Theorem cncls 18853

Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncls	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncls

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnf2 18828	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expia 1189	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y ) )
3		elpwi 3864	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
4	3	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
5		toponuni 18507	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> X = U. J )
7	4, 6	sseqtrd 3387	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ U. J )
8		eqid 2438	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
9	8	cnclsi 18851	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x C_ U. J ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) )
10	9	expcom 435	. . . . 5 |- ( x C_ U. J -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
11	7, 10	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
12	11	ralrimdva 2801	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
13	2, 12	jcad 533	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )
14		cnvimass 5184	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		fdm 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = X )
17	14, 16	syl5sseq 3399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
18		toponmax 18508	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X e. J )
20		elpw2g 4450	. . . . . . . . 9 |- ( X e. J -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
22	17, 21	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) e. ~P X )
23		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) = ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) )
24	23	imaeq2d 5164	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) = ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) )
25		imaeq2 5160	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
26	25	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) )
27	24, 26	sseq12d 3380	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) <-> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
28	27	rspcv 3064	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " y ) e. ~P X -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
29	22, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30		topontop 18506	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
31	30	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> K e. Top )
32		elpwi 3864	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ Y )
34		toponuni 18507	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
35	34	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Y = U. K )
36	33, 35	sseqtrd 3387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ U. K )
37		ffun 5556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Fun F )
39		funimacnv 5485	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
41		inss1 3565	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ran F ) C_ y
42	40, 41	syl6eqss 3401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) C_ y )
43		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
44	43	clsss 18633	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K /\ ( F " ( `' F " y ) ) C_ y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
45	31, 36, 42, 44	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
46		sstr2 3358	. . . . . . . 8 |- ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
47	45, 46	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
48		topontop 18506	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
49	48	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> J e. Top )
50	5	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X = U. J )
51	16, 50	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = U. J )
52	14, 51	syl5sseq 3399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
53	8	clsss3 18638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
54	49, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
55	54, 51	sseqtr4d 3388	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F )
56		funimass3 5814	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
57	38, 55, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
58	47, 57	sylibd 214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
59	29, 58	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
60	59	ralrimdva 2801	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
61	60	imdistanda 693	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
62		cncls2 18852	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
63	61, 62	sylibrd 234	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
64	13, 63	impbid 191	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836   "cima 4838   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   clsccl 18597   Cn ccn 18803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-top 18478  df-topon 18481  df-cld 18598  df-cls 18600  df-cn 18806

This theorem is referenced by: (None)