MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cndrng Structured version   Unicode version

Theorem cndrng 18315
Description: The complex numbers form a division ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cndrng  |-fld  e.  DivRing

Proof of Theorem cndrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18292 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldmul 18294 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
5 cnfld0 18310 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  0  =  ( 0g ` fld ) )
7 cnfld1 18311 . . . 4  |-  1  =  ( 1r ` fld )
87a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  =  ( 1r ` fld ) )
9 cnring 18308 . . . 4  |-fld  e.  Ring
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Ring )
11 mulne0 10192 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
12113adant1 1013 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( x  x.  y )  =/=  0
)
13 ax-1ne0 9559 . . . 4  |-  1  =/=  0
1413a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  =/=  0
)
15 reccl 10215 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
1615adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
17 recne0 10221 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
19 recid2 10223 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  /  x )  x.  x
)  =  1 )
212, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20isdrngd 17289 . 2  |-  ( T. 
->fld  e.  DivRing )
2221trud 1390 1  |-fld  e.  DivRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802    =/= wne 2636   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    / cdiv 10207   Basecbs 14504   .rcmulr 14570   0gc0g 14709   1rcur 17021   Ringcrg 17066   DivRingcdr 17264  ℂfldccnfld 18288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-dvr 17200  df-drng 17266  df-cnfld 18289
This theorem is referenced by:  cnflddiv  18316  cnfldinv  18317  cnsubdrglem  18337  cnmgpabl  18347  cnmsubglem  18348  gzrngunit  18351  zringunit  18387  zrngunit  18388  zringmpg  18389  expghm  18396  expghmOLD  18397  psgninv  18485  zrhpsgnmhm  18487  amgmlem  23184  dchrghm  23396  dchrabs  23400  sum2dchr  23414  lgseisenlem4  23492  xrge0slmod  27700  cnrrext  27857  proot1ex  31130
  Copyright terms: Public domain W3C validator