Theorem cnextcn 19598

Description: Extension by continuity. Theorem 1 of [BourbakiTop1] p. I.57. Given a topology J on C, a subset A dense in C, this states a condition for F from A to a regular space K to be extensible by continuity (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	|- C = U. J
cnextf.2	|- B = U. K
cnextf.3	|- ( ph -> J e. Top )
cnextf.4	|- ( ph -> K e. Haus )
cnextf.5	|- ( ph -> F : A --> B )
cnextf.a	|- ( ph -> A C_ C )
cnextf.6	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
cnextf.7	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
cnextcn.8	|- ( ph -> K e. Reg )

Assertion

Ref	Expression
cnextcn	|- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, F   x, J   x, K   ph, x

Proof of Theorem cnextcn

Dummy variables y b d u v z w c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 748	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> ph )
2		simpll 748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> ph )
3		simpr3 991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
4		cnextf.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. Top )
5	4	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> J e. Top )
6		simpr2 990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7		neii2 18671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) )
9		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
10	9	snss 3996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
11	10	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { x } C_ v -> x e. v )
12	11	anim1i 565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { x } C_ v /\ v C_ d ) -> ( x e. v /\ v C_ d ) )
13	12	anim2i 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) )
14	13	anim2i 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) ) -> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
15	14	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) ) )
16		3anass 964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) )
17	16	anbi1i 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) /\ v C_ d ) )
18		anass 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) /\ v C_ d ) <-> ( ph /\ ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) ) )
19		anass 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) )
20	19	anbi2i 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
21	17, 18, 20	3bitri 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
22		opnneip 18682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
23	4, 22	syl3an1 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
24	23	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
25		simpr2 990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v C_ d /\ ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) ) -> v e. J )
26	25	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v C_ d -> ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. J ) )
27	26	imdistanri 686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> ( v e. J /\ v C_ d ) )
28	24, 27	jca 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) )
29	21, 28	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) )
30	15, 29	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) ) )
31	30	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) ) )
32		cnextf.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> K e. Haus )
33		haustop 18894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K e. Top )
35	34	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> K e. Top )
36		imassrn 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F " ( d i^i A ) ) C_ ran F
37		cnextf.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> B )
38		frn 5562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ran F C_ B )
40	36, 39	syl5ss 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F " ( d i^i A ) ) C_ B )
41	40	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( F " ( d i^i A ) ) C_ B )
42		ssrin 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v C_ d -> ( v i^i A ) C_ ( d i^i A ) )
43		imass2 5201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v i^i A ) C_ ( d i^i A ) -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v C_ d -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
45	44	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
46		cnextf.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B = U. K
47	46	clsss 18617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Top /\ ( F " ( d i^i A ) ) C_ B /\ ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
48	35, 41, 45, 47	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
49		sstr 3361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
50	48, 49	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v C_ d ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
51	50	an32s 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) /\ v C_ d ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( v C_ d -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
53	52	anim2d 562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ v C_ d ) -> ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) )
54	53	anim2d 562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) ) )
55	31, 54	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) ) )
56	55	reximdv2 2823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) )
57	56	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) /\ E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
58	2, 3, 8, 57	syl21anc 1212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
59	58	3anassrs 1204	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
60		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
61		simp-4l 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> ph )
62		simplr 749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) )
63		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V )
65		cnextf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = U. J
66	65	toptopon 18497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
67	4, 66	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. (TopOn ` C ) )
68	67	elfvexd 5715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. _V )
69		cnextf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ C )
70	68, 69	ssexd 4436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. _V )
71		elrest 14362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) <-> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) <-> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) ) )
73	72	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) )
74		imaeq2 5162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( F " u ) = ( F " ( d i^i A ) ) )
75	74	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
76	75	sseq1d 3380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w <-> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
77	76	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( u = ( d i^i A ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
78	77	reximdv 2825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
79	73, 78	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
80	79	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w /\ ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
81	60, 61, 62, 80	syl12anc 1211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
82		simplll 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ph /\ x e. C ) )
83		simplr 749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
84		cnextf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
85		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. C <-> y e. C ) )
86	85	anbi2d 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ y e. C ) ) )
87		sneq 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> { x } = { y } )
88	87	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
89	88	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) )
90	89	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) )
91	90	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
92	91	neeq1d 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
93	86, 92	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
94		cnextf.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
95	93, 94	chvarv 1963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
96	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 95	cnextfvval 19596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
97		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
98	97	uniex 6375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
99	98	snid 3902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) }
100	32	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. Haus )
101	84	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> x e. C ) )
102	101	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
103	67	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
104	69	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A C_ C )
105		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. C )
106		trnei 19424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
107	103, 104, 105, 106	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
108	102, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
109	37	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : A --> B )
110	46	hausflf2 19530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
111	100, 108, 109, 94, 110	syl31anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
112		en1b 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
113	111, 112	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
114	99, 113	syl5eleqr 2528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
115	96, 114	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
116	46	toptopon 18497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` B ) )
117	34, 116	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. (TopOn ` B ) )
118	117	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. (TopOn ` B ) )
119		flfnei 19523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) ) )
120	118, 108, 109, 119	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) ) )
121	115, 120	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) )
122	121	simprd 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
123	122	r19.21bi 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
124	82, 83, 123	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
125	34	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> K e. Top )
126		simplr 749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
127	46	neii1 18669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> b C_ B )
128	125, 126, 127	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b C_ B )
129		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
130	46	clsss 18617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( F " u ) C_ b ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` b ) )
131		sstr 3361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
132	130, 131	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( F " u ) C_ b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
133	132	3an1rs 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) /\ ( F " u ) C_ b ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
134	133	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( F " u ) C_ b -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
135	134	reximdv 2825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
136	125, 128, 129, 135	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
137	136	adantllr 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
138	124, 137	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
139	34	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> K e. Top )
140		cnextcn.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. Reg )
