 simplrl 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  F : A
--> B )
203hausflf 20624 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  E* y  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
216, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
2221ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2322alrimiv 1720 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
24 moanimv 2352 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2524albii 1641 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  A
)  /\  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2623, 25sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
27 df-br 4457 . . . . . . 7  |-  ( x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( ( JCnExt
K ) `  F
) )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( JCnExt K ) `
 F ) ) )
292, 3cnextfval 20688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
301, 29sylanl2 651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3130eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
32 opeliunxp 5060 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3428, 31, 333bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3534mobidv 2306 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3635albidv 1714 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( A. x E* y  x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  A. x E* y
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3726, 36mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y )
38 dffun6 5609 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  ( Rel  ( ( JCnExt
K ) `  F
)  /\  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y ) )
395, 37, 38sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   E*wmo 2284    C_ wss 3471   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   Rel wrel 5013   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾t crest 14838   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646   neicnei 19725   Hauscha 19936   Filcfil 20472    fLimf cflf 20562  CnExtccnext 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-pm 7441  df-rest 14840  df-fbas 18543  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-haus 19943  df-fil 20473  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cnext 20686
This theorem is referenced by:  cnextfvval  20691  cnextf  20692
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