Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncmpmax Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cncmpmax 37347
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cncmpmax.1  |-  T  = 
U. J
cncmpmax.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
cncmpmax.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
cncmpmax.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cncmpmax.5  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
cncmpmax  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    t, F    t, T    ph, t    t, J   
t, K

Proof of Theorem cncmpmax
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncmpmax.1 . . 3  |-  T  = 
U. J
2 cncmpmax.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 cncmpmax.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cncmpmax.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cncmpmax.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth 21980 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
7 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
82, 1, 7, 4fcnre 37340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
9 frn 5733 . . . . . . . 8  |-  ( F : T --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
1110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ran  F 
C_  RR )
12 ffun 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : T --> RR  ->  Fun 
F )
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  F )
1413adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  Fun  F )
15 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  T )
168adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  F : T --> RR )
17 fdm 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : T --> RR  ->  dom 
F  =  T )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  dom  F  =  T )
1915, 18eleqtrrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  dom  F )
20 fvelrn 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  ran  F
)
2114, 19, 20syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  T )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
2221adantrr 722 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
23 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : T --> RR  ->  F  Fn  T )
24 fvelrnb 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  T  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
258, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y ) )
2625biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y )
27 df-rex 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  T  ( F `  s )  =  y  <->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
2826, 27sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s
( s  e.  T  /\  ( F `  s
)  =  y ) )
2928adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  ->  E. s ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )
30 simprr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  =  y )
31 simpllr 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )
32 simprl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
s  e.  T )
33 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( F `  t )  =  ( F `  s ) )
3433breq1d 4411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
) )
3534rspccva 3148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x
) )
3631, 32, 35syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
( F `  s
)  <_  ( F `  x ) )
3730, 36eqbrtrrd 4424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) )  /\  y  e.  ran  F )  /\  ( s  e.  T  /\  ( F `
 s )  =  y ) )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
3829, 37exlimddv 1780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x
) )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  <_  ( F `  x ) )
3938ralrimiva 2801 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
4039adantrl 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. y  e.  ran  F  y  <_ 
( F `  x
) )
41 ubelsupr 37335 . . . . . 6  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ran  F  /\  A. y  e.  ran  F  y  <_  ( F `  x ) )  -> 
( F `  x
)  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
4211, 22, 40, 41syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( F `  x )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
4342eqcomd 2456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `  x ) )
4443, 22eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
4511, 44sseldd 3432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
46 simplrr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
)
4746, 35sylancom 672 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  ( F `  x )
)
4843adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  =  ( F `
 x ) )
4947, 48breqtrrd 4428 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x ) ) )  /\  s  e.  T
)  ->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5049ralrimiva 2801 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5133breq1d 4411 . . . . 5  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  t
)  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
5251cbvralv 3018 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <->  A. s  e.  T  ( F `  s )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
5350, 52sylibr 216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
5444, 45, 533jca 1187 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  x )
) )  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
) )
556, 54rexlimddv 2882 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   RRcr 9535    < clt 9672    <_ cle 9673   (,)cioo 11632   topGenctg 15329    Cn ccn 20233   Compccmp 20394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330
This theorem is referenced by:  stoweidlem36  37891
  Copyright terms: Public domain W3C validator