Theorem cncls 19011

Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncls	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncls

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnf2 18986	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expia 1190	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y ) )
3		elpwi 3978	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
4	3	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
5		toponuni 18665	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> X = U. J )
7	4, 6	sseqtrd 3501	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ U. J )
8		eqid 2454	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
9	8	cnclsi 19009	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x C_ U. J ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) )
10	9	expcom 435	. . . . 5 |- ( x C_ U. J -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
11	7, 10	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
12	11	ralrimdva 2912	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
13	2, 12	jcad 533	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )
14		cnvimass 5298	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		fdm 5672	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = X )
17	14, 16	syl5sseq 3513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
18		toponmax 18666	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X e. J )
20		elpw2g 4564	. . . . . . . . 9 |- ( X e. J -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
22	17, 21	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) e. ~P X )
23		fveq2 5800	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) = ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) )
24	23	imaeq2d 5278	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) = ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) )
25		imaeq2 5274	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
26	25	fveq2d 5804	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) )
27	24, 26	sseq12d 3494	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) <-> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
28	27	rspcv 3175	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " y ) e. ~P X -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
29	22, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30		topontop 18664	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
31	30	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> K e. Top )
32		elpwi 3978	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ Y )
34		toponuni 18665	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
35	34	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Y = U. K )
36	33, 35	sseqtrd 3501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ U. K )
37		ffun 5670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Fun F )
39		funimacnv 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
41		inss1 3679	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ran F ) C_ y
42	40, 41	syl6eqss 3515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) C_ y )
43		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
44	43	clsss 18791	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K /\ ( F " ( `' F " y ) ) C_ y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
45	31, 36, 42, 44	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
46		sstr2 3472	. . . . . . . 8 |- ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
47	45, 46	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
48		topontop 18664	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
49	48	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> J e. Top )
50	5	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X = U. J )
51	16, 50	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = U. J )
52	14, 51	syl5sseq 3513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
53	8	clsss3 18796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
54	49, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
55	54, 51	sseqtr4d 3502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F )
56		funimass3 5929	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
57	38, 55, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
58	47, 57	sylibd 214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
59	29, 58	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
60	59	ralrimdva 2912	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
61	60	imdistanda 693	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
62		cncls2 19010	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
63	61, 62	sylibrd 234	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
64	13, 63	impbid 191	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   U.cuni 4200   `'ccnv 4948   dom cdm 4949   ran crn 4950   "cima 4952   Fun wfun 5521   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Topctop 18631  TopOnctopon 18632   clsccl 18755   Cn ccn 18961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-top 18636  df-topon 18639  df-cld 18756  df-cls 18758  df-cn 18964

This theorem is referenced by: (None)