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Theorem cnextcn 21082
Description: Extension by continuity. Theorem 1 of [BourbakiTop1] p. I.57. Given a topology  J on  C, a subset  A dense in  C, this states a condition for  F from  A to a regular space  K to be extensible by continuity. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1  |-  C  = 
U. J
cnextf.2  |-  B  = 
U. K
cnextf.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
cnextf.4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
cnextf.5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
cnextf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
cnextf.6  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
cnextf.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
cnextcn.8  |-  ( ph  ->  K  e.  Reg )
Assertion
Ref Expression
cnextcn  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F )  e.  ( J  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, F    x, J    x, K    ph, x

Proof of Theorem cnextcn
Dummy variables  y 
b  d  u  v  z  w  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  ph )
2 simpll 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )  ->  ph )
3 simpr3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )  -> 
( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w )
4 cnextf.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
54ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )  ->  J  e.  Top )
6 simpr2 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )  -> 
d  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
7 neii2 20124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  d  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  E. v  e.  J  ( {
x }  C_  v  /\  v  C_  d ) )
85, 6, 7syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )  ->  E. v  e.  J  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d
) )
9 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
109snss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  v  <->  { x }  C_  v )
1110biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { x }  C_  v  ->  x  e.  v )
1211anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d
)  ->  ( x  e.  v  /\  v  C_  d ) )
1312anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  J  /\  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d
) )  ->  (
v  e.  J  /\  ( x  e.  v  /\  v  C_  d ) ) )
1413anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  J  /\  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d
) ) )  -> 
( ph  /\  (
v  e.  J  /\  ( x  e.  v  /\  v  C_  d ) ) ) )
1514ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  J  /\  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d ) )  ->  ( ph  /\  ( v  e.  J  /\  ( x  e.  v  /\  v  C_  d
) ) ) ) )
16 3anass 989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  <->  ( ph  /\  ( v  e.  J  /\  x  e.  v
) ) )
1716anbi1i 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d )  <->  ( ( ph  /\  ( v  e.  J  /\  x  e.  v ) )  /\  v  C_  d ) )
18 anass 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  J  /\  x  e.  v )
)  /\  v  C_  d )  <->  ( ph  /\  ( ( v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d ) ) )
19 anass 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( v  e.  J  /\  x  e.  v
)  /\  v  C_  d )  <->  ( v  e.  J  /\  (
x  e.  v  /\  v  C_  d ) ) )
2019anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d ) )  <->  ( ph  /\  ( v  e.  J  /\  ( x  e.  v  /\  v  C_  d
) ) ) )
2117, 18, 203bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d )  <->  ( ph  /\  ( v  e.  J  /\  ( x  e.  v  /\  v  C_  d
) ) ) )
22 opnneip 20135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
234, 22syl3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
2423adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d )  ->  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
25 simpr2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  d  /\  ( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v ) )  -> 
v  e.  J )
2625ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
C_  d  ->  (
( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  J ) )
2726imdistanri 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d )  ->  (
v  e.  J  /\  v  C_  d ) )
2824, 27jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  x  e.  v )  /\  v  C_  d )  ->  (
v  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  ( v  e.  J  /\  v  C_  d ) ) )
2921, 28sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  J  /\  (
x  e.  v  /\  v  C_  d ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
v  e.  J  /\  v  C_  d ) ) )
3015, 29syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  J  /\  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
v  e.  J  /\  v  C_  d ) ) ) )
3130adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )  ->  ( ( v  e.  J  /\  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
v  e.  J  /\  v  C_  d ) ) ) )
32 cnextf.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
33 haustop 20347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  C_  d )  ->  K  e.  Top )
36 imassrn 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F
" ( d  i^i 
A ) )  C_  ran  F
37 cnextf.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
38 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  B
)
4036, 39syl5ss 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F " (
d  i^i  A )
)  C_  B )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  C_  d )  ->  ( F " ( d  i^i 
A ) )  C_  B )
42 ssrin 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v 
C_  d  ->  (
v  i^i  A )  C_  ( d  i^i  A
) )
43 imass2 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  i^i  A ) 
C_  ( d  i^i 
A )  ->  ( F " ( v  i^i 
A ) )  C_  ( F " ( d  i^i  A ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v 
C_  d  ->  ( F " ( v  i^i 
A ) )  C_  ( F " ( d  i^i  A ) ) )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  C_  d )  ->  ( F " ( v  i^i 
A ) )  C_  ( F " ( d  i^i  A ) ) )
46 cnextf.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  = 
U. K
4746clsss 20069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( F " ( d  i^i  A ) ) 
C_  B  /\  ( F " ( v  i^i 
A ) )  C_  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( v  i^i  A ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) ) )
4835, 41, 45, 47syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  C_  d )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) ) )
49 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )
5048, 49sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  C_  d )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )
5150an32s 813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w )  /\  v  C_  d )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )
5251ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )  ->  ( v  C_  d  ->  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
5352anim2d 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )  ->  ( ( v  e.  J  /\  v  C_  d )  ->  (
v  e.  J  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) ) )
