Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnextfun 21157
 Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1
cnextfrel.2
Assertion
Ref Expression
cnextfun CnExt

Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20424 . . 3
2 cnextfrel.1 . . . 4
3 cnextfrel.2 . . . 4
42, 3cnextrel 21156 . . 3 CnExt
51, 4sylanl2 663 . 2 CnExt
6 simpllr 777 . . . . . . 7
72toptopon 20025 . . . . . . . . . 10 TopOn
87biimpi 199 . . . . . . . . 9 TopOn
98ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 TopOn
10 simplrr 779 . . . . . . . 8
119, 7sylibr 217 . . . . . . . . . 10
122clsss3 20151 . . . . . . . . . 10
1311, 10, 12syl2anc 673 . . . . . . . . 9
14 simpr 468 . . . . . . . . 9
1513, 14sseldd 3419 . . . . . . . 8
16 trnei 20985 . . . . . . . . 9 TopOn t
1716biimpa 492 . . . . . . . 8 TopOn t
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1295 . . . . . . 7 t
19 simplrl 778 . . . . . . 7
203hausflf 21090 . . . . . . 7 t t
216, 18, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6 t
2221ex 441 . . . . 5 t
2322alrimiv 1781 . . . 4 t
24 moanimv 2380 . . . . 5 t t
2524albii 1699 . . . 4 t t
2623, 25sylibr 217 . . 3 t
27 df-br 4396 . . . . . . 7 CnExt CnExt
2827a1i 11 . . . . . 6 CnExt CnExt
292, 3cnextfval 21155 . . . . . . . 8 CnExt t
301, 29sylanl2 663 . . . . . . 7 CnExt t
3130eleq2d 2534 . . . . . 6 CnExt t
32 opeliunxp 4891 . . . . . . 7 t t
3332a1i 11 . . . . . 6 t t
3428, 31, 333bitrd 287 . . . . 5 CnExt t
3534mobidv 2340 . . . 4 CnExt t
3635albidv 1775 . . 3 CnExt t
3726, 36mpbird 240 . 2 CnExt
38 dffun6 5604 . 2 CnExt CnExt CnExt
395, 37, 38sylanbrc 677 1 CnExt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904  wmo 2320   wss 3390  csn 3959  cop 3965  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cxp 4837   wrel 4844   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccl 20110  cnei 20190  cha 20401  cfil 20938   cflf 21028  CnExtccnext 21152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-pm 7493  df-rest 15399  df-fbas 19044  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-haus 20408  df-fil 20939  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cnext 21153 This theorem is referenced by:  cnextfvval  21158  cnextf  21159  cnextfres  21162
 Copyright terms: Public domain W3C validator