Theorem cnextcn 21160

Description: Extension by continuity. Theorem 1 of [BourbakiTop1] p. I.57. Given a topology J on C, a subset A dense in C, this states a condition for F from A to a regular space K to be extensible by continuity. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	|- C = U. J
cnextf.2	|- B = U. K
cnextf.3	|- ( ph -> J e. Top )
cnextf.4	|- ( ph -> K e. Haus )
cnextf.5	|- ( ph -> F : A --> B )
cnextf.a	|- ( ph -> A C_ C )
cnextf.6	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
cnextf.7	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
cnextcn.8	|- ( ph -> K e. Reg )

Assertion

Ref	Expression
cnextcn	|- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, F   x, J   x, K   ph, x

Proof of Theorem cnextcn

Dummy variables y b d u v z w c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 768	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> ph )
2		simpll 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> ph )
3		simpr3 1038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
4		cnextf.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. Top )
5	4	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> J e. Top )
6		simpr2 1037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7		neii2 20201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) )
9		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- x e. _V
10	9	snss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
11	10	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { x } C_ v -> x e. v )
12	11	anim1i 578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { x } C_ v /\ v C_ d ) -> ( x e. v /\ v C_ d ) )
13	12	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) )
14	13	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) ) -> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
15	14	ex 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) ) )
16		3anass 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) )
17	16	anbi1i 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) /\ v C_ d ) )
18		anass 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( v e. J /\ x e. v ) ) /\ v C_ d ) <-> ( ph /\ ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) ) )
19		anass 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) )
20	19	anbi2i 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
21	17, 18, 20	3bitri 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) <-> ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) )
22		opnneip 20212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. Top /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
23	4, 22	syl3an1 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
24	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
25		simpr2 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v C_ d /\ ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) ) -> v e. J )
26	25	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v C_ d -> ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) -> v e. J ) )
27	26	imdistanri 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> ( v e. J /\ v C_ d ) )
28	24, 27	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J /\ x e. v ) /\ v C_ d ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) )
29	21, 28	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( v e. J /\ ( x e. v /\ v C_ d ) ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) )
30	15, 29	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) ) )
31	30	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) ) )
32		cnextf.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> K e. Haus )
33		haustop 20424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K e. Top )
35	34	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> K e. Top )
36		imassrn 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F " ( d i^i A ) ) C_ ran F
37		cnextf.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> B )
38		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ran F C_ B )
40	36, 39	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F " ( d i^i A ) ) C_ B )
41	40	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( F " ( d i^i A ) ) C_ B )
42		ssrin 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v C_ d -> ( v i^i A ) C_ ( d i^i A ) )
43		imass2 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v i^i A ) C_ ( d i^i A ) -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v C_ d -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
45	44	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) )
46		cnextf.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- B = U. K
47	46	clsss 20146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Top /\ ( F " ( d i^i A ) ) C_ B /\ ( F " ( v i^i A ) ) C_ ( F " ( d i^i A ) ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
48	35, 41, 45, 47	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v C_ d ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
49		sstr 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
50	48, 49	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ v C_ d ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
51	50	an32s 821	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) /\ v C_ d ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
52	51	ex 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( v C_ d -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
53	52	anim2d 575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ v C_ d ) -> ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) )
54	53	anim2d 575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) ) )
55	31, 54	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( ( v e. J /\ ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> ( v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) ) )
56	55	reximdv2 2855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> ( E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) ) )
57	56	imp 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) /\ E. v e. J ( { x } C_ v /\ v C_ d ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
58	2, 3, 8, 57	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ ( w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
59	58	3anassrs 1256	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
60		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
61		simp-4l 784	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> ph )
62		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) )
63		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V )
65		cnextf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = U. J
66	65	toptopon 20025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
67	4, 66	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. (TopOn ` C ) )
68	67	elfvexd 5907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. _V )
69		cnextf.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ C )
70	68, 69	ssexd 4543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. _V )
71		elrest 15404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) <-> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) <-> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) ) )
73	72	biimpa 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) )
74		imaeq2 5170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( F " u ) = ( F " ( d i^i A ) ) )
75	74	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) )
76	75	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( d i^i A ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w <-> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
77	76	biimpcd 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( u = ( d i^i A ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
78	77	reximdv 2857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) u = ( d i^i A ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
79	73, 78	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w -> ( ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w ) )
80	79	imp 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w /\ ( ph /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
81	60, 61, 62, 80	syl12anc 1290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
82		simplll 776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ph /\ x e. C ) )
83		simplr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
84		cnextf.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
85		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. C <-> y e. C ) )
86	85	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ y e. C ) ) )
87		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> { x } = { y } )
88	87	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
89	88	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) )
90	89	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) )
91	90	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
92	91	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