5453anim2d 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )  ->  ( ( v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
v  e.  J  /\  v  C_  d ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
v  e.  J  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) ) ) )
5531, 54syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )  ->  ( ( v  e.  J  /\  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d ) )  ->  ( v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
v  e.  J  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) ) ) )
5655reximdv2 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )  ->  ( E. v  e.  J  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) ) )
5756imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w )  /\  E. v  e.  J  ( { x }  C_  v  /\  v  C_  d
) )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
582, 3, 8, 57syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  (
w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )  ->  E. v  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
59583anassrs 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
60 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w )
61 simp-4l 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w )  ->  ph )
62 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w )  ->  u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) )
63 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( nei `  J
) `  { x } )  e.  _V )
65 cnextf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  = 
U. J
6665toptopon 19948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  C ) )
674, 66sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  C ) )
6867elfvexd 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
69 cnextf.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
7068, 69ssexd 4550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
71 elrest 15326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { x } )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  <->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) u  =  ( d  i^i  A
) ) )
7264, 70, 71syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  <->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) u  =  ( d  i^i  A
) ) )
7372biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) )  ->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) u  =  ( d  i^i  A
) )
74 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( d  i^i 
A )  ->  ( F " u )  =  ( F " (
d  i^i  A )
) )
7574fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( d  i^i 
A )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " u ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) ) )
7675sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( d  i^i 
A )  ->  (
( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w 
<->  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
7776biimpcd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w  ->  ( u  =  ( d  i^i  A
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( d  i^i  A ) ) )  C_  w )
)
7877reximdv 2861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w  ->  ( E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) u  =  ( d  i^i  A
)  ->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
7973, 78syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w  ->  ( ( ph  /\  u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) )  ->  E. d  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( d  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
8079imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w  /\  ( ph  /\  u  e.  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) )  ->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( d  i^i  A
) ) )  C_  w )
8160, 61, 62, 80syl12anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w )  ->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( d  i^i  A
) ) )  C_  w )
82 simplll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  ( ph  /\  x  e.  C
) )
83 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )
84 cnextf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  =  C )
85 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  C  <->  y  e.  C ) )
8685anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  C )  <->  ( ph  /\  y  e.  C ) ) )
87 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
8887fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
8988oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) )
9089oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) )
9190fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F ) )
9291neeq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/)  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) )
9386, 92imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  C )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  C
)  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) ) )
94 cnextf.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
9593, 94chvarv 2107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
9665, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 95cnextfvval 21080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
97 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
9897uniex 6587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
9998snid 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  e.  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) }
10032adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
10184eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  x  e.  C ) )
102101biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
10367adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
10469adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A  C_  C )
105 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
106 trnei 20907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
107103, 104, 105, 106syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
108102, 107mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
10937adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : A --> B )
11046hausflf2 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
111100, 108, 109, 94, 110syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
112 en1b 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) } )
113111, 112sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) } )
11499, 113syl5eleqr 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
11596, 114eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F ) )
11646toptopon 19948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  B ) )
11734, 116sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  B ) )
118117adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
119 flfnei 21006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  B  /\  A. b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b ) ) )
120118, 108, 109, 119syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  <->  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  B  /\  A. b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b ) ) )
