Theorem cnco 9045

Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnco	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F) e. (J Cn L))

Proof of Theorem cnco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- U.J = U.J
2		eqid 1884	. . . . 5 |- U.L = U.L
3	1, 2	iscn 9034	. . . 4 |- ((J e. Top /\ L e. Top) -> ((G o. F) e. (J Cn L) <-> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)))
4	3	3adant2 895	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((G o. F) e. (J Cn L) <-> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)))
5	4	adantr 425	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> ((G o. F) e. (J Cn L) <-> ((G o. F):U.J-->U.L /\ A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)))
6		fco 4573	. . . . 5 |- ((G:U.K-->U.L /\ F:U.J-->U.K) -> (G o. F):U.J-->U.L)
7		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- U.K = U.K
8	7, 2	cnf 9038	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ L e. Top /\ G e. (K Cn L)) -> G:U.K-->U.L)
9	8	3expa 1067	. . . . . 6 |- (((K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L)) -> G:U.K-->U.L)
10	9	3adantl1 1032	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L)) -> G:U.K-->U.L)
11	1, 7	cnf 9038	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
12	11	3expa 1067	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
13	12	3adantl3 1034	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ F e. (J Cn K)) -> F:U.J-->U.K)
14	6, 10, 13	syl2an 503	. . . 4 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L)) /\ ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ F e. (J Cn K))) -> (G o. F):U.J-->U.L)
15	14	ancoms 484	. . 3 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ F e. (J Cn K)) /\ ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F):U.J-->U.L)
16	15	anandis 570	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F):U.J-->U.L)
17		simpll1 915	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> J e. Top)
18		simpll2 916	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> K e. Top)
19		simplrl 454	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> F e. (J Cn K))
20		cnima 9044	. . . . . 6 |- (((K e. Top /\ L e. Top /\ G e. (K Cn L)) /\ x e. L) -> (`'G"x) e. K)
21		simpl2 880	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> K e. Top)
22		simpl3 881	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> L e. Top)
23		simprr 451	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> G e. (K Cn L))
24	21, 22, 23	3jca 1050	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (K e. Top /\ L e. Top /\ G e. (K Cn L)))
25	20, 24	sylan 497	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (`'G"x) e. K)
26		cnima 9044	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (`'G"x) e. K) -> (`'F"(`'G"x)) e. J)
27	17, 18, 19, 25, 26	syl31anc 1103	. . . 4 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (`'F"(`'G"x)) e. J)
28		cnvco 4145	. . . . . 6 |- `'(G o. F) = (`'F o. `'G)
29	28	imaeq1i 4261	. . . . 5 |- (`'(G o. F)"x) = ((`'F o. `'G)"x)
30		imaco 4403	. . . . 5 |- ((`'F o. `'G)"x) = (`'F"(`'G"x))
31	29, 30	eqtri 1908	. . . 4 |- (`'(G o. F)"x) = (`'F"(`'G"x))
32	27, 31	syl5eqel 1975	. . 3 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) /\ x e. L) -> (`'(G o. F)"x) e. J)
33	32	r19.21aiva 2176	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> A.x e. L (`'(G o. F)"x) e. J)
34	5, 16, 33	mpbir2and 802	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (F e. (J Cn K) /\ G e. (K Cn L))) -> (G o. F) e. (J Cn L))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989   o. ccom 3990  -->wf 3994  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028

This theorem is referenced by:  metcnco 9175  txcn 10227  2txcn 10229  topgrpsubcnlem 14981  trhom 14983  cncfco 15887  cnopropabco 15917  cnoproprabco 15919  cnoprab1 15921  cnoprab2 15922  phtpyid 16049  phtpycom 16050  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  reparpht 16065  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082  pcorevlem 16086  pcorev 16087  pi1gp 16095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-cn 9030

Copyright terms: Public domain