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Theorem cnextfres 19481
Description:  F and its extension by continuity agree on the domain of  F. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
cnextcn.8  |-  ( ph  ->  K  e.  Reg )
cnextfres.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
) )
Assertion
Ref Expression
cnextfres  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  =  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    ph, x

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variables  y 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextf.1 . . . . 5  |-  C  = 
U. J
2 cnextf.2 . . . . 5  |-  B  = 
U. K
3 cnextf.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4 cnextf.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
5 cnextf.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
6 cnextf.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
7 cnextf.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
8 cnextf.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextf 19479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F ) : C --> B )
10 ffn 5547 . . . 4  |-  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) : C --> B  ->  (
( JCnExt K ) `
 F )  Fn  C )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F )  Fn  C )
12 fnssres 5512 . . 3  |-  ( ( ( ( JCnExt K
) `  F )  Fn  C  /\  A  C_  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F )  |`  A )  Fn  A
)
1311, 6, 12syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  Fn  A )
14 ffn 5547 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
155, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
16 fvres 5692 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  y ) )
1716adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  y ) )
186sselda 3344 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  C )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cnextfvval 19478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  y )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
2018, 19syldan 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  y )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
215ffvelrnda 5831 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  B )
22 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
231restuni 18607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
243, 6, 23syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
2524adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
2622, 25eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( Jt  A ) )
27 cnextfres.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
) )
28 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cls `  J ) `
 A )  e. 
_V
297, 28syl6eqelr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
3029, 6ssexd 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
31 resttop 18605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
323, 30, 31syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
33 haustop 18776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
344, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
3524feq2d 5535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  F : U. ( Jt  A ) --> B ) )
365, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : U. ( Jt  A ) --> B )
37 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
3837, 2cnnei 18727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F : U. ( Jt  A ) --> B )  -> 
( F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
)  <->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
)
3932, 34, 36, 38syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( Jt  A )  Cn  K
)  <->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
)
4027, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U. ( Jt  A ) A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4140r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4226, 41syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
4342r19.21bi 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  ->  E. v  e.  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w )
443adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  J  e.  Top )
456adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A  C_  C )
46 snssi 4005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
4746adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  { y }  C_  A )
481neitr 18625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  C  /\  {
y }  C_  A
)  ->  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
4944, 45, 47, 48syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } )  =  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) )
5049rexeqdv 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( E. v  e.  (
( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
)
5150adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  -> 
( E. v  e.  ( ( nei `  ( Jt  A ) ) `  { y } ) ( F " v
)  C_  w  <->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
)
5243, 51mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  A )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) )  ->  E. v  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ( F
" v )  C_  w )
5352ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
544adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  K  e.  Haus )
552toptopon 18379 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  B ) )
5655biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
5754, 33, 563syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
587adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  =  C )
5918, 58eleqtrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
601toptopon 18379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
613, 60sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
6261adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
63 trnei 19306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  y  e.  C )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
6462, 45, 18, 63syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
6559, 64mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
665adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  F : A --> B )
67 flfnei 19405 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ( nei `  J
) `  { y } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  <->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
) )
6857, 65, 66, 67syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  <->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  y ) } ) E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ( F " v
)  C_  w )
) )
6921, 53, 68mpbir2and 906 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
70 eleq1 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  C  <->  y  e.  C ) )
7170anbi2d 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  C )  <->  ( ph  /\  y  e.  C ) ) )
72 sneq 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
7372fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
7473oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
7574oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) )
7675fveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
7776neeq1d 2611 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/)  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) )
7871, 77imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  C )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  C
)  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) ) )
7978, 8chvarv 1957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
8018, 79syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
812hausflf2 19412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
8254, 65, 66, 80, 81syl31anc 1214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
83 en1eqsn 7530 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )  ->  ( ( K 
fLimf  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )t  A ) ) `  F )  =  { ( F `
 y ) } )
8469, 82, 83syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  {
( F `  y
) } )
8584unieqd 4089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  U. { ( F `  y ) } )
86 fvex 5689 . . . . 5  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
8786unisn 4094 . . . 4  |-  U. {
( F `  y
) }  =  ( F `  y )
8885, 87syl6eq 2481 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =  ( F `  y ) )
8917, 20, 883eqtrd 2469 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A ) `  y )  =  ( F `  y ) )
9013, 15, 89eqfnfvd 5788 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  |`  A )  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    |` cres 4829   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1oc1o 6901    ~~ cen 7295   ↾t crest 14341   Topctop 18339  TopOnctopon 18340   clsccl 18463   neicnei 18542    Cn ccn 18669   Hauscha 18753   Regcreg 18754   Filcfil 19259    fLimf cflf 19349  CnExtccnext 19472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14343  df-topgen 14364  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-cnext 19473
This theorem is referenced by:  rrhre  26300
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