121115, 120mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  B  /\  A. b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b ) )
122121simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A. b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b )
123122r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ( F " u
)  C_  b )
12482, 83, 123syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ( F " u
)  C_  b )
12534ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  b  e.  (
( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  K  e.  Top )
126 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  b  e.  (
( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )
12746neii1 20122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  b  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) } ) )  ->  b  C_  B
)
128125, 126, 127syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  b  e.  (
( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  b  C_  B )
129 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  b  e.  (
( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w )
13046clsss 20069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  b  C_  B  /\  ( F " u )  C_  b )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  ( ( cls `  K
) `  b )
)
131 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  ( ( cls `  K
) `  b )  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w )
132130, 131sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  b  C_  B  /\  ( F " u ) 
C_  b )  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w )
1331323an1rs 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Top  /\  b  C_  B  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w )  /\  ( F " u )  C_  b )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w )
134133ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  b  C_  B  /\  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w )  ->  (
( F " u
)  C_  b  ->  ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w ) )
135134reximdv 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  b  C_  B  /\  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w )  ->  ( E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w ) )
136125, 128, 129, 135syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  b  e.  (
( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  ( E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w ) )
137136adantllr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  ( E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( F
" u )  C_  b  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
u ) )  C_  w ) )
138124, 137mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w )
13934ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  K  e.  Top )
140 cnextcn.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  Reg )
141140ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  K  e.  Reg )
142141ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  c  e.  K )  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w ) )  ->  K  e.  Reg )
143 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  c  e.  K )  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w ) )  -> 
c  e.  K )
144 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  c  e.  K )  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w ) )  -> 
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c )
145 regsep 20350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Reg  /\  c  e.  K  /\  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c )  ->  E. b  e.  K  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  b  /\  ( ( cls `  K ) `  b
)  C_  c )
)
146142, 143, 144, 145syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  c  e.  K )  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w ) )  ->  E. b  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  c ) )
147 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( cls `  K
) `  b )  C_  c  /\  c  C_  w )  ->  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w )
148147expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  w  ->  (
( ( cls `  K
) `  b )  C_  c  ->  ( ( cls `  K ) `  b )  C_  w
) )
149148anim2d 569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  w  ->  (
( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  c )  ->  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  b  /\  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w ) ) )
150149reximdv 2861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c 
C_  w  ->  ( E. b  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  c )  ->  E. b  e.  K  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  b  /\  ( ( cls `  K ) `  b
)  C_  w )
) )
151150ad2antll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  c  e.  K )  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w ) )  -> 
( E. b  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x )  e.  b  /\  ( ( cls `  K ) `  b
)  C_  c )  ->  E. b  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w ) ) )
152146, 151mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  /\  c  e.  K )  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w ) )  ->  E. b  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w ) )
153 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )
154 neii2 20124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  w  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) } ) )  ->  E. c  e.  K  ( { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) }  C_  c  /\  c  C_  w ) )
155 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x )  e.  _V
156155snss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  c  <->  { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) }  C_  c
)
157156anbi1i 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w )  <->  ( {
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x ) }  C_  c  /\  c  C_  w ) )
158157biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) }  C_  c  /\  c  C_  w )  ->  ( ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w
) )
159158reximi 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. c  e.  K  ( { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) }  C_  c  /\  c  C_  w )  ->  E. c  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  c  /\  c  C_  w ) )
160154, 159syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  w  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
) } ) )  ->  E. c  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  c  /\  c  C_  w ) )
161139, 153, 160syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. c  e.  K  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  c  /\  c  C_  w
) )
162152, 161r19.29a 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. b  e.  K  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x )  e.  b  /\  ( ( cls `  K ) `  b
)  C_  w )
)
163 anass 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  K  /\  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  b )  /\  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w )  <->  ( b  e.  K  /\  (
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  b  /\  (
