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Theorem cncombf 22231
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally,  G can be a Borel-measurable function, but notably the condition that  G be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 
G to be the Cantor function and  F the indicator function of the  G-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> CC ) )
2 cncff 21563 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  ->  G : B
--> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G : B
--> CC )
4 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  F : A
--> B )
5 fco 5723 . . . 4  |-  ( ( G : B --> CC  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
63, 4, 5syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
7 fdm 5717 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  =  A )
9 mbfdm 22201 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1093ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
118, 10eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  e.  dom  vol )
12 mblss 22108 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  C_  RR )
14 cnex 9562 . . . 4  |-  CC  e.  _V
15 reex 9572 . . . 4  |-  RR  e.  _V
16 elpm2r 7429 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( G  o.  F ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
1714, 15, 16mpanl12 680 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( G  o.  F
)  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
186, 13, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
19 recncf 21572 . . . . . . . 8  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Re  e.  ( CC -cn-> RR ) )
211, 20cncfco 21577 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
2221adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
23 cnvco 5177 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( g  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' g )
2423imaeq1i 5322 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( ( `' F  o.  `' g ) " x )
25 imaco 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F  o.  `' g ) " x
)  =  ( `' F " ( `' g " x ) )
2624, 25eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( `' F " ( `' g "
x ) )
27 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F  e. MblFn )
28 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F : A
--> B )
29 cncfrss 21561 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( B -cn-> RR )  ->  B  C_  CC )
3029adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  B  C_  CC )
31 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( B -cn-> RR ) )
32 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
33 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  B )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  B )
3533tgioo2 21474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3633, 34, 35cncfcn 21579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( B -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3730, 32, 36sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( B -cn->
RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3831, 37eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
39 retopbas 21433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
40 bastg 19634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
42 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ran  (,) )
4341, 42sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
44 cnima 19933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4538, 43, 44syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4633, 34mbfimaopn2 22230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  ( `' g " x
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  B ) )  -> 
( `' F "
( `' g "
x ) )  e. 
dom  vol )
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' F " ( `' g
" x ) )  e.  dom  vol )
4826, 47syl5eqel 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
50493adantl3 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
51 coeq1 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Re  o.  G )  o.  F ) )
52 coass 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re  o.  G )  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F )
)
5351, 52syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) )
5453cnveqd 5167 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) )
5554imaeq1d 5324 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
5655eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5756rspcv 3203 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5822, 50, 57sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
59 imcncf 21573 . . . . . . . 8  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Im  e.  ( CC -cn-> RR ) )
611, 60cncfco 21577 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
6261adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
63 coeq1 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Im  o.  G )  o.  F ) )
64 coass 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im  o.  G )  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F )
)
6563, 64syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) )
6665cnveqd 5167 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) )
6766imaeq1d 5324 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
6867eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
6968rspcv 3203 . . . . 5  |-  ( ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
7062, 50, 69sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
7158, 70jca 530 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol ) )
7271ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol ) )
73 ismbf1 22199 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e. MblFn 
<->  ( ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x )  e.  dom  vol )
) )
7418, 72, 73sylanbrc 662 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^pm cpm 7413   CCcc 9479   RRcr 9480   (,)cioo 11532   Recre 13012   Imcim 13013   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂfldccnfld 18615   TopBasesctb 19565    Cn ccn 19892   -cn->ccncf 21546   volcvol 22041  MblFncmbf 22189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194
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