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Theorem cncnp 18889
Description: A continuous function is continuous at all points. Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncnp
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 18844 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
21simprbda 623 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
43cncnpi 18887 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  e.  U. J )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)
54ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
65adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
7 toponuni 18537 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
87ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  X  =  U. J )
98raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  U. J F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
106, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
112, 10jca 532 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
12 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F : X --> Y )
13 cnvimass 5194 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
14 fdm 5568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1514adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  dom  F  =  X )
1613, 15syl5sseq 3409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( `' F " y )  C_  X
)
17 ssralv 3421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " y ) 
C_  X  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x ) ) )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
20 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  y  e.  K )
21 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  F  Fn  X )
23 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  x  e.  ( `' F "
y ) )
24 elpreima 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " y )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  e.  y ) ) )
2524simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  X  /\  x  e.  ( `' F " y ) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
2622, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
27 cnpimaex 18865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 x )  /\  y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
2819, 20, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
29 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  F : X --> Y )
30 ffun 5566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  Fun  F )
32 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
33 toponss 18539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3432, 33sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_  X )
3529, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  =  X )
3634, 35sseqtr4d 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  u  C_ 
dom  F )
37 funimass3 5824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  u  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
u )  C_  y  <->  u 
C_  ( `' F " y ) ) )
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( F " u
)  C_  y  <->  u  C_  ( `' F " y ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  /\  ( x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4039rexbidva 2737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )  <->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4128, 40mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  (
x  e.  ( `' F " y )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4241expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K
)  /\  F : X
--> Y )  /\  x  e.  ( `' F "
y ) )  -> 
( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4342ralimdva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  ( `' F "
y ) F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4418, 43syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  F : X --> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  ->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
4544impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  y  e.  K )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
4645an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  A. x  e.  ( `' F "
y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
y ) ) )
47 topontop 18536 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4847ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  J  e.  Top )
49 eltop2 18585 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( `' F " y ) E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " y ) ) ) )
5146, 50mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
5251ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
531adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
5412, 52, 53mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5511, 54impbida 828 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   U.cuni 4096   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Topctop 18503  TopOnctopon 18504    Cn ccn 18833    CnP ccnp 18834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-map 7221  df-topgen 14387  df-top 18508  df-topon 18511  df-cn 18836  df-cnp 18837
This theorem is referenced by:  cncnp2  18890  cnnei  18891  cnconst2  18892  1stccn  19072  ptcn  19205  cnflf  19580  cnfcf  19620  symgtgp  19677  ghmcnp  19690  metcn  20123  txmetcn  20128  cnlimc  21368  dvcn  21400  dvcnvre  21496  psercn  21896  abelth  21911  cxpcn3  22191  cvmlift2lem11  27207  cvmlift2lem12  27208  cvmlift3lem8  27220
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