Theorem cnextfun 20690

Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfrel.1	|- C = U. J
cnextfrel.2	|- B = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnextfun	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )

Proof of Theorem cnextfun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 19959	. . 3 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
2		cnextfrel.1	. . . 4 |- C = U. J
3		cnextfrel.2	. . . 4 |- B = U. K
4	2, 3	cnextrel 20689	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Rel ( ( JCnExt K ) ` F ) )
5	1, 4	sylanl2 651	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Rel ( ( JCnExt K ) ` F ) )
6		simpllr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> K e. Haus )
7	2	toptopon 19561	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
8	7	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` C ) )
9	8	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> J e. (TopOn ` C ) )
10		simplrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> A C_ C )
11	9, 7	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> J e. Top )
12	2	clsss3 19687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ A C_ C ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ C )
13	11, 10, 12	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ C )
14		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
15	13, 14	sseldd 3500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> x e. C )
16		trnei 20519	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
17	16	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
18	9, 10, 15, 14, 17	syl31anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
19		simplrl 761	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> F : A --> B )
20	3	hausflf 20624	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
21	6, 18, 19, 20	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) /\ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
22	21	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
23	22	alrimiv 1720	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> A. x ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
24		moanimv 2352	. . . . 5 |- ( E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
25	24	albii 1641	. . . 4 |- ( A. x E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> A. x ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> E* y y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
26	23, 25	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> A. x E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
27		df-br 4457	. . . . . . 7 |- ( x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> <. x , y >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) )
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> <. x , y >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) ) )
29	2, 3	cnextfval 20688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( ( JCnExt K ) ` F ) = U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
30	1, 29	sylanl2 651	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( ( JCnExt K ) ` F ) = U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
31	30	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( <. x , y >. e. ( ( JCnExt K ) ` F ) <-> <. x , y >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
32		opeliunxp 5060	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) )
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( <. x , y >. e. U_ x e. ( ( cls ` J ) ` A ) ( { x } X. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
34	28, 31, 33	3bitrd 279	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
35	34	mobidv 2306	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
36	35	albidv 1714	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> ( A. x E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y <-> A. x E* y ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ) ) )
37	26, 36	mpbird 232	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> A. x E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y )
38		dffun6 5609	. 2 |- ( Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) <-> ( Rel ( ( JCnExt K ) ` F ) /\ A. x E* y x ( ( JCnExt K ) ` F ) y ) )
39	5, 37, 38	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Haus ) /\ ( F : A --> B /\ A C_ C ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   E*wmo 2284   C_ wss 3471   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   Rel wrel 5013   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ↾_t crest 14838   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646   neicnei 19725   Hauscha 19936   Filcfil 20472   fLimf cflf 20562  CnExtccnext 20685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-pm 7441  df-rest 14840  df-fbas 18543  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-haus 19943  df-fil 20473  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cnext 20686

This theorem is referenced by:  cnextfvval  20691  cnextf  20692