MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Unicode version

Theorem cnextfres 20438
Description:  F and its extension by continuity agree on the domain of  F. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
cnextcn.8  |-  ( ph  ->  K  e.  Reg )
cnextfres.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
) )
Assertion
Ref Expression
cnextfres  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  =  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    ph, x

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variables  y 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5  |-  C  = 
U. J
2 cnextf.2 . . . . 5  |-  B  = 
U. K
3 cnextf.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 cnextf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
6 cnextf.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
7 cnextf.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
8 cnextf.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 20436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F ) : C --> B )
10 ffn 5718 . . . 4  |-  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) : C --> B  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  Fn  C )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F )  Fn  C )
12 fnssres 5681 . . 3  |-  ( ( ( ( JCnExt K
) `  F )  Fn  C  /\  A  C_  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F )  |`  A )  Fn  A
)
1311, 6, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  Fn  A )
14 ffn 5718 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
155, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
16 fvres 5867 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  y ) )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  y ) )
186sselda 3487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 20435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  y )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
2018, 19syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  y )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
215ffvelrnda 6013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  B )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
231restuni 19533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
243, 6, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
2622, 25eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( Jt  A ) )
27 cnextfres.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
) )
28 fvex 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cls `  J ) `
 A )  e. 
_V
297, 28syl6eqelr 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
3029, 6ssexd 4581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
31 resttop 19531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
323, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
33 haustop 19702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
344, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
3524feq2d 5705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  F : U. ( Jt  A ) --> B ) )
365, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : U. ( Jt  A ) --> B )
37 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3837, 2cnnei 19653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : U. ( Jt  A ) --> B )  -> 
( F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
)  <->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
)
3932, 34, 36, 38syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
)  <->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
)
4027, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4140r19.21bi 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4226, 41syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4342r19.21bi 2810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  ->  E. v  e.  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  J  e.  Top )
456adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  C_  C )
46 snssi 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  { y }  C_  A )
481neitr 19551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C  /\  {
y }  C_  A
)  ->  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  =  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) )
5049rexeqdv 3045 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( E. v  e.  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
)
5150adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  -> 
( E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
)
5243, 51mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ( F
" v )  C_  w )
5352ralrimiva 2855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  K  e.  Haus )
552toptopon 19304 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  B ) )
5655biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
5754, 33, 563syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
587adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  =  C )
5918, 58eleqtrrd 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
601toptopon 19304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
613, 60sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
63 trnei 20263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  y  e.  C )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
6462, 45, 18, 63syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
6559, 64mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
665adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  F : A --> B )
67 flfnei 20362 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  <->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
) )
6857, 65, 66, 67syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  <->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
) )
6921, 53, 68mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
70 eleq1 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  C  <->  y  e.  C ) )
7170anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  C )  <->  ( ph  /\  y  e.  C ) ) )
72 sneq 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
7372fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
7473oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
7574oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) )
7675fveq1d 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
7776neeq1d 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/)  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) )
7871, 77imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  C )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  C
)  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) ) )
7978, 8chvarv 1998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
8018, 79syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
812hausflf2 20369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
8254, 65, 66, 80, 81syl31anc 1230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
83 en1eqsn 7748 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ) `  F )  =  { ( F `
 y ) } )
8469, 82, 83syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  {
( F `  y
) } )
8584unieqd 4241 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  U. { ( F `  y ) } )
86 fvex 5863 . . . . 5  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
8786unisn 4246 . . . 4  |-  U. {
( F `  y
) }  =  ( F `  y )
8885, 87syl6eq 2498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  ( F `  y ) )
8917, 20, 883eqtrd 2486 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( F `  y ) )
9013, 15, 89eqfnfvd 5966 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    C_ wss 3459   (/)c0 3768   {csn 4011   U.cuni 4231   class class class wbr 4434    |` cres 4988   "cima 4989    Fn wfn 5570   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   1oc1o 7122    ~~ cen 7512   ↾t crest 14692   Topctop 19264  TopOnctopon 19265   clsccl 19389   neicnei 19468    Cn ccn 19595   Hauscha 19679   Regcreg 19680   Filcfil 20216    fLimf cflf 20306  CnExtccnext 20429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fi 7870  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-fbas 18287  df-fg 18288  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-cld 19390  df-ntr 19391  df-cls 19392  df-nei 19469  df-cn 19598  df-cnp 19599  df-haus 19686  df-fil 20217  df-fm 20309  df-flim 20310  df-flf 20311  df-cnext 20430
This theorem is referenced by:  rrhre  27869
  Copyright terms: Public domain W3C validator