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Theorem cnconn 20514
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnconn  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 20334 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1053 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Top )
3 df-ne 2643 . . . . . . 7  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
4 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
5 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
6 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
7 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  K
8 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )
97, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  K
)
10 cnima 20358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  e.  J
)
116, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J
)
12 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  K  ->  x  C_ 
U. K )
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  U. K
)
14 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  = 
U. K
1513, 14syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  Y
)
16 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
17 forn 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ran  F  =  Y )
1915, 18sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  ran  F )
20 df-rn 4850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  F  =  dom  `' F
2119, 20syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  C_  dom  `' F )
22 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  dom  `' F  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
2321, 22sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  x )
24 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
2523, 24eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
26 imadisj 5193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " x )  =  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =  (/) )
2726necon3bii 2695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " x )  =/=  (/)  <->  ( dom  `' F  i^i  x )  =/=  (/) )
2825, 27sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =/=  (/) )
29 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  ( Clsd `  K )
3029, 8sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  (
Clsd `  K )
)
31 cnclima 20361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
x )  e.  (
Clsd `  J )
)
326, 30, 31syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  (
Clsd `  J )
)
334, 5, 11, 28, 32conclo 20507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  U. J )
344, 14cnf 20339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
35 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
366, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  U. J )
37 fof 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
38 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3916, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  dom  F  =  X )
4033, 36, 393eqtr2d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( `' F " x )  =  X )
4140imaeq2d 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  ( F " X
) )
42 foimacnv 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  x  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
4316, 15, 42syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F "
( `' F "
x ) )  =  x )
44 foima 5811 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
4516, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
4641, 43, 453eqtr3d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =  Y )
4746expr 626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  x  =  Y ) )
483, 47syl5bir 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =  Y ) )
4948orrd 385 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
50 vex 3034 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
5150elpr 3977 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  Y } 
<->  ( x  =  (/)  \/  x  =  Y ) )
5249, 51sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  Y } )
5352ex 441 . . 3  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( x  e.  ( K  i^i  ( Clsd `  K ) )  ->  x  e.  { (/) ,  Y } ) )
5453ssrdv 3424 . 2  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( K  i^i  ( Clsd `  K ) ) 
C_  { (/) ,  Y } )
5514iscon2 20506 . 2  |-  ( K  e.  Con  <->  ( K  e.  Top  /\  ( K  i^i  ( Clsd `  K
) )  C_  { (/) ,  Y } ) )
562, 54, 55sylanbrc 677 1  |-  ( ( J  e.  Con  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  K  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {cpr 3961   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317   Conccon 20503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fo 5595  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-con 20504
This theorem is referenced by:  conima  20517  concn  20518  qtopcon  20801  conhmph  20881  ivthALT  31062
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