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Theorem cncnp 19575
Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncnp
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 19530 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
21simprbda 623 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
3 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
43cncnpi 19573 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)
54ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
7 toponuni 19223 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
87ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  X  =  U. J )
98raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
106, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
112, 10jca 532 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
12 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F : X --> Y )
13 cnvimass 5357 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
14 fdm 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1514adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  dom  F  =  X )
1613, 15syl5sseq 3552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
17 ssralv 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " y ) 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x ) ) )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
20 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  y  e.  K )
21 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  Fn  X )
23 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  x  e.  ( `' F "
y ) )
24 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " y )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  e.  y ) ) )
2524simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
2622, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
27 cnpimaex 19551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
2819, 20, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
29 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  F : X --> Y )
30 ffun 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  Fun  F )
32 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
33 toponss 19225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3432, 33sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3529, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  =  X )
3634, 35sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_ 
dom  F )
37 funimass3 5997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  u  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
u )  C_  y  <->  u 
C_  ( `' F " y ) ) )
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( F " u
)  C_  y  <->  u  C_  ( `' F " y ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4039rexbidva 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4128, 40mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4241expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  x  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4342ralimdva 2872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4418, 43syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4544impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4645an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
47 topontop 19222 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4847ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  J  e.  Top )
49 eltop2 19271 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5146, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
5251ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
531adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
5412, 52, 53mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5511, 54impbida 830 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Topctop 19189  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519    CnP ccnp 19520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-topgen 14699  df-top 19194  df-topon 19197  df-cn 19522  df-cnp 19523
This theorem is referenced by:  cncnp2  19576  cnnei  19577  cnconst2  19578  1stccn  19758  ptcn  19891  cnflf  20266  cnfcf  20306  symgtgp  20363  ghmcnp  20376  metcn  20809  txmetcn  20814  cnlimc  22055  dvcn  22087  dvcnvre  22183  psercn  22583  abelth  22598  cxpcn3  22878  cvmlift2lem11  28426  cvmlift2lem12  28427  cvmlift3lem8  28439  ioccncflimc  31252  cncfuni  31253  icccncfext  31254  icocncflimc  31256  cncfiooicclem1  31260  dirkercncflem2  31432  dirkercncflem4  31434  dirkercncf  31435  fourierdlem32  31467  fourierdlem33  31468  fourierdlem62  31497  fourierdlem93  31528  fourierdlem101  31536
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