Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncmpmax Structured version   Unicode version

Theorem cncmpmax 30942
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cncmpmax.1  |-  T  = 
U. J
cncmpmax.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
cncmpmax.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
cncmpmax.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cncmpmax.5  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cncmpmax  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    t, F    t, T    ph, t    t, J   
t, K

Proof of Theorem cncmpmax
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncmpmax.1 . . 3  |-  T  = 
U. J
2 cncmpmax.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 cncmpmax.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cncmpmax.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cncmpmax.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth 21189 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
7 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
82, 1, 7, 4fcnre 30935 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
9 frn 5730 . . . . . . . 8  |-  ( F : T --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ran  F 
C_  RR )
12 ffun 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : T --> RR  ->  Fun 
F )
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  Fun  F )
15 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
168adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  F : T --> RR )
17 fdm 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  dom  F  =  T )
1915, 18eleqtrrd 2553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  dom  F )
20 fvelrn 6010 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  ran  F
)
2114, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
2221adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
23 ffn 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : T --> RR  ->  F  Fn  T )
24 fvelrnb 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
258, 23, 243syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
2625biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y )
27 df-rex 2815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y  <->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
2928adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )
30 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  =  y )
31 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
32 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
s  e.  T )
33 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( F `  t )  =  ( F `  s ) )
3433breq1d 4452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
) )
3534rspccva 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x
) )
3631, 32, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  <_  ( F `  x ) )
3730, 36eqbrtrrd 4464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
3829, 37exlimddv 1697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
3938ralrimiva 2873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
4039adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
41 ubelsupr 30930 . . . . . 6  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ran  F  /\  A. y  e.  ran  F  y  <_  ( F `  x ) )  -> 
( F `  x
)  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
4211, 22, 40, 41syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
4342eqcomd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `  x ) )
4443, 22eqeltrd 2550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
4511, 44sseldd 3500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
46 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)
4746, 35sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
)
4843adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `
 x ) )
4947, 48breqtrrd 4468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5049ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5133breq1d 4452 . . . . 5  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
5251cbvralv 3083 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
5350, 52sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5444, 45, 533jca 1171 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
) )
556, 54rexlimddv 2954 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   (/)c0 3780   U.cuni 4240   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ran crn 4995   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   supcsup 7891   RRcr 9482    < clt 9619    <_ cle 9620   (,)cioo 11520   topGenctg 14684    Cn ccn 19486   Compccmp 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555
This theorem is referenced by:  stoweidlem36  31293
  Copyright terms: Public domain W3C validator