( cls `  K
) `  b )  C_  w ) ) )
164 opnneip 20135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  b  e.  K  /\  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  b )  ->  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )
1651643expib 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( b  e.  K  /\  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  x )  e.  b )  ->  b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) ) )
166165anim1d 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( ( b  e.  K  /\  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x )  e.  b )  /\  ( ( cls `  K ) `
 b )  C_  w )  ->  (
b  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) `  x ) } )  /\  ( ( cls `  K ) `  b
)  C_  w )
) )
167163, 166syl5bir 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( b  e.  K  /\  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w ) )  -> 
( b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } )  /\  ( ( cls `  K ) `  b
)  C_  w )
) )
168167reximdv2 2858 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  ->  ( E. b  e.  K  ( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  x
)  e.  b  /\  ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w )  ->  E. b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w ) )
169139, 162, 168sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. b  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) ( ( cls `  K
) `  b )  C_  w )
170138, 169r19.29a 2932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
x } )t  A ) ( ( cls `  K
) `  ( F " u ) )  C_  w )
17181, 170r19.29a 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. d  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( d  i^i  A
) ) )  C_  w )
17259, 171r19.29a 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w ) )
173 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  /\  z  e.  v )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )
174 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  ph )
1754ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  J  e.  Top )
176 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  v  e.  J )
17765eltopss 19937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  e.  J )  ->  v  C_  C )
178175, 176, 177syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  v  C_  C )
179 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  v )
180178, 179sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  C )
181 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( nei `  J ) `
 { z } )  e.  _V
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  (
( nei `  J
) `  { z } )  e.  _V )
18370ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  A  e.  _V )
184 opnneip 20135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  e.  J  /\  z  e.  v )  ->  v  e.  ( ( nei `  J ) `
 { z } ) )
1854, 184syl3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  z  e.  v )  ->  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) )
1861853expa 1208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { z } ) )
187 elrestr 15327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  v  e.  ( ( nei `  J ) `  { z } ) )  ->  ( v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) )
188182, 183, 186, 187syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )
18965, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94cnextfvval 21080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  z )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) )
190189adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  =  U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) )
19132adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  K  e.  Haus )
19284eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )  <->  z  e.  C ) )
193192biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
19467adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  J  e.  (TopOn `  C )
)
19569adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  A  C_  C )
196 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  C )
197 trnei 20907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  C )  /\  A  C_  C  /\  z  e.  C )  ->  (
z  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
198194, 195, 196, 197syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
z  e.  ( ( cls `  J ) `
 A )  <->  ( (
( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
199193, 198mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
20037adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  F : A --> B )
201 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  C  <->  z  e.  C ) )
202201anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  /\  x  e.  C )  <->  ( ph  /\  z  e.  C ) ) )
203 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
204203fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ( ( nei `  J
) `  { z } ) )
205204oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( nei `  J
) `  { x } )t  A )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) )
206205oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { x }
)t 
A ) )  =  ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) )
207206fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) )
208207neeq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/)  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) )
209202, 208imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  C )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { x } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  z  e.  C
)  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) ) ) )
210209, 94chvarv 2107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )
21146hausflf2 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  =/=  (/) )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
212191, 199, 200, 210, 211syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o )
213 en1b 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  ~~  1o  <->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) } )
214212, 213sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) } )
215214adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) `  F )  =  { U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) } )
216117adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  K  e.  (TopOn `  B )
)
217 flfval 21005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> B )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  =  ( K  fLim  ( ( B  FilMap  F ) `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) ) ) )
218216, 199, 200, 217syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  =  ( K  fLim  ( ( B  FilMap  F ) `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) ) ) )
219218adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) `  F )  =  ( K  fLim  ( ( B  FilMap  F ) `  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) ) ) )
220 uniexg 6588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  Haus  ->  U. K  e.  _V )
22132, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  U. K  e.  _V )
222221ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  U. K  e. 