141	140	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> K e. Reg )
142	141	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> K e. Reg )
143		simplr 749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> c e. K )
144		simprl 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c )
145		regsep 18897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Reg /\ c e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) )
146	142, 143, 144, 145	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) )
147		sstr 3361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c /\ c C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
148	147	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ w -> ( ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
149	148	anim2d 562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ w -> ( ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
150	149	reximdv 2825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c C_ w -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
151	150	ad2antll 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
152	146, 151	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
153		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
154		neii2 18671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) )
155		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. _V
156	155	snss 3996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c <-> { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c )
157	156	anbi1i 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) <-> ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) )
158	157	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
159	158	reximi 2821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. c e. K ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
160	154, 159	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
161	139, 153, 160	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
162	152, 161	r19.29a 2860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
163		anass 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) <-> ( b e. K /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
164		opnneip 18682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
165	164	3expib 1185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Top -> ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) )
166	165	anim1d 561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Top -> ( ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
167	163, 166	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Top -> ( ( b e. K /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) -> ( b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
168	167	reximdv2 2823	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
169	139, 162, 168	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
170	138, 169	r19.29a 2860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
171	81, 170	r19.29a 2860	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
172	59, 171	r19.29a 2860	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
173		simplr 749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
174		simpll 748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ph )
175	4	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> J e. Top )
176		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v e. J )
177	65	eltopss 18479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ v e. J ) -> v C_ C )
178	175, 176, 177	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v C_ C )
179		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> z e. v )
180	178, 179	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> z e. C )
181		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V )
183	70	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> A e. _V )
184		opnneip 18682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ v e. J /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
185	4, 184	syl3an1 1246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. J /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
186	185	3expa 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
187		elrestr 14363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V /\ A e. _V /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
188	182, 183, 186, 187	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
189	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94	cnextfvval 19596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
190	189	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
191	32	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> K e. Haus )
192	84	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> z e. C ) )
193	192	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
194	67	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
195	69	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> A C_ C )
196		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. C )
197		trnei 19424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ z e. C ) -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
198	194, 195, 196, 197	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
199	193, 198	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
200	37	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> F : A --> B )
201		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( x e. C <-> z e. C ) )
202	201	anbi2d 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ z e. C ) ) )
203		sneq 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = z -> { x } = { z } )
204	203	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
205	204	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
206	205	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
207	206	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
208	207	neeq1d 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
209	202, 208	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
210	209, 94	chvarv 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
211	46	hausflf2 19530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
212	191, 199, 200, 210, 211	syl31anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
213		en1b 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
214	212, 213	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
215	214	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
216	117	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> K e. (TopOn ` B ) )
217		flfval 19522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
218	216, 199, 200, 217	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
219	218	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
220		uniexg 6376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( K e. Haus -> U. K e. _V )
221	32, 220	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> U. K e. _V )
222	221	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> U. K e. _V )
223	46, 222	syl5eqel 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> B e. _V )
224	199	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
225		filfbas 19380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
226	224, 225	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
227	37	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> F : A --> B )
228		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
229		fgfil 19407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
230	199, 229	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
231	230	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
232	228, 231	eleqtrrd 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( v i^i A ) e. ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
233		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
234	233	imaelfm 19483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. _V /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( v i^i A ) e. ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) -> ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
235	223, 226, 227, 232, 234	syl31anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
236		flimclsi 19510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
237	235, 236	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
238	219, 237	eqsstrd 3387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
239	215, 238	eqsstr3d 3388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
240		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
241	240	uniex 6375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
242	241	snss 3996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) <-> { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
243	239, 242	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
244	190, 243	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
245	174, 180, 188, 244	syl21anc 1212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
246	245	adantlr 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
247	173, 246	sseldd 3354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
248	247	ralrimiva 2797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
249	248	expl 615	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
250	249	reximdv 2825	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
251	250	ad2antrr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
252	172, 251	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
253	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94	cnextf 19597	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B )
254		ffun 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
255	253, 254	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
256	255	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
257	65	neii1 18669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ C )
258	4, 257	sylan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ C )
259		fdm 5560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
260	253, 259	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
261	260	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
262	258, 261	sseqtr4d 3390	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ dom ( ( JCnExt K ) ` F ) )
263		funimass4 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) /\ v C_ dom ( ( JCnExt K ) ` F ) ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w <-> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
264	256, 262, 263	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w <-> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
265	264	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> ( A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
266	265	reximdva 2826	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
267	1, 252, 266	sylc 60	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
268	267	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
269	268	ralrimiva 2797	. 2 |- ( ph -> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
270	65, 46	cnnei 18845	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) <-> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
271	4, 34, 253, 270	syl3anc 1213	. 2 |- ( ph -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) <-> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
272	269, 271	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1oc1o 6909   ~~ cen 7303   ↾_t crest 14355   fBascfbas 17763   filGencfg 17764   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   clsccl 18581   neicnei 18660   Cn ccn 18787   Hauscha 18871   Regcreg 18872   Filcfil 19377   FilMap cfm 19465   fLim cflim 19466   fLimf cflf 19467  CnExtccnext 19590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-1o 6916  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-reg 18879  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-cnext 19591

This theorem is referenced by:  cnextucn  19837