MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cndrng Structured version   Unicode version

Theorem cndrng 17963
Description: The complex numbers form a division ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cndrng  |-fld  e.  DivRing

Proof of Theorem cndrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 17940 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldmul 17942 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
5 cnfld0 17958 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  0  =  ( 0g ` fld ) )
7 cnfld1 17959 . . . 4  |-  1  =  ( 1r ` fld )
87a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  =  ( 1r ` fld ) )
9 cnrng 17956 . . . 4  |-fld  e.  Ring
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Ring )
11 mulne0 10082 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
12113adant1 1006 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( x  x.  y )  =/=  0
)
13 ax-1ne0 9455 . . . 4  |-  1  =/=  0
1413a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  =/=  0
)
15 reccl 10105 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
1615adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
17 recne0 10111 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
19 recid2 10113 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
212, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20isdrngd 16972 . 2  |-  ( T. 
->fld  e.  DivRing )
2221trud 1379 1  |-fld  e.  DivRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    x. cmul 9391    / cdiv 10097   Basecbs 14285   .rcmulr 14350   0gc0g 14489   1rcur 16717   Ringcrg 16760   DivRingcdr 16947  ℂfldccnfld 17936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-drng 16949  df-cnfld 17937
This theorem is referenced by:  cnflddiv  17964  cnfldinv  17965  cnsubdrglem  17982  cnmgpabl  17992  cnmsubglem  17993  gzrngunit  17996  zringunit  18032  zrngunit  18033  zringmpg  18034  expghm  18041  expghmOLD  18042  psgninv  18130  zrhpsgnmhm  18132  amgmlem  22509  dchrghm  22721  dchrabs  22725  sum2dchr  22739  lgseisenlem4  22817  xrge0slmod  26450  cnrrext  26577  proot1ex  29710
  Copyright terms: Public domain W3C validator