Theorem cnextcn 19651

Description: Extension by continuity. Theorem 1 of [BourbakiTop1] p. I.57. Given a topology J on C, a subset A dense in C, this states a condition for F from A to a regular space K to be extensible by continuity (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	|- C = U. J
cnextf.2	|- B = U. K
cnextf.3	|- ( ph -> J e. Top )
cnextf.4	|- ( ph -> K e. Haus )
cnextf.5	|- ( ph -> F : A --> B )
cnextf.a	|- ( ph -> A C_ C )
cnextf.6	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
cnextf.7	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
cnextcn.8	|- ( ph -> K e. Reg )

Assertion

Ref	Expression
cnextcn	|- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, F   x, J   x, K   ph, x

Proof of Theorem cnextcn

Dummy variables y b d u v z w c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> ph )
2		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> ph )
3		simpr3 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
4		cnextf.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. Top )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> J e. Top )
6		simpr2 995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7		neii2 18724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) )
9		vex 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
10	9	snss 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
11	10	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { x } C_ v -> x e. v )
12	11	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { x } C_ v /\ v C_ d ) -> ( x e. v /\ v C_ d ) )
13	12	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) )
14	13	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) ) -> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
15	14	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) ) )
16		3anass 969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) )
17	16	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) /\ v C_ d ) )
18		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) /\ v C_ d ) <-> ( ph /\ ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) ) )
19		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) )
20	19	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
21	17, 18, 20	3bitri 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
22		opnneip 18735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
23	4, 22	syl3an1 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
25		simpr2 995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v C_ d /\ ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) ) -> v e. J )
26	25	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v C_ d -> ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. J ) )
27	26	imdistanri 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> ( v e. J /\ v C_ d ) )
28	24, 27	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) )
29	21, 28	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) )
30	15, 29	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) ) )
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) ) )
32		cnextf.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> K e. Haus )
33		haustop 18947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K e. Top )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> K e. Top )
36		imassrn 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F " ( d i^i A ) ) C_ ran F
37		cnextf.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> B )
38		frn 5577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ran F C_ B )
40	36, 39	syl5ss 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F " ( d i^i A ) ) C_ B )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( F " ( d i^i A ) ) C_ B )
42		ssrin 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v C_ d -> ( v i^i A ) C_ ( d i^i A ) )
43		imass2 5216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v i^i A ) C_ ( d i^i A ) -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v C_ d -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
45	44	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
46		cnextf.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B = U. K
47	46	clsss 18670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Top /\ ( F " ( d i^i A ) ) C_ B /\ ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
48	35, 41, 45, 47	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
49		sstr 3376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
50	48, 49	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v C_ d ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
51	50	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) /\ v C_ d ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( v C_ d -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
53	52	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ v C_ d ) -> ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) )
54	53	anim2d 565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) ) )
55	31, 54	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) ) )
56	55	reximdv2 2837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) )
57	56	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) /\ E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
58	2, 3, 8, 57	syl21anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
59	58	3anassrs 1209	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
60		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
61		simp-4l 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> ph )
62		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) )
63		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V )
65		cnextf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = U. J
66	65	toptopon 18550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
67	4, 66	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. (TopOn ` C ) )
68	67	elfvexd 5730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. _V )
69		cnextf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ C )
70	68, 69	ssexd 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. _V )
71		elrest 14378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) <-> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) <-> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) ) )
73	72	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) )
74		imaeq2 5177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( F " u ) = ( F " ( d i^i A ) ) )
75	74	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
76	75	sseq1d 3395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w <-> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
77	76	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( u = ( d i^i A ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
78	77	reximdv 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
79	73, 78	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
80	79	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w /\ ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
81	60, 61, 62, 80	syl12anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
82		simplll 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ph /\ x e. C ) )
83		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
84		cnextf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
85		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. C <-> y e. C ) )
86	85	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ y e. C ) ) )
87		sneq 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> { x } = { y } )
88	87	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
89	88	oveq1d 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) )
90	89	oveq2d 6119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) )
91	90	fveq1d 5705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
92	91	neeq1d 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
93	86, 92	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
94		cnextf.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
95	93, 94	chvarv 1958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
96	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 95	cnextfvval 19649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
97		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
98	97	uniex 6388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
99	98	snid 3917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) }
100	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. Haus )
101	84	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> x e. C ) )
102	101	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
103	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
104	69	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A C_ C )
105		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. C )
106		trnei 19477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
107	103, 104, 105, 106	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
108	102, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
109	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : A --> B )
110	46	hausflf2 19583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
111	100, 108, 109, 94, 110	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
112		en1b 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
113	111, 112	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
114	99, 113	syl5eleqr 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
115	96, 114	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
116	46	toptopon 18550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` B ) )
117	34, 116	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. (TopOn ` B ) )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. (TopOn ` B ) )
119		flfnei 19576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) ) )
120	118, 108, 109, 119	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) ) )
121	115, 120	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) )
122	121	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
123	122	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
124	82, 83, 123	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
125	34	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> K e. Top )
126		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
127	46	neii1 18722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> b C_ B )
128	125, 126, 127	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b C_ B )
129		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
130	46	clsss 18670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( F " u ) C_ b ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` b ) )
131		sstr 3376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
132	130, 131	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( F " u ) C_ b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
133	132	3an1rs 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) /\ ( F " u ) C_ b ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
134	133	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( F " u ) C_ b -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
135	134	reximdv 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
136	125, 128, 129, 135	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
137	136	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
138	124, 137	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
139	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> K e. Top )
140		cnextcn.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. Reg )
141	140	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> K e. Reg )
142	141	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> K e. Reg )
143		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> c e. K )
