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Theorem cncmp 19017
Description: Compactness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmp.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cncmp  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Comp )

Proof of Theorem cncmp
Dummy variables  c 
d  s  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 18867 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
213ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3 elpwi 3890 . . . 4  |-  ( u  e.  ~P K  ->  u  C_  K )
4 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  J  e.  Comp )
5 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  u  C_  K )
65sselda 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  e.  K )
7 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
8 cnima 18891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
97, 8sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  K
)  ->  ( `' F " y )  e.  J )
106, 9syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( `' F " y )  e.  J )
11 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  =  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )
1210, 11fmptd 5888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) : u --> J )
13 frn 5586 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) : u --> J  ->  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J )
15 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  Y  =  U. u
)
1615imaeq2d 5190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " Y )  =  ( `' F " U. u
) )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
18 cncmp.2 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  = 
U. K
1917, 18cnf 18872 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
207, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  F : U. J --> Y )
21 fimacnv 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( F : U. J --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
2310ralrimiva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J )
24 dfiun2g 4223 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  u  ( `' F " y )  = 
U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) } )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  U_ y  e.  u  ( `' F " y )  =  U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) } )
26 imauni 5984 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " U. u
)  =  U_ y  e.  u  ( `' F " y )
2711rnmpt 5106 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  =  { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) }
2827unieqi 4121 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  = 
U. { x  |  E. y  e.  u  x  =  ( `' F " y ) }
2925, 26, 283eqtr4g 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( `' F " U. u )  =  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) )
3016, 22, 293eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  U. J  =  U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) )
3117cmpcov 19014 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin ) U. J  =  U. s )
324, 14, 30, 31syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  E. s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i 
Fin ) U. J  =  U. s )
33 elfpw 7634 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  i^i 
Fin )  <->  ( s  C_ 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e.  Fin )
)
34 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  s  C_ 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )
3534sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  s )  ->  c  e.  ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )
36 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  F : X -onto-> Y )
37 elssuni 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_ 
U. K )
3837, 18syl6sseqr 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_  Y )
396, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  C_  Y )
40 foimacnv 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  y  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F "
y ) )  =  y )
4136, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  y )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  y  e.  u )
4341, 42eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  y  e.  u
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u )
4443ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F " y ) )  e.  u )
45 imaeq2 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( `' F " y )  ->  ( F " c )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
4645eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " c
)  e.  u  <->  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4711, 46ralrnmpt 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  u  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) ( F " c )  e.  u  <->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4823, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( A. c  e. 
ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) ( F " c )  e.  u  <->  A. y  e.  u  ( F " ( `' F "
y ) )  e.  u ) )
4944, 48mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) ) ( F " c )  e.  u )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  A. c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) ( F " c )  e.  u )
5150r19.21bi 2835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " c )  e.  u )
5235, 51syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
u  C_  K  /\  Y  =  U. u
) )  /\  (
( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )  /\  U. J  =  U. s ) )  /\  c  e.  s )  ->  ( F " c
)  e.  u )
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  =  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) )
5452, 53fmptd 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) ) : s --> u )
55 frn 5586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  s  |->  ( F " c ) ) : s --> u  ->  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) 
C_  u )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  C_  u
)
57 simprlr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  s  e.  Fin )
5853rnmpt 5106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) )  =  { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F " c ) }
59 abrexfi 7632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F " c ) }  e.  Fin )
6058, 59syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  Fin  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin )
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin )
62 elfpw 7634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) 
C_  u  /\  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  Fin ) )
6356, 61, 62sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )
6420adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  F : U. J --> Y )
65 fdm 5584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : U. J --> Y  ->  dom  F  =  U. J
)
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  dom  F  =  U. J )
67 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  F : X -onto-> Y )
68 fof 5641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
69 fdm 5584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
7067, 68, 693syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  dom  F  =  X )
71 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  U. J  =  U. s )
7266, 70, 713eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  X  =  U. s )
7372imaeq2d 5190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " X )  =  ( F " U. s ) )
74 foima 5646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
7567, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " X )  =  Y )
7652ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  A. c  e.  s  ( F " c )  e.  u
)
77 dfiun2g 4223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  s  ( F " c )  e.  u  ->  U_ c  e.  s  ( F "
c )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) } )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  U_ c  e.  s  ( F " c )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) } )
79 imauni 5984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" U. s )  =  U_ c  e.  s  ( F "
c )
8058unieqi 4121 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) )  =  U. { d  |  E. c  e.  s  d  =  ( F "
c ) }
8178, 79, 803eqtr4g 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  ( F " U. s )  =  U. ran  (
c  e.  s  |->  ( F " c ) ) )
8273, 75, 813eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) )
83 unieq 4120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( c  e.  s 
|->  ( F " c
) ) )
8483eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) )  ->  ( Y  = 
U. v  <->  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) ) ) )
8584rspcev 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( c  e.  s  |->  ( F "
c ) )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  Y  =  U. ran  ( c  e.  s  |->  ( F
" c ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v )
8663, 82, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( ( s 
C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  /\  s  e. 
Fin )  /\  U. J  =  U. s
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v )
8786expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  ( s  C_  ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F "
y ) )  /\  s  e.  Fin )
)  ->  ( U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
8833, 87sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u 
C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  /\  s  e.  ( ~P ran  ( y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin )
)  ->  ( U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
8988rexlimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  -> 
( E. s  e.  ( ~P ran  (
y  e.  u  |->  ( `' F " y ) )  i^i  Fin ) U. J  =  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
9032, 89mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( u  C_  K  /\  Y  =  U. u ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
)
9190expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  u  C_  K
)  ->  ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) Y  = 
U. v ) )
923, 91sylan2 474 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  u  e.  ~P K )  ->  ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v ) )
9392ralrimiva 2820 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. u  e.  ~P  K ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
) )
9418iscmp 19013 . 2  |-  ( K  e.  Comp  <->  ( K  e. 
Top  /\  A. u  e.  ~P  K ( Y  =  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) Y  =  U. v
) ) )
952, 93, 94sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  F : X -onto-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   U_ciun 4192    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   "cima 4864   -->wf 5435   -onto->wfo 5437  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   Topctop 18520    Cn ccn 18850   Compccmp 19011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-fin 7335  df-top 18525  df-topon 18528  df-cn 18853  df-cmp 19012
This theorem is referenced by:  rncmp  19021  txcmpb  19239  qtopcmp  19303  cmphmph  19383
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