93	86, 92	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
94		cnextf.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
95	93, 94	chvarv 2120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
96	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 95	cnextfvval 21158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
97		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
98	97	uniex 6606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
99	98	snid 3988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) }
100	32	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. Haus )
101	84	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> x e. C ) )
102	101	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
103	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
104	69	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A C_ C )
105		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. C )
106		trnei 20985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
107	103, 104, 105, 106	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
108	102, 107	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
109	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : A --> B )
110	46	hausflf2 21091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
111	100, 108, 109, 94, 110	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
112		en1b 7655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
113	111, 112	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
114	99, 113	syl5eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
115	96, 114	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) )
116	46	toptopon 20025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` B ) )
117	34, 116	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. (TopOn ` B ) )
118	117	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> K e. (TopOn ` B ) )
119		flfnei 21084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) ) )
120	118, 108, 109, 119	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) ) )
121	115, 120	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. B /\ A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b ) )
122	121	simprd 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
123	122	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
124	82, 83, 123	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b )
125	34	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> K e. Top )
126		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
127	46	neii1 20199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> b C_ B )
128	125, 126, 127	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> b C_ B )
129		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
130	46	clsss 20146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( F " u ) C_ b ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` b ) )
131		sstr 3426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
132	130, 131	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( F " u ) C_ b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
133	132	3an1rs 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) /\ ( F " u ) C_ b ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
134	133	ex 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( ( F " u ) C_ b -> ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
135	134	reximdv 2857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ b C_ B /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
136	125, 128, 129, 135	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
137	136	adantllr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( F " u ) C_ b -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w ) )
138	124, 137	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
139	34	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> K e. Top )
140		cnextcn.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. Reg )
141	140	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> K e. Reg )
142	141	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> K e. Reg )
143		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> c e. K )
144		simprl 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c )
145		regsep 20427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Reg /\ c e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) )
146	142, 143, 144, 145	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) )
147		sstr 3426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c /\ c C_ w ) -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
148	147	expcom 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ w -> ( ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c -> ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
149	148	anim2d 575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ w -> ( ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
150	149	reximdv 2857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c C_ w -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
151	150	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ c ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
152	146, 151	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) /\ c e. K ) /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
153		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
154		neii2 20201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) )
155		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. _V
156	155	snss 4087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c <-> { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c )
157	156	anbi1i 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) <-> ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) )
158	157	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
159	158	reximi 2852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. c e. K ( { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } C_ c /\ c C_ w ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
160	154, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
161	139, 153, 160	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. c e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. c /\ c C_ w ) )
162	152, 161	r19.29a 2918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
163		anass 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) <-> ( b e. K /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
164		opnneip 20212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) )
165	164	3expib 1234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Top -> ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) -> b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) )
166	165	anim1d 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Top -> ( ( ( b e. K /\ ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> ( b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
167	163, 166	syl5bir 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. Top -> ( ( b e. K /\ ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) -> ( b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) ) )
168	167	reximdv2 2855	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top -> ( E. b e. K ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) e. b /\ ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) -> E. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w ) )
169	139, 162, 168	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. b e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ( ( cls ` K ) ` b ) C_ w )
170	138, 169	r19.29a 2918	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ( ( cls ` K ) ` ( F " u ) ) C_ w )
171	81, 170	r19.29a 2918	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. d e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( cls ` K ) ` ( F " ( d i^i A ) ) ) C_ w )
172	59, 171	r19.29a 2918	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) )
173		simplr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w )
174		simpll 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ph )
175	4	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> J e. Top )
176		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v e. J )
177	65	eltopss 20014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ v e. J ) -> v C_ C )
178	175, 176, 177	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v C_ C )
179		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> z e. v )
180	178, 179	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> z e. C )
181		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V )
183	70	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> A e. _V )
184		opnneip 20212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ v e. J /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
185	4, 184	syl3an1 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. J /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
186	185	3expa 1231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