144		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c )
145		regsep 18950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Reg /\ c e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) )
146	142, 143, 144, 145	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) )
147		sstr 3376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c /\ c C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
148	147	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ w -> ( ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
149	148	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ w -> ( ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
150	149	reximdv 2839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c C_ w -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
151	150	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
152	146, 151	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
153		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
154		neii2 18724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) )
155		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. _V
156	155	snss 4011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c <-> { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c )
157	156	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) <-> ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) )
158	157	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
159	158	reximi 2835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. c e. K ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
160	154, 159	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
161	139, 153, 160	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
162	152, 161	r19.29a 2874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
163		anass 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) <-> ( b e. K /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
164		opnneip 18735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
165	164	3expib 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Top -> ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) )
166	165	anim1d 564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Top -> ( ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
167	163, 166	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Top -> ( ( b e. K /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) -> ( b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
168	167	reximdv2 2837	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
169	139, 162, 168	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
170	138, 169	r19.29a 2874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
171	81, 170	r19.29a 2874	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
172	59, 171	r19.29a 2874	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
173		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
174		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ph )
175	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> J e. Top )
176		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v e. J )
177	65	eltopss 18532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ v e. J ) -> v C_ C )
178	175, 176, 177	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v C_ C )
179		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> z e. v )
180	178, 179	sseldd 3369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> z e. C )
181		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V )
183	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> A e. _V )
184		opnneip 18735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ v e. J /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
185	4, 184	syl3an1 1251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. J /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
186	185	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
187		elrestr 14379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V /\ A e. _V /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
188	182, 183, 186, 187	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
189	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94	cnextfvval 19649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
190	189	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
191	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> K e. Haus )
192	84	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> z e. C ) )
193	192	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
194	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
195	69	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> A C_ C )
196		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. C )
197		trnei 19477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ z e. C ) -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
198	194, 195, 196, 197	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
199	193, 198	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
200	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> F : A --> B )
201		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( x e. C <-> z e. C ) )
202	201	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ z e. C ) ) )
203		sneq 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = z -> { x } = { z } )
204	203	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
205	204	oveq1d 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
206	205	oveq2d 6119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
207	206	fveq1d 5705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
208	207	neeq1d 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
209	202, 208	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
210	209, 94	chvarv 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
211	46	hausflf2 19583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
212	191, 199, 200, 210, 211	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
213		en1b 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
214	212, 213	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
215	214	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
216	117	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> K e. (TopOn ` B ) )
217		flfval 19575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
218	216, 199, 200, 217	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
219	218	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
220		uniexg 6389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( K e. Haus -> U. K e. _V )
221	32, 220	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> U. K e. _V )
222	221	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> U. K e. _V )
223	46, 222	syl5eqel 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> B e. _V )
224	199	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
225		filfbas 19433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
226	224, 225	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
227	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> F : A --> B )
228		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
229		fgfil 19460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
230	199, 229	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
231	230	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
232	228, 231	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( v i^i A ) e. ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
233		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
234	233	imaelfm 19536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. _V /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( v i^i A ) e. ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) -> ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
235	223, 226, 227, 232, 234	syl31anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
236		flimclsi 19563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
237	235, 236	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
238	219, 237	eqsstrd 3402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
239	215, 238	eqsstr3d 3403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
240		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
241	240	uniex 6388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
242	241	snss 4011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) <-> { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
243	239, 242	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
244	190, 243	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
245	174, 180, 188, 244	syl21anc 1217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
246	245	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
247	173, 246	sseldd 3369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
248	247	ralrimiva 2811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
249	248	expl 618	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
250	249	reximdv 2839	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
251	250	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
252	172, 251	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
253	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94	cnextf 19650	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B )
254		ffun 5573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
255	253, 254	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
256	255	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
257	65	neii1 18722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ C )
258	4, 257	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ C )
259		fdm 5575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
260	253, 259	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
261	260	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
262	258, 261	sseqtr4d 3405	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ dom ( ( JCnExt K ) ` F ) )
263		funimass4 5754	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) /\ v C_ dom ( ( JCnExt K ) ` F ) ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w <-> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
264	256, 262, 263	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w <-> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
265	264	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> ( A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
266	265	reximdva 2840	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
267	1, 252, 266	sylc 60	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
268	267	ralrimiva 2811	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
269	268	ralrimiva 2811	. 2 |- ( ph -> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
270	65, 46	cnnei 18898	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) <-> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
271	4, 34, 253, 270	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) <-> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
272	269, 271	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984   i^i cin 3339   C_ wss 3340   (/)c0 3649   {csn 3889   U.cuni 4103   class class class wbr 4304   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   Fun wfun 5424   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   1oc1o 6925   ~~ cen 7319   ↾_t crest 14371   fBascfbas 17816   filGencfg 17817   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   clsccl 18634   neicnei 18713   Cn ccn 18840   Hauscha 18924   Regcreg 18925   Filcfil 19430   FilMap cfm 19518   fLim cflim 19519   fLimf cflf 19520  CnExtccnext 19643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-1o 6932  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-reg 18932  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-cnext 19644

This theorem is referenced by:  cnextucn  19890