_V )
22346, 222syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  B  e.  _V )
224199adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( (
( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
225 filfbas 20863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  ->  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A )  e.  (
fBas `  A )
)
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( (
( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  (
fBas `  A )
)
22737ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  F : A
--> B )
228 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) )
229 fgfil 20890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A )  e.  ( Fil `  A )  ->  ( A filGen ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) )  =  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )
230199, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  C )  ->  ( A filGen ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) )  =  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )
231230adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( A filGen ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  =  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) )
232228, 231eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( v  i^i  A )  e.  ( A filGen ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) )
233 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A
filGen ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  =  ( A
filGen ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )
234233imaelfm 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A )  e.  ( fBas `  A
)  /\  F : A
--> B )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( A filGen ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) )  ->  ( F "
( v  i^i  A
) )  e.  ( ( B  FilMap  F ) `
 ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) )
235223, 226, 227, 232, 234syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( F " ( v  i^i  A
) )  e.  ( ( B  FilMap  F ) `
 ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) )
236 flimclsi 20993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F " ( v  i^i  A ) )  e.  ( ( B 
FilMap  F ) `  (
( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) )  -> 
( K  fLim  (
( B  FilMap  F ) `
 ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( v  i^i 
A ) ) ) )
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( K  fLim  ( ( B  FilMap  F ) `  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( v  i^i 
A ) ) ) )
238219, 237eqsstrd 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J ) `
 { z } )t  A ) ) `  F )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
239215, 238eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  { U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) }  C_  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
240 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
241240uniex 6587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  e.  _V
242241snss 4096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  <->  { U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F ) }  C_  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
243239, 242sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  U. (
( K  fLimf  ( ( ( nei `  J
) `  { z } )t  A ) ) `  F )  e.  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
244190, 243eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  C )  /\  (
v  i^i  A )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
z } )t  A ) )  ->  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
245174, 180, 188, 244syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  z  e.  v )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  z )  e.  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
246245adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  /\  z  e.  v )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  z )  e.  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) ) )
247173, 246sseldd 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  /\  z  e.  v )  ->  (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  z )  e.  w
)
248247ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J )  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w
)
249248expl 624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  J  /\  ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w
) )
250249reximdv 2861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  (
( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w
) )
251250ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  ( E. v  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) ( v  e.  J  /\  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( v  i^i  A
) ) )  C_  w )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w
) )
252172, 251mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w
)
25365, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94cnextf 21081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F ) : C --> B )
254 ffun 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) : C --> B  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
255253, 254syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( JCnExt
K ) `  F
) )
256255adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  Fun  ( ( JCnExt K
) `  F )
)
25765neii1 20122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  v  C_  C )
2584, 257sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
v  C_  C )
259 fdm 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) : C --> B  ->  dom  ( ( JCnExt K
) `  F )  =  C )
260253, 259syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( ( JCnExt
K ) `  F
)  =  C )
261260adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  dom  ( ( JCnExt K
) `  F )  =  C )
262258, 261sseqtr4d 3469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
v  C_  dom  ( ( JCnExt K ) `  F ) )
263 funimass4 5916 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( ( JCnExt
K ) `  F
)  /\  v  C_  dom  ( ( JCnExt K
) `  F )
)  ->  ( (
( ( JCnExt K
) `  F ) " v )  C_  w 
<-> 
A. z  e.  v  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
) `  z )  e.  w ) )
264256, 262, 263syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( ( ( ( JCnExt K ) `  F ) " v
)  C_  w  <->  A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w
) )
265264biimprd 227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( A. z  e.  v  ( ( ( JCnExt K ) `  F ) `  z
)  e.  w  -> 
( ( ( JCnExt
K ) `  F
) " v ) 
C_  w ) )
266265reximdva 2862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) A. z  e.  v  ( (
( JCnExt K ) `
 F ) `  z )  e.  w  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) "
v )  C_  w
) )
2671, 252, 266sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) )  ->  E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) "
v )  C_  w
)
268267ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) "
v )  C_  w
)
269268ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. w  e.  (
( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) "
v )  C_  w
)
27065, 46cnnei 20298 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  (
( JCnExt K ) `
 F ) : C --> B )  -> 
( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  C  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) "
v )  C_  w
) )
2714, 34, 253, 270syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( JCnExt
K ) `  F
)  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  C  A. w  e.  ( ( nei `  K
) `  { (
( ( JCnExt K
) `  F ) `  x ) } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( ( ( JCnExt K ) `
 F ) "
v )  C_  w
) )
272269, 271mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( ( JCnExt K
) `  F )  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1oc1o 7175    ~~ cen 7566   ↾t crest 15319   fBascfbas 18958   filGencfg 18959   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   clsccl 20033   neicnei 20113    Cn ccn 20240   Hauscha 20324   Regcreg 20325   Filcfil 20860    FilMap cfm 20948    fLim cflim 20949    fLimf cflf 20950  CnExtccnext 21074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-1o 7182  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-reg 20332  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-cnext 21075
This theorem is referenced by:  cnextucn  21318
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