MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvc Unicode version

Theorem cncvc 22015
Description: The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is  +, and the scalar product is  x.. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cncvc  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD

Proof of Theorem cncvc
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 21891 . 2  |-  +  e.  AbelOp
2 ax-addf 9025 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
32fdmi 5555 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
4 ax-mulf 9026 . 2  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5 mulid2 9045 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
6 adddi 9035 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
y  x.  ( x  +  z ) )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( y  x.  z
) ) )
7 adddir 9039 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  +  z )  x.  x )  =  ( ( y  x.  x )  +  ( z  x.  x
) ) )
8 mulass 9034 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( y  x.  z
)  x.  x )  =  ( y  x.  ( z  x.  x
) ) )
9 eqid 2404 . 2  |-  <.  +  ,  x.  >.  =  <.  +  ,  x.  >.
101, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isvci 22014 1  |-  <.  +  ,  x.  >.  e.  CVec OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   <.cop 3777    X. cxp 4835   CCcc 8944    + caddc 8949    x. cmul 8951   CVec OLDcvc 21977
This theorem is referenced by:  cnnv  22121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-grpo 21732  df-ablo 21823  df-vc 21978
  Copyright terms: Public domain W3C validator