MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnexALT Structured version   Unicode version

Theorem cnexALT 11216
Description: The set of complex numbers exists. See also ax-cnex 9548. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnexALT  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem cnexALT
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reexALT 11214 . . 3  |-  RR  e.  _V
21, 1xpex 6588 . 2  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
43cnref1o 11215 . . 3  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC
5 f1ofo 5823 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) : ( RR 
X.  RR ) -onto-> CC )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) : ( RR  X.  RR ) -onto-> CC
7 fornex 6753 . 2  |-  ( ( RR  X.  RR )  e.  _V  ->  (
( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) ) : ( RR  X.  RR )
-onto-> CC  ->  CC  e.  _V ) )
82, 6, 7mp2 9 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    X. cxp 4997   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   CCcc 9490   RRcr 9491   _ici 9494    + caddc 9495    x. cmul 9497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-q 11183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator