MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncrng Structured version   Unicode version

Theorem cncrng 18310
Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncrng  |-fld  e.  CRing

Proof of Theorem cncrng
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18295 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  CC  =  ( Base ` fld ) )
3 cnfldadd 18296 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
43a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  +  =  ( +g  ` fld ) )
5 cnfldmul 18297 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
65a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  x.  =  ( .r
` fld
) )
7 addcl 9574 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
8 addass 9579 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
9 0cn 9588 . . . . 5  |-  0  e.  CC
10 addid2 9763 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
11 negcl 9822 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
12 addcom 9766 . . . . . . 7  |-  ( (
-u x  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( -u x  +  x )  =  ( x  +  -u x
) )
1311, 12mpancom 669 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  ( x  +  -u x ) )
14 negid 9868 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
1513, 14eqtrd 2482 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
161, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15isgrpi 15947 . . . 4  |-fld  e.  Grp
1716a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->fld  e. 
Grp )
18 mulcl 9576 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
19183adant1 1013 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
x  x.  y )  e.  CC )
20 mulass 9580 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
2120adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
22 adddi 9581 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  +  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  +  ( x  x.  z
) ) )
2322adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  (
y  +  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  +  ( x  x.  z ) ) )
24 adddir 9587 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
2524adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
26 1cnd 9612 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
27 mulid2 9594 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
2827adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
1  x.  x )  =  x )
29 mulid1 9593 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
3029adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
31 mulcom 9578 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
32313adant1 1013 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
x  x.  y )  =  ( y  x.  x ) )
332, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32iscrngd 17105 . 2  |-  ( T. 
->fld  e. 
CRing )
3433trud 1390 1  |-fld  e.  CRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 972    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   -ucneg 9808   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   .rcmulr 14572   Grpcgrp 15924   CRingccrg 17070  ℂfldccnfld 18291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-grp 15928  df-cmn 16671  df-mgp 17013  df-ring 17071  df-cring 17072  df-cnfld 18292
This theorem is referenced by:  cnring  18311  cnmgpabl  18350  zringcrng  18361  zring0  18369  zrng0  18375  zncrng2OLD  18445  re0g  18518  refld  18525  smadiadetr  19047  plypf1  22479  amgmlem  23188  amgm  23189  wilthlem2  23212  wilthlem3  23213  gzcrng  27699  mzpmfpOLD  30652  2zrng0  32451
  Copyright terms: Public domain W3C validator