MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncls2i Structured version   Unicode version

Theorem cncls2i 18987
Description: Property of the preimage of a closure. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cncls2i  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " S ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )

Proof of Theorem cncls2i
StepHypRef Expression
1 cntop2 18958 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2 cncls2i.1 . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
32clscld 18764 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  K
) )
41, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  K
) )
5 cnclima 18985 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( ( cls `  K
) `  S )  e.  ( Clsd `  K
) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 S ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
64, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( `' F "
( ( cls `  K
) `  S )
)  e.  ( Clsd `  J ) )
72sscls 18773 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  K ) `  S
) )
81, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  ->  S  C_  ( ( cls `  K ) `  S
) )
9 imass2 5299 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ( cls `  K ) `  S
)  ->  ( `' F " S )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 S ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( `' F " S )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 S ) ) )
11 eqid 2451 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1211clsss2 18789 . 2  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  K
) `  S )
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( `' F " S ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " S ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )
136, 10, 12syl2anc 661 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  S  C_  Y )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " S ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3423   U.cuni 4186   `'ccnv 4934   "cima 4938   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Topctop 18611   Clsdccld 18733   clsccl 18735    Cn ccn 18941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-map 7313  df-top 18616  df-topon 18619  df-cld 18736  df-cls 18738  df-cn 18944
This theorem is referenced by:  cnclsi  18989  cncls2  18990  imasncls  19378  hmeocls  19454  clssubg  19792
  Copyright terms: Public domain W3C validator