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Theorem cnextfres1 21082
Description:  F and its extension by continuity agree on the domain of  F. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
cnextcn.8  |-  ( ph  ->  K  e.  Reg )
cnextfres1.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
) )
Assertion
Ref Expression
cnextfres1  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  =  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    ph, x

Proof of Theorem cnextfres1
Dummy variables  y 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5  |-  C  = 
U. J
2 cnextf.2 . . . . 5  |-  B  = 
U. K
3 cnextf.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 cnextf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
6 cnextf.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
7 cnextf.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
8 cnextf.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 21080 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F ) : C --> B )
10 ffn 5746 . . . 4  |-  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) : C --> B  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  Fn  C )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F )  Fn  C )
12 fnssres 5707 . . 3  |-  ( ( ( ( JCnExt K
) `  F )  Fn  C  /\  A  C_  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F )  |`  A )  Fn  A
)
1311, 6, 12syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  Fn  A )
14 ffn 5746 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
155, 14syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
16 fvres 5896 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  y ) )
1716adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  y ) )
186sselda 3464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 21079 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  y )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
2018, 19syldan 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  y )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
215ffvelrnda 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  B )
22 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
231restuni 20177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
243, 6, 23syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
2524adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
2622, 25eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( Jt  A ) )
27 cnextfres1.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
) )
28 fvex 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cls `  J ) `
 A )  e. 
_V
297, 28syl6eqelr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
3029, 6ssexd 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
31 resttop 20175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
323, 30, 31syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
33 haustop 20346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
3524feq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  F : U. ( Jt  A ) --> B ) )
365, 35mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : U. ( Jt  A ) --> B )
37 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3837, 2cnnei 20297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : U. ( Jt  A ) --> B )  -> 
( F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
)  <->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
)
3932, 34, 36, 38syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
)  <->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
)
4027, 39mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4140r19.21bi 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4226, 41syldan 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4342r19.21bi 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  ->  E. v  e.  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
443adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  J  e.  Top )
456adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  C_  C )
46 snssi 4144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  { y }  C_  A )
481neitr 20195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C  /\  {
y }  C_  A
)  ->  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  =  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) )
5049rexeqdv 3029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( E. v  e.  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
)
5150adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  -> 
( E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
)
5243, 51mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ( F
" v )  C_  w )
5352ralrimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
544adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  K  e.  Haus )
552toptopon 19947 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  B ) )
5655biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
5754, 33, 563syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
587adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  =  C )
5918, 58eleqtrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
601toptopon 19947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
613, 60sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
6261adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
63 trnei 20906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  y  e.  C )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
6462, 45, 18, 63syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
6559, 64mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
665adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  F : A --> B )
67 flfnei 21005 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  <->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
) )
6857, 65, 66, 67syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  <->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
) )
6921, 53, 68mpbir2and 930 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
70 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  C  <->  y  e.  C ) )
7170anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  C )  <->  ( ph  /\  y  e.  C ) ) )
72 sneq 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
7372fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
7473oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
7574oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) )
7675fveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
7776neeq1d 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/)  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) )
7871, 77imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  C )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  C
)  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) ) )
7978, 8chvarv 2072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
8018, 79syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
812hausflf2 21012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
8254, 65, 66, 80, 81syl31anc 1267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
83 en1eqsn 7811 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ) `  F )  =  { ( F `
 y ) } )
8469, 82, 83syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  {
( F `  y
) } )
8584unieqd 4229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  U. { ( F `  y ) } )
86 fvex 5892 . . . . 5  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
8786unisn 4234 . . . 4  |-  U. {
( F `  y
) }  =  ( F `  y )
8885, 87syl6eq 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  ( F `  y ) )
8917, 20, 883eqtrd 2467 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( F `  y ) )
9013, 15, 89eqfnfvd 5995 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |` cres 4855   "cima 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   1oc1o 7187    ~~ cen 7578   ↾t crest 15319   Topctop 19916  TopOnctopon 19917   clsccl 20032   neicnei 20112    Cn ccn 20239   Hauscha 20323   Regcreg 20324   Filcfil 20859    fLimf cflf 20949  CnExtccnext 21073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fi 7935  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-cld 20033  df-ntr 20034  df-cls 20035  df-nei 20113  df-cn 20242  df-cnp 20243  df-haus 20330  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-cnext 21074
This theorem is referenced by:  rrhre  28834
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