Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncnp2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cncnp2 20374
 Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncnp.1
cncnp.2
Assertion
Ref Expression
cncnp2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cncnp2
StepHypRef Expression
1 cntop1 20333 . . . . 5
2 cncnp.1 . . . . . 6
32toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
41, 3sylib 201 . . . 4 TopOn
5 cntop2 20334 . . . . 5
6 cncnp.2 . . . . . 6
76toptopon 20025 . . . . 5 TopOn
85, 7sylib 201 . . . 4 TopOn
92, 6cnf 20339 . . . 4
104, 8, 9jca31 543 . . 3 TopOn TopOn
1110adantl 473 . 2 TopOn TopOn
12 r19.2z 3849 . . 3
13 cnptop1 20335 . . . . . 6
1413, 3sylib 201 . . . . 5 TopOn
15 cnptop2 20336 . . . . . 6
1615, 7sylib 201 . . . . 5 TopOn
172, 6cnpf 20340 . . . . 5
1814, 16, 17jca31 543 . . . 4 TopOn TopOn
1918rexlimivw 2869 . . 3 TopOn TopOn
2012, 19syl 17 . 2 TopOn TopOn
21 cncnp 20373 . . 3 TopOn TopOn
2221baibd 923 . 2 TopOn TopOn
2311, 20, 22pm5.21nd 916 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  c0 3722  cuni 4190  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ccnp 20318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-topgen 15420  df-top 19998  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator