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Theorem cnextfun 19763
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1  |-  C  = 
U. J
cnextfrel.2  |-  B  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnextfun  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)

Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19062 . . 3  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
2 cnextfrel.1 . . . 4  |-  C  = 
U. J
3 cnextfrel.2 . . . 4  |-  B  = 
U. K
42, 3cnextrel 19762 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
51, 4sylanl2 651 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Rel  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
6 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  K  e.  Haus )
72toptopon 18665 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
87biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
98ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
10 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  A  C_  C
)
119, 7sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  J  e.  Top )
122clsss3 18790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  C )
1311, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  A )  C_  C
)
14 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
1513, 14sseldd 3460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  x  e.  C )
16 trnei 19592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
19 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  F : A
--> B )
203hausflf 19697 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  E* y  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
216, 18, 19, 20syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
2221ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2322alrimiv 1686 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
24 moanimv 2342 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2524albii 1611 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  A
)  /\  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  A. x
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  ->  E* y  y  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
2623, 25sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
27 df-br 4396 . . . . . . 7  |-  ( x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( ( JCnExt
K ) `  F
) )
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (
( JCnExt K ) `
 F ) ) )
292, 3cnextfval 19761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
301, 29sylanl2 651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  = 
U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3130eleq2d 2522 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
32 opeliunxp 4993 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) )
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
( { x }  X.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3428, 31, 333bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  (
x ( ( JCnExt
K ) `  F
) y  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3534mobidv 2285 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3635albidv 1680 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  ( A. x E* y  x ( ( JCnExt K
) `  F )
y  <->  A. x E* y
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  /\  y  e.  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) ) ) )
3726, 36mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y )
38 dffun6 5536 . 2  |-  ( Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )  <->  ( Rel  ( ( JCnExt
K ) `  F
)  /\  A. x E* y  x (
( JCnExt K ) `
 F ) y ) )
395, 37, 38sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Haus )  /\  ( F : A --> B  /\  A  C_  C
) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   E*wmo 2262    C_ wss 3431   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4194   U_ciun 4274   class class class wbr 4395    X. cxp 4941   Rel wrel 4948   Fun wfun 5515   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ↾t crest 14473   Topctop 18625  TopOnctopon 18626   clsccl 18749   neicnei 18828   Hauscha 19039   Filcfil 19545    fLimf cflf 19635  CnExtccnext 19758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-map 7321  df-pm 7322  df-rest 14475  df-fbas 17934  df-top 18630  df-topon 18633  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-haus 19046  df-fil 19546  df-flim 19639  df-flf 19640  df-cnext 19759
This theorem is referenced by:  cnextfvval  19764  cnextf  19765
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