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Theorem cncmp 20391
Description: Compactness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmp.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cncmp  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Comp )

Proof of Theorem cncmp
Dummy variables  c 
d  s  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 20241 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 elpwi 3988 . . . 4  |-  ( u  e.  ~P K  ->  u  C_  K )
4 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  J  e.  Comp )
5 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  u  C_  K )
65sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  e.  K )
7 simpl3 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
8 cnima 20265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
97, 8sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  K
)  ->  ( `' F " y )  e.  J )
106, 9syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( `' F " y )  e.  J )
11 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  =  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )
1210, 11fmptd 6057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) : u --> J )
13 frn 5748 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) : u --> J  ->  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J )
15 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  Y  =  U. u
)
1615imaeq2d 5183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " Y )  =  ( `' F " U. u
) )
17 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
18 cncmp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  = 
U. K
1917, 18cnf 20246 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
207, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  F : U. J --> Y )
21 fimacnv 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( F : U. J --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
2310ralrimiva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J )
24 dfiun2g 4328 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  u  ( `' F " y )  = 
U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) } )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  U_ y  e.  u  ( `' F " y )  =  U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) } )
26 imauni 6162 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " U. u
)  =  U_ y  e.  u  ( `' F " y )
2711rnmpt 5095 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  =  { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) }
2827unieqi 4225 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  = 
U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) }
2925, 26, 283eqtr4g 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " U. u )  =  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) )
3016, 22, 293eqtr3d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  U. J  =  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) )
3117cmpcov 20388 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin ) U. J  =  U. s )
324, 14, 30, 31syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  E. s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i 
Fin ) U. J  =  U. s )
33 elfpw 7878 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  i^i 
Fin )  <->  ( s  C_ 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e.  Fin )
)
34 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  s  C_ 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )
3534sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  s )  ->  c  e.  ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )
36 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  F : X -onto-> Y )
37 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_ 
U. K )
3837, 18syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_  Y )
396, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  C_  Y )
40 foimacnv 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  y  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
y ) )  =  y )
4136, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  y )
42 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  e.  u )
4341, 42eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u )
4443ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F " y ) )  e.  u )
45 imaeq2 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( `' F " y )  ->  ( F " c )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
4645eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " c
)  e.  u  <->  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4711, 46ralrnmpt 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) ( F " c )  e.  u  <->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4823, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( A. c  e. 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) ( F " c )  e.  u  <->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4944, 48mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) ( F " c )  e.  u )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) ( F " c )  e.  u )
5150r19.21bi 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " c )  e.  u )
5235, 51syldan 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  s )  ->  ( F " c
)  e.  u )
53 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  =  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) )
5452, 53fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) ) : s --> u )
55 frn 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  s  |->  ( F " c ) ) : s --> u  ->  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) 
C_  u )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  C_  u
)
57 simprlr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  s  e.  Fin )
5853rnmpt 5095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) )  =  { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F " c ) }
59 abrexfi 7876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F " c ) }  e.  Fin )
6058, 59syl5eqel 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  Fin  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin )
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin )
62 elfpw 7878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) 
C_  u  /\  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin ) )
6356, 61, 62sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
6420adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  F : U. J --> Y )
65 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  dom  F  =  U. J )
67 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  F : X -onto-> Y )
68 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
69 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  dom  F  =  X )
71 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  U. J  =  U. s )
7266, 70, 713eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  X  =  U. s )
7372imaeq2d 5183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " X )  =  ( F " U. s ) )
74 foima 5811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
7567, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " X )  =  Y )
7652ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  A. c  e.  s  ( F " c )  e.  u
)
77 dfiun2g 4328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  s  ( F " c )  e.  u  ->  U_ c  e.  s  ( F "
c )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) } )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  U_ c  e.  s  ( F " c )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) } )
79 imauni 6162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" U. s )  =  U_ c  e.  s  ( F "
c )
8058unieqi 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) }
8178, 79, 803eqtr4g 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " U. s )  =  U. ran  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) ) )
8273, 75, 813eqtr3d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) )
83 unieq 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) ) )
8483eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  ->  ( Y  = 
U. v  <->  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) ) ) )
8584rspcev 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v )
8663, 82, 85syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v )
8786expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )
)  ->  ( U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
8833, 87sylan2b 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin )
)  ->  ( U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
8988rexlimdva 2917 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( E. s  e.  ( ~P ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin ) U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
9032, 89mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
)
9190expr 618 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  u  C_  K
)  ->  ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v ) )
923, 91sylan2 476 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  u  e.  ~P K )  ->  ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
9392ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  ~P  K ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
) )
9418iscmp 20387 . 2  |-  ( K  e.  Comp  <->  ( K  e. 
Top  /\  A. u  e.  ~P  K ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
) ) )
952, 93, 94sylanbrc 668 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   U_ciun 4296    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   ran crn 4850   "cima 4852   -->wf 5593   -onto->wfo 5595  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   Topctop 19901    Cn ccn 20224   Compccmp 20385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-top 19905  df-topon 19907  df-cn 20227  df-cmp 20386
This theorem is referenced by:  rncmp  20395  txcmpb  20643  qtopcmp  20707  cmphmph  20787
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