187		elrestr 15405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) e. _V /\ A e. _V /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { z } ) ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
188	182, 183, 186, 187	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
189	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94	cnextfvval 21158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
190	189	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
191	32	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> K e. Haus )
192	84	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> z e. C ) )
193	192	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
194	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> J e. (TopOn ` C ) )
195	69	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> A C_ C )
196		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> z e. C )
197		trnei 20985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ z e. C ) -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
198	194, 195, 196, 197	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( z e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
199	193, 198	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
200	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> F : A --> B )
201		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( x e. C <-> z e. C ) )
202	201	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ z e. C ) ) )
203		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = z -> { x } = { z } )
204	203	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = z -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { z } ) )
205	204	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
206	205	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
207	206	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) )
208	207	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
209	202, 208	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
210	209, 94	chvarv 2120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
211	46	hausflf2 21091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
212	191, 199, 200, 210, 211	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
213		en1b 7655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
214	212, 213	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
215	214	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } )
216	117	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> K e. (TopOn ` B ) )
217		flfval 21083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
218	216, 199, 200, 217	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
219	218	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) )
220		uniexg 6607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( K e. Haus -> U. K e. _V )
221	32, 220	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> U. K e. _V )
222	221	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> U. K e. _V )
223	46, 222	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> B e. _V )
224	199	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
225		filfbas 20941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
226	224, 225	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
227	37	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> F : A --> B )
228		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
229		fgfil 20968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
230	199, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. C ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
231	230	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
232	228, 231	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( v i^i A ) e. ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
233		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) = ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) )
234	233	imaelfm 21044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. _V /\ ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) e. ( fBas ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( v i^i A ) e. ( A filGen ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) -> ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
235	223, 226, 227, 232, 234	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) )
236		flimclsi 21071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F " ( v i^i A ) ) e. ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
237	235, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( K fLim ( ( B FilMap F ) ` ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
238	219, 237	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
239	215, 238	eqsstr3d 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
240		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
241	240	uniex 6606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. _V
242	241	snss 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) <-> { U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) } C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
243	239, 242	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) ` F ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
244	190, 243	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. C ) /\ ( v i^i A ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { z } ) ↾t A ) ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
245	174, 180, 188, 244	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
246	245	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) )
247	173, 246	sseldd 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) /\ z e. v ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
248	247	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ v e. J ) /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
249	248	expl 630	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
250	249	reximdv 2857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
251	250	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( v e. J /\ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( v i^i A ) ) ) C_ w ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
252	172, 251	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w )
253	65, 46, 4, 32, 37, 69, 84, 94	cnextf 21159	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B )
254		ffun 5742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
255	253, 254	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
256	255	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) )
257	65	neii1 20199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ C )
258	4, 257	sylan 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ C )
259		fdm 5745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
260	253, 259	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
261	260	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> dom ( ( JCnExt K ) ` F ) = C )
262	258, 261	sseqtr4d 3455	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> v C_ dom ( ( JCnExt K ) ` F ) )
263		funimass4 5930	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( ( JCnExt K ) ` F ) /\ v C_ dom ( ( JCnExt K ) ` F ) ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w <-> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
264	256, 262, 263	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w <-> A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w ) )
265	264	biimprd 231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> ( A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
266	265	reximdva 2858	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) A. z e. v ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` z ) e. w -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
267	1, 252, 266	sylc 61	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
268	267	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
269	268	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w )
270	65, 46	cnnei 20375	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) <-> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
271	4, 34, 253, 270	syl3anc 1292	. 2 |- ( ph -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) <-> A. x e. C A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` x ) } ) E. v e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( ( ( JCnExt K ) ` F ) " v ) C_ w ) )
272	269, 271	mpbird 240	1 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1oc1o 7193   ~~ cen 7584   ↾_t crest 15397   fBascfbas 19035   filGencfg 19036   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   clsccl 20110   neicnei 20190   Cn ccn 20317   Hauscha 20401   Regcreg 20402   Filcfil 20938   FilMap cfm 21026   fLim cflim 21027   fLimf cflf 21028  CnExtccnext 21152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-1o 7200  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-reg 20409  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cnext 21153

This theorem is referenced by:  cnextucn  21396