MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncmet Structured version   Unicode version

Theorem cncmet 20852
Description: The set of complex numbers is a complete metric space under the absolute value metric. (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncmet.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cncmet  |-  D  e.  ( CMet `  CC )

Proof of Theorem cncmet
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopn 20380 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
3 cncmet.1 . . . . 5  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
43fveq2i 5713 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
52, 4eqtr4i 2466 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  D
)
6 cnmet 20370 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
73, 6eqeltri 2513 . . . 4  |-  D  e.  ( Met `  CC )
87a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  D  e.  ( Met `  CC ) )
9 1rp 11014 . . . 4  |-  1  e.  RR+
109a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR+ )
111cnfldtop 20382 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
12 metxmet 19928 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  CC )  ->  D  e.  ( *Met `  CC ) )
137, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  D  e.  ( *Met `  CC )
14 rpxr 11017 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
159, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR*
16 blssm 20012 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )
1713, 15, 16mp3an13 1305 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  CC )
181cnfldtopon 20381 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918toponunii 18556 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2019clscld 18670 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2111, 17, 20sylancr 663 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
22 abscl 12786 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
23 peano2re 9561 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
25 df-rab 2743 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }  =  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) }
2625eqcomi 2447 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  =  { y  e.  CC  |  ( x D y )  <_  1 }
275, 26blcls 20100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
2813, 15, 27mp3an13 1305 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) } )
29 abscl 12786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
3122adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3230, 31resubcld 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  e.  RR )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  y  e.  CC )
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
35 subcl 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y  -  x
)  e.  CC )
3633, 34, 35syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3736abscld 12941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  e.  RR )
38 1red 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
39 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  y  e.  CC )
40 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4139, 40abs2difd 12962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
423cnmetdval 20369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
43 abssub 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4442, 43eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
4544adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  (
y  -  x ) ) )
46 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( x D y )  <_ 
1 )
4745, 46eqbrtrrd 4333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( y  -  x
) )  <_  1
)
4832, 37, 38, 41, 47letrd 9547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  y )  -  ( abs `  x ) )  <_  1 )
4930, 31, 38lesubadd2d 9957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( (
( abs `  y
)  -  ( abs `  x ) )  <_ 
1  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5048, 49mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
5150ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_  1 )  ->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5251ss2abdv 3444 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  { y  |  ( y  e.  CC  /\  ( x D y )  <_ 
1 ) }  C_  { y  |  ( abs `  y )  <_  (
( abs `  x
)  +  1 ) } )
5328, 52sstrd 3385 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) } )
54 ssabral 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  { y  |  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) }  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
5553, 54sylib 196 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
56 breq2 4315 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( ( abs `  y )  <_ 
r  <->  ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5756ralbidv 2754 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r  <->  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
5857rspcev 3092 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ( abs `  y )  <_  r )
5924, 55, 58syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
6019clsss3 18682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
6111, 17, 60sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC )
62 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )
631, 62cnheibor 20546 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) 
C_  CC  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6461, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp  <->  ( (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  /\  E. r  e.  RR  A. y  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ( abs `  y
)  <_  r )
) )
6521, 59, 64mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
6665adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  e.  Comp )
675, 8, 10, 66relcmpcmet 20846 . 2  |-  ( T. 
->  D  e.  ( CMet `  CC ) )
6867trud 1378 1  |-  D  e.  ( CMet `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2734   E.wrex 2735   {crab 2738    C_ wss 3347   class class class wbr 4311    o. ccom 4863   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   RRcr 9300   1c1 9302    + caddc 9304   RR*cxr 9436    <_ cle 9438    - cmin 9614   RR+crp 11010   abscabs 12742   ↾t crest 14378   TopOpenctopn 14379   *Metcxmt 17820   Metcme 17821   ballcbl 17822   MetOpencmopn 17825  ℂfldccnfld 17837   Topctop 18517   Clsdccld 18639   clsccl 18641   Compccmp 19008   CMetcms 20784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-haus 18938  df-cmp 19009  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-flim 19531  df-fcls 19533  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cncf 20473  df-cfil 20785  df-cmet 20787
This theorem is referenced by:  recmet  20853  cncms  20886  cnbn  24289
  Copyright terms: Public domain W3C validator