Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnextfres1 21161
 Description: and its extension by continuity agree on the domain of . (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1
cnextf.2
cnextf.3
cnextf.4
cnextf.5
cnextf.a
cnextf.6
cnextf.7 t
cnextcn.8
cnextfres1.1 t
Assertion
Ref Expression
cnextfres1 CnExt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5
2 cnextf.2 . . . . 5
3 cnextf.3 . . . . 5
4 cnextf.4 . . . . 5
5 cnextf.5 . . . . 5
6 cnextf.a . . . . 5
7 cnextf.6 . . . . 5
8 cnextf.7 . . . . 5 t
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 21159 . . . 4 CnExt
10 ffn 5739 . . . 4 CnExt CnExt
119, 10syl 17 . . 3 CnExt
12 fnssres 5699 . . 3 CnExt CnExt
1311, 6, 12syl2anc 673 . 2 CnExt
14 ffn 5739 . . 3
155, 14syl 17 . 2
16 fvres 5893 . . . 4 CnExt CnExt
1716adantl 473 . . 3 CnExt CnExt
186sselda 3418 . . . 4
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 21158 . . . 4 CnExt t
2018, 19syldan 478 . . 3 CnExt t
215ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
22 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
231restuni 20255 . . . . . . . . . . . . . 14 t
243, 6, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 t
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 t
2622, 25eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11 t
27 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13 t
28 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
297, 28syl6eqelr 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029, 6ssexd 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 resttop 20253 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
323, 30, 31syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 t
33 haustop 20424 . . . . . . . . . . . . . . 15
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
3524feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
365, 35mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 t
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t
3837, 2cnnei 20375 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t t
3932, 34, 36, 38syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
4027, 39mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12 t t
4140r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11 t t
4226, 41syldan 478 . . . . . . . . . 10 t
4342r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9 t
443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
456adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
46 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . 13
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
481neitr 20273 . . . . . . . . . . . 12 t t
4944, 45, 47, 48syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 t t
5049rexeqdv 2980 . . . . . . . . . 10 t t
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 t t
5243, 51mpbid 215 . . . . . . . 8 t
5352ralrimiva 2809 . . . . . . 7 t
544adantr 472 . . . . . . . . 9
552toptopon 20025 . . . . . . . . . 10 TopOn
5655biimpi 199 . . . . . . . . 9 TopOn
5754, 33, 563syl 18 . . . . . . . 8 TopOn
587adantr 472 . . . . . . . . . 10
5918, 58eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9
601toptopon 20025 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
613, 60sylib 201 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6261adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
63 trnei 20985 . . . . . . . . . 10 TopOn t
6462, 45, 18, 63syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 t
6559, 64mpbid 215 . . . . . . . 8 t
665adantr 472 . . . . . . . 8
67 flfnei 21084 . . . . . . . 8 TopOn t t t
6857, 65, 66, 67syl3anc 1292 . . . . . . 7 t t
6921, 53, 68mpbir2and 936 . . . . . 6 t
70 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
7170anbi2d 718 . . . . . . . . . 10
72 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
7473oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 t t
7574oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12 t t
7675fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11 t t
7776neeq1d 2702 . . . . . . . . . 10 t t
7871, 77imbi12d 327 . . . . . . . . 9 t t
7978, 8chvarv 2120 . . . . . . . 8 t
8018, 79syldan 478 . . . . . . 7 t
812hausflf2 21091 . . . . . . 7 t t t
8254, 65, 66, 80, 81syl31anc 1295 . . . . . 6 t
83 en1eqsn 7819 . . . . . 6 t t t
8469, 82, 83syl2anc 673 . . . . 5 t
8584unieqd 4200 . . . 4 t
86 fvex 5889 . . . . 5
8786unisn 4205 . . . 4
8885, 87syl6eq 2521 . . 3 t
8917, 20, 883eqtrd 2509 . 2 CnExt
9013, 15, 89eqfnfvd 5994 1 CnExt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cres 4841  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1o 7193   cen 7584   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccl 20110  cnei 20190   ccn 20317  cha 20401  creg 20402  cfil 20938   cflf 21028  CnExtccnext 21152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cnext 21153 This theorem is referenced by:  rrhre  28899
 Copyright terms: Public domain W3C validator