Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnextfres 21162
 Description: and its extension by continuity agree on the domain of . (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c
cnextfres.b
cnextfres.j
cnextfres.k
cnextfres.a
cnextfres.1 t
cnextfres.x
Assertion
Ref Expression
cnextfres CnExt

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3
2 cnextfres.k . . 3
3 cnextfres.1 . . . . 5 t
4 eqid 2471 . . . . . 6 t t
5 cnextfres.b . . . . . 6
64, 5cnf 20339 . . . . 5 t t
73, 6syl 17 . . . 4 t
8 cnextfres.a . . . . . 6
9 cnextfres.c . . . . . . 7
109restuni 20255 . . . . . 6 t
111, 8, 10syl2anc 673 . . . . 5 t
1211feq2d 5725 . . . 4 t
137, 12mpbird 240 . . 3
149, 5cnextfun 21157 . . 3 CnExt
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 1293 . 2 CnExt
169sscls 20148 . . . . . . . 8
171, 8, 16syl2anc 673 . . . . . . 7
18 cnextfres.x . . . . . . 7
1917, 18sseldd 3419 . . . . . 6
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 21136 . . . . . 6 t
2119, 20jca 541 . . . . 5 t
22 sneq 3969 . . . . . . . . . 10
2322fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
2423oveq1d 6323 . . . . . . . 8 t t
2524oveq2d 6324 . . . . . . 7 t t
2625fveq1d 5881 . . . . . 6 t t
2726opeliunxp2 4978 . . . . 5 t t
2821, 27sylibr 217 . . . 4 t
29 haustop 20424 . . . . . . 7
302, 29syl 17 . . . . . 6
319, 5cnextfval 21155 . . . . . 6 CnExt t
321, 30, 13, 8, 31syl22anc 1293 . . . . 5 CnExt t
3332eleq2d 2534 . . . 4 CnExt t
3428, 33mpbird 240 . . 3 CnExt
35 df-br 4396 . . 3 CnExt CnExt
3634, 35sylibr 217 . 2 CnExt
37 funbrfv 5917 . . 3 CnExt CnExt CnExt
3837imp 436 . 2 CnExt CnExt CnExt
3915, 36, 38syl2anc 673 1 CnExt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390  csn 3959  cop 3965  cuni 4190  ciun 4269   class class class wbr 4395   cxp 4837   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  ccl 20110  cnei 20190   ccn 20317  cha 20401   cflf 21028  CnExtccnext 21152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cnext 21153 This theorem is referenced by:  rrhqima  28892
 Copyright terms: Public domain W3C validator