Theorem cnegexlem3 6501

Description: Lemma for cnegex 6502.

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	|- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)

Distinct variable group:   b,c,y

Proof of Theorem cnegexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrnegex 6436	. . 3 |- (y e. RR -> E.x e. RR (y + x) = 0)
2	1	adantl 424	. 2 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.x e. RR (y + x) = 0)
3		readdcl 6455	. . . . . . . 8 |- ((b e. RR /\ x e. RR) -> (b + x) e. RR)
4		axrnegex 6436	. . . . . . . 8 |- ((b + x) e. RR -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
5	3, 4	syl 12	. . . . . . 7 |- ((b e. RR /\ x e. RR) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
6	5	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
7	6	adantr 425	. . . . 5 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> E.c e. RR ((b + x) + c) = 0)
8		add23 6490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC) -> ((b + x) + c) = ((b + c) + x))
9	8	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> ((b + x) + c) = ((b + c) + x))
10		addcom 6458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((b + c) e. CC /\ x e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
11		addcl 6454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. CC /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
12	10, 11	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((b e. CC /\ c e. CC) /\ x e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
13	12	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> ((b + c) + x) = (x + (b + c)))
14	9, 13	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . . 12 |- (((b e. CC /\ x e. CC) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
15		recn 6466	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
16	14, 15	sylanl2 510	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
17	16	adantllr 433	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
18	17	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (x + (b + c)) = ((b + x) + c))
19		addcom 6458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) = (y + x))
20	19	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CC /\ x e. CC) -> (x + y) = (y + x))
21	20, 15	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ x e. RR) -> (x + y) = (y + x))
22		id 73	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y + x) = 0 -> (y + x) = 0)
23	21, 22	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. CC /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (x + y) = 0)
24	23	adantlll 432	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (x + y) = 0)
25	24	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (x + y) = 0)
26	18, 25	eqeq12d 1899	. . . . . . . 8 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> ((b + x) + c) = 0))
27		simplr 449	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> x e. RR)
28	11	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((b e. CC /\ y e. CC) /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
29	28	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> (b + c) e. CC)
30		simpllr 453	. . . . . . . . . 10 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> y e. CC)
31		cnegexlem1 6499	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ (b + c) e. CC /\ y e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
32	27, 29, 30, 31	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
33	32	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> ((x + (b + c)) = (x + y) <-> (b + c) = y))
34	26, 33	bitr3d 589	. . . . . . 7 |- (((((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. CC) -> (((b + x) + c) = 0 <-> (b + c) = y))
35		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- (b e. RR -> b e. CC)
36		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> y e. CC)
37	35, 36	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> (b e. CC /\ y e. CC))
38	37	anim1i 361	. . . . . . . 8 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> ((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR))
39	38	anim1i 361	. . . . . . 7 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (((b e. CC /\ y e. CC) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0))
40		recn 6466	. . . . . . 7 |- (c e. RR -> c e. CC)
41	34, 39, 40	syl2an 503	. . . . . 6 |- (((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) /\ c e. RR) -> (((b + x) + c) = 0 <-> (b + c) = y))
42	41	rexbidva 2120	. . . . 5 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> (E.c e. RR ((b + x) + c) = 0 <-> E.c e. RR (b + c) = y))
43	7, 42	mpbid 212	. . . 4 |- ((((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) /\ (y + x) = 0) -> E.c e. RR (b + c) = y)
44	43	ex 402	. . 3 |- (((b e. RR /\ y e. RR) /\ x e. RR) -> ((y + x) = 0 -> E.c e. RR (b + c) = y))
45	44	r19.23adva 2216	. 2 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> (E.x e. RR (y + x) = 0 -> E.c e. RR (b + c) = y))
46	2, 45	mpd 29	1 |- ((b e. RR /\ y e. RR) -> E.c e. RR (b + c) = y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389

This theorem is referenced by:  cnegex 6502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398

Copyright terms: Public domain