Theorem cncnp 9055

Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
cncnp.1	|- X = U.J
cncnp.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cncnp	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))

Distinct variable groups:   x,J   x,K   x,F   x,X   x,Y

Proof of Theorem cncnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncnp.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
2		cncnp.2	. . . . . . . 8 |- Y = U.K
3	1, 2	cnsscnp 9049	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ x e. X) -> (J Cn K) C_ ((J CnP K)` x))
4	3	sseld 2619	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ x e. X) -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` x)))
5	4	3expia 1069	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (x e. X -> (F e. (J Cn K) -> F e. ((J CnP K)` x))))
6	5	com23 36	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) -> (x e. X -> F e. ((J CnP K)` x))))
7	6	r19.21adv 2181	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) -> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
8	7	3adant3 896	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) -> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
9		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))
10	9	ralimi 2168	. . . . . . 7 |- (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))
11	10	anim2i 362	. . . . . 6 |- ((F:X-->Y /\ A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))) -> (F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))))
12	11	ex 402	. . . . 5 |- (F:X-->Y -> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))))
13	1	cncnplem4 9054	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (`'F"y) e. J))
14	13	expdimp 406	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)) -> (`'F"y) e. J))
15	14	ralimdv 2172	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)) -> A.y e. K (`'F"y) e. J))
16	15	ex 402	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> (F:X-->Y -> (A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)) -> A.y e. K (`'F"y) e. J)))
17	16	imdistand 493	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
18		ralcom 2242	. . . . . . 7 |- (A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)) <-> A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))
19	18	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K A.x e. X ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))))
20	17, 19	syl5ib 223	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
21	12, 20	sylan9r 519	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
22	21	3adant2 895	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
23	1, 2	iscnp 9036	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))))
24	23	3expa 1067	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))))
25	24	ralbidva 2119	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) <-> A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y)))))
26	1, 2	iscn 9034	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
27	25, 26	imbi12d 688	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) -> F e. (J Cn K)) <-> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J))))
28	27	3adant3 896	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> ((A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) -> F e. (J Cn K)) <-> (A.x e. X (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` x) e. y -> E.z e. J (x e. z /\ (F"z) C_ y))) -> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J))))
29	22, 28	mpbird 213	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) -> F e. (J Cn K)))
30	8, 29	impbid 574	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028   CnP ccnp 9029

This theorem is referenced by:  cncnp2 9056  metcn 9167  metcn4 9249  cnfillim 15590  flimfcn 15603  fcluscn 15619  fclsfcn 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031

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