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Theorem cncombf 22693
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally,  G can be a Borel-measurable function, but notably the condition that  G be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 
G to be the Cantor function and  F the indicator function of the  G-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> CC ) )
2 cncff 22003 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  ->  G : B
--> CC )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  G : B
--> CC )
4 simp2 1031 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  F : A
--> B )
5 fco 5751 . . . 4  |-  ( ( G : B --> CC  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
63, 4, 5syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
7 fdm 5745 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  =  A )
9 mbfdm 22663 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1093ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  dom  F  e. 
dom  vol )
118, 10eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  e.  dom  vol )
12 mblss 22563 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A  C_  RR )
14 cnex 9638 . . . 4  |-  CC  e.  _V
15 reex 9648 . . . 4  |-  RR  e.  _V
16 elpm2r 7507 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( G  o.  F ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
1714, 15, 16mpanl12 696 . . 3  |-  ( ( ( G  o.  F
) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( G  o.  F
)  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
186, 13, 17syl2anc 673 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
19 recncf 22012 . . . . . . . 8  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Re  e.  ( CC -cn-> RR ) )
211, 20cncfco 22017 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
2221adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
23 cnvco 5025 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( g  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' g )
2423imaeq1i 5171 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( ( `' F  o.  `' g ) " x )
25 imaco 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F  o.  `' g ) " x
)  =  ( `' F " ( `' g " x ) )
2624, 25eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( g  o.  F
) " x )  =  ( `' F " ( `' g "
x ) )
27 simplll 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F  e. MblFn )
28 simpllr 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  F : A
--> B )
29 cncfrss 22001 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( B -cn-> RR )  ->  B  C_  CC )
3029adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  B  C_  CC )
31 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( B -cn-> RR ) )
32 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
33 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  B )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  B )
3533tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3633, 34, 35cncfcn 22019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( B -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3730, 32, 36sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( B -cn->
RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3831, 37eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
39 retopbas 21859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
40 bastg 20058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
42 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ran  (,) )
4341, 42sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
44 cnima 20358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  B )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  /\  x  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4538, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' g " x )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  B ) )
4633, 34mbfimaopn2 22692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  ( `' g " x
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  B ) )  -> 
( `' F "
( `' g "
x ) )  e. 
dom  vol )
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' F " ( `' g
" x ) )  e.  dom  vol )
4826, 47syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  /\  g  e.  ( B -cn-> RR ) )  ->  ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
50493adantl3 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  A. g  e.  ( B -cn-> RR ) ( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
51 coeq1 4997 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Re  o.  G )  o.  F ) )
52 coass 5361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Re  o.  G )  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F )
)
5351, 52syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) )
5453cnveqd 5015 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) )
5554imaeq1d 5173 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
5655eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Re  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5756rspcv 3132 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
5822, 50, 57sylc 61 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
59 imcncf 22013 . . . . . . . 8  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  Im  e.  ( CC -cn-> RR ) )
611, 60cncfco 22017 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
6261adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR ) )
63 coeq1 4997 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( Im  o.  G )  o.  F ) )
64 coass 5361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im  o.  G )  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F )
)
6563, 64syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
g  o.  F )  =  ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) )
6665cnveqd 5015 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  `' ( g  o.  F
)  =  `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) )
6766imaeq1d 5173 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  ( `' ( g  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x ) )
6867eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( Im  o.  G )  ->  (
( `' ( g  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
6968rspcv 3132 . . . . 5  |-  ( ( Im  o.  G )  e.  ( B -cn-> RR )  ->  ( A. g  e.  ( B -cn->
RR ) ( `' ( g  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol ) )
7062, 50, 69sylc 61 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol )
7158, 70jca 541 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  /\  x  e. 
ran  (,) )  ->  (
( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol ) )
7271ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F
) ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F ) ) "
x )  e.  dom  vol ) )
73 ismbf1 22661 . 2  |-  ( ( G  o.  F )  e. MblFn 
<->  ( ( G  o.  F )  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( G  o.  F ) )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( G  o.  F )
) " x )  e.  dom  vol )
) )
7418, 72, 73sylanbrc 677 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  G  e.  ( B -cn-> CC ) )  ->  ( G  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^pm cpm 7491   CCcc 9555   RRcr 9556   (,)cioo 11660   Recre 13237   Imcim 13238   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   TopBasesctb 19997    Cn ccn 20317   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493  MblFncmbf 22651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656
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