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Theorem cncph 24170
Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cncph.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cncph  |-  U  e.  CPreHil
OLD

Proof of Theorem cncph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncph.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
2 eqid 2438 . . . 4  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
32cnnv 24018 . . 3  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec
4 mulm1 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
54adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
65oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  +  -u y
) )
7 negsub 9649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
86, 7eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  -  y ) )
98fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  y ) ) )
109oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )
1110oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  -  y ) ) ^ 2 ) ) )
12 sqabsadd 12763 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  +  y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )
13 sqabssub 12764 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  -  y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )
1412, 13oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) ) )
15 abscl 12759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1615recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
1716sqcld 11998 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
18 abscl 12759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
1918recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
2019sqcld 11998 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( abs `  y
) ^ 2 )  e.  CC )
21 addcl 9356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( abs `  y
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2217, 20, 21syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC )
23 2cn 10384 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
24 cjcl 12586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
* `  y )  e.  CC )
25 mulcl 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( * `  y
)  e.  CC )  ->  ( x  x.  ( * `  y
) )  e.  CC )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  (
* `  y )
)  e.  CC )
27 recl 12591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  x.  ( * `
 y ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) )  e.  RR )
2827recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  x.  ( * `
 y ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) )  e.  CC )
2926, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( Re `  (
x  x.  ( * `
 y ) ) )  e.  CC )
30 mulcl 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Re `  ( x  x.  ( * `  y ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) )  e.  CC )
3123, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) )  e.  CC )
3222, 31, 22ppncand 9751 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) ) ) )
3314, 32eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
34 2times 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3534eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3622, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3733, 36eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3811, 37eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3938rgen2a 2777 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )
40 addex 10981 . . . 4  |-  +  e.  _V
41 mulex 10982 . . . 4  |-  x.  e.  _V
42 absf 12817 . . . . 5  |-  abs : CC
--> RR
43 cnex 9355 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
44 fex 5945 . . . . 5  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
4542, 43, 44mp2an 672 . . . 4  |-  abs  e.  _V
46 cnaddablo 23788 . . . . . . 7  |-  +  e.  AbelOp
47 ablogrpo 23722 . . . . . . 7  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6  |-  +  e.  GrpOp
49 ax-addf 9353 . . . . . . 7  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5049fdmi 5559 . . . . . 6  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
5148, 50grporn 23650 . . . . 5  |-  CC  =  ran  +
5251isphg 24168 . . . 4  |-  ( (  +  e.  _V  /\  x.  e.  _V  /\  abs  e.  _V )  ->  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  (
x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5340, 41, 45, 52mp3an 1314 . . 3  |-  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil OLD  <->  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
543, 39, 53mpbir2an 911 . 2  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil
OLD
551, 54eqeltri 2508 1  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   <.cop 3878    X. cxp 4833   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588   2c2 10363   ^cexp 11857   *ccj 12577   Recre 12578   abscabs 12715   GrpOpcgr 23624   AbelOpcablo 23719   NrmCVeccnv 23913   CPreHil OLDccphlo 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ablo 23720  df-vc 23875  df-nv 23921  df-ph 24164
This theorem is referenced by:  elimphu  24172  cnchl  24268
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