Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cncombf 22693
 Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, can be a Borel-measurable function, but notably the condition that be only measurable is too weak, the usual counterexample taking to be the Cantor function and the indicator function of the -image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf MblFn MblFn

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1032 . . . . 5 MblFn
2 cncff 22003 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4 MblFn
4 simp2 1031 . . . 4 MblFn
5 fco 5751 . . . 4
63, 4, 5syl2anc 673 . . 3 MblFn
7 fdm 5745 . . . . . 6
84, 7syl 17 . . . . 5 MblFn
9 mbfdm 22663 . . . . . 6 MblFn
1093ad2ant1 1051 . . . . 5 MblFn
118, 10eqeltrrd 2550 . . . 4 MblFn
12 mblss 22563 . . . 4
1311, 12syl 17 . . 3 MblFn
14 cnex 9638 . . . 4
15 reex 9648 . . . 4
16 elpm2r 7507 . . . 4
1714, 15, 16mpanl12 696 . . 3
186, 13, 17syl2anc 673 . 2 MblFn
19 recncf 22012 . . . . . . . 8
2019a1i 11 . . . . . . 7 MblFn
211, 20cncfco 22017 . . . . . 6 MblFn
2221adantr 472 . . . . 5 MblFn
23 cnvco 5025 . . . . . . . . . 10
2423imaeq1i 5171 . . . . . . . . 9
25 imaco 5347 . . . . . . . . 9
2624, 25eqtri 2493 . . . . . . . 8
27 simplll 776 . . . . . . . . 9 MblFn MblFn
28 simpllr 777 . . . . . . . . 9 MblFn
29 cncfrss 22001 . . . . . . . . . 10
3029adantl 473 . . . . . . . . 9 MblFn
31 simpr 468 . . . . . . . . . . 11 MblFn
32 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12
33 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
3533tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
3633, 34, 35cncfcn 22019 . . . . . . . . . . . 12 fldt
3730, 32, 36sylancl 675 . . . . . . . . . . 11 MblFn fldt
3831, 37eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10 MblFn fldt
39 retopbas 21859 . . . . . . . . . . . 12
40 bastg 20058 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
42 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 MblFn
4341, 42sseldi 3416 . . . . . . . . . 10 MblFn
44 cnima 20358 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
4538, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . 9 MblFn fldt
4633, 34mbfimaopn2 22692 . . . . . . . . 9 MblFn fldt
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1295 . . . . . . . 8 MblFn
4826, 47syl5eqel 2553 . . . . . . 7 MblFn
4948ralrimiva 2809 . . . . . 6 MblFn
50493adantl3 1188 . . . . 5 MblFn
51 coeq1 4997 . . . . . . . . . 10
52 coass 5361 . . . . . . . . . 10
5351, 52syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
5453cnveqd 5015 . . . . . . . 8
5554imaeq1d 5173 . . . . . . 7
5655eleq1d 2533 . . . . . 6
5756rspcv 3132 . . . . 5
5822, 50, 57sylc 61 . . . 4 MblFn
59 imcncf 22013 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7 MblFn
611, 60cncfco 22017 . . . . . 6 MblFn
6261adantr 472 . . . . 5 MblFn
63 coeq1 4997 . . . . . . . . . 10
64 coass 5361 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
6665cnveqd 5015 . . . . . . . 8
6766imaeq1d 5173 . . . . . . 7
6867eleq1d 2533 . . . . . 6
6968rspcv 3132 . . . . 5
7062, 50, 69sylc 61 . . . 4 MblFn
7158, 70jca 541 . . 3 MblFn
7271ralrimiva 2809 . 2 MblFn
73 ismbf1 22661 . 2 MblFn
7418, 72, 73sylanbrc 677 1 MblFn MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cpm 7491  cc 9555  cr 9556  cioo 11660  cre 13237  cim 13238   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  ctb 19997   ccn 20317  ccncf 21986  cvol 22493  MblFncmbf 22651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656 This theorem is referenced by:  iblabslem  22864  iblabs  22865  bddmulibl  22875
 Copyright terms: Public domain W3C validator