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Theorem cnextfun 18048
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1  |-  C  = 
U. J
cnextfrel.2  |-  B  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnextfun  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)

Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 17349 . . 3  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
2 cnextfrel.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
3 cnextfrel.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
42, 3cnextrel 18047 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
51, 4sylanl2 633 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
6 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  K  e.  Haus )
72toptopon 16953 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
87biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
98ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
10 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  A  C_  C
)
119, 7sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  Top )
122clsss3 17078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  C )
1311, 10, 12syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  A )  C_  C
)
14 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
1513, 14sseldd 3309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  C )
16 trnei 17877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
1716biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
19 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  F : A
--> B )
203hausflf 17982 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  E* y  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
216, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
2221ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2322alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
24 moanimv 2312 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2524albii 1572 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  A
)  /\  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2623, 25sylibr 204 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
27 df-br 4173 . . . . . . 7  |-  ( x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( ( JCnExt
K ) `  F
) )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( JCnExt K ) `
 F ) ) )
292, 3cnextfval 18046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
301, 29sylanl2 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3130eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
32 opeliunxp 4888 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3428, 31, 333bitrd 271 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3534mobidv 2289 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3635albidv 1632 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( A. x E* y  x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  A. x E* y
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3726, 36mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y )
38 dffun6 5428 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  ( Rel  ( ( JCnExt
K ) `  F
)  /\  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y ) )
395, 37, 38sylanbrc 646 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   clsccl 17037   neicnei 17116   Hauscha 17326   Filcfil 17830    fLimf cflf 17920  CnExtccnext 18043
This theorem is referenced by:  cnextfvval  18049  cnextf  18050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-pm 6980  df-rest 13605  df-fbas 16654  df-top 16918  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-haus 17333  df-fil 17831  df-flim 17924  df-flf 17925  df-cnext 18044
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