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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cnextfun | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
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cnextfrel.1 |
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cnextfrel.2 |
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cnextfun |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | haustop 20424 |
. . 3
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2 | cnextfrel.1 |
. . . 4
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3 | cnextfrel.2 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | cnextrel 21156 |
. . 3
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5 | 1, 4 | sylanl2 663 |
. 2
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6 | simpllr 777 |
. . . . . . 7
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7 | 2 | toptopon 20025 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 7 | biimpi 199 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | ad3antrrr 744 |
. . . . . . . 8
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10 | simplrr 779 |
. . . . . . . 8
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11 | 9, 7 | sylibr 217 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 2 | clsss3 20151 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 11, 10, 12 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . 9
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14 | simpr 468 |
. . . . . . . . 9
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15 | 13, 14 | sseldd 3419 |
. . . . . . . 8
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16 | trnei 20985 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | biimpa 492 |
. . . . . . . 8
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18 | 9, 10, 15, 14, 17 | syl31anc 1295 |
. . . . . . 7
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19 | simplrl 778 |
. . . . . . 7
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20 | 3 | hausflf 21090 |
. . . . . . 7
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21 | 6, 18, 19, 20 | syl3anc 1292 |
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22 | 21 | ex 441 |
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23 | 22 | alrimiv 1781 |
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24 | moanimv 2380 |
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25 | 24 | albii 1699 |
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26 | 23, 25 | sylibr 217 |
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27 | df-br 4396 |
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28 | 27 | a1i 11 |
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29 | 2, 3 | cnextfval 21155 |
. . . . . . . 8
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30 | 1, 29 | sylanl2 663 |
. . . . . . 7
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31 | 30 | eleq2d 2534 |
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32 | opeliunxp 4891 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . 6
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34 | 28, 31, 33 | 3bitrd 287 |
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35 | 34 | mobidv 2340 |
. . . 4
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36 | 35 | albidv 1775 |
. . 3
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37 | 26, 36 | mpbird 240 |
. 2
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38 | dffun6 5604 |
. 2
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39 | 5, 37, 38 | sylanbrc 677 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-map 7492 df-pm 7493 df-rest 15399 df-fbas 19044 df-top 19998 df-topon 20000 df-cld 20111 df-ntr 20112 df-cls 20113 df-nei 20191 df-haus 20408 df-fil 20939 df-flim 21032 df-flf 21033 df-cnext 21153 |
This theorem is referenced by: cnextfvval 21158 cnextf 21159 cnextfres 21162 |
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