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Theorem cnconn 19029
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnconn  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 18848 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Top )
3 df-ne 2611 . . . . . . 7  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
4 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
5 simpl1 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
6 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  K
8 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )
97, 8sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  K
)
10 cnima 18872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  e.  J
)
116, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J
)
12 elssuni 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
139, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  U. K
)
14 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  = 
U. K
1513, 14syl6sseqr 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  Y
)
16 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
17 forn 5626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ran  F  =  Y )
1915, 18sseqtr4d 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  ran  F )
20 df-rn 4854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  dom  `' F
2119, 20syl6sseq 3405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  dom  `' F )
22 dfss1 3558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  dom  `' F  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
2523, 24eqnetrd 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
26 imadisj 5191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  (/) )
2726necon3bii 2643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  =/=  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
2825, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =/=  (/) )
29 inss2 3574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  ( Clsd `  K )
3029, 8sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Clsd `  K )
)
31 cnclima 18875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
x )  e.  (
Clsd `  J )
)
326, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  (
Clsd `  J )
)
334, 5, 11, 28, 32conclo 19022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  U. J )
344, 14cnf 18853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
35 fdm 5566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
366, 34, 353syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  U. J )
37 fof 5623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
38 fdm 5566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3916, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  X )
4033, 36, 393eqtr2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  X )
4140imaeq2d 5172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  ( F " X
) )
42 foimacnv 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  x  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
4316, 15, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
44 foima 5628 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
4516, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
4641, 43, 453eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =  Y )
4746expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  x  =  Y ) )
483, 47syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =  Y ) )
4948orrd 378 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
50 vex 2978 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
5150elpr 3898 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  Y } 
<->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
5249, 51sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  Y } )
5352ex 434 . . 3  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  ->  x  e.  { (/) ,  Y } ) )
5453ssrdv 3365 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) 
C_  { (/) ,  Y } )
5514iscon2 19021 . 2  |-  ( K  e.  Con  <->  ( K  e.  Top  /\  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  { (/) ,  Y } ) )
562, 54, 55sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {cpr 3882   U.cuni 4094   `'ccnv 4842   dom cdm 4843   ran crn 4844   "cima 4846   -->wf 5417   -onto->wfo 5419   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Topctop 18501   Clsdccld 18623    Cn ccn 18831   Conccon 19018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fo 5427  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-map 7219  df-top 18506  df-topon 18509  df-cld 18626  df-cn 18834  df-con 19019
This theorem is referenced by:  conima  19032  concn  19033  qtopcon  19285  conhmph  19365  ivthALT  28533
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