Theorem cncls 19901

Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncls	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncls

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnf2 19876	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expia 1198	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y ) )
3		elpwi 4024	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
4	3	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
5		toponuni 19554	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> X = U. J )
7	4, 6	sseqtrd 3535	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ U. J )
8		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
9	8	cnclsi 19899	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x C_ U. J ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) )
10	9	expcom 435	. . . . 5 |- ( x C_ U. J -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
11	7, 10	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
12	11	ralrimdva 2875	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
13	2, 12	jcad 533	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )
14		cnvimass 5367	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		fdm 5741	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = X )
17	14, 16	syl5sseq 3547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
18		toponmax 19555	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X e. J )
20		elpw2g 4619	. . . . . . . . 9 |- ( X e. J -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
22	17, 21	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) e. ~P X )
23		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) = ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) )
24	23	imaeq2d 5347	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) = ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) )
25		imaeq2 5343	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
26	25	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) )
27	24, 26	sseq12d 3528	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) <-> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
28	27	rspcv 3206	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " y ) e. ~P X -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
29	22, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30		topontop 19553	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
31	30	ad3antlr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> K e. Top )
32		elpwi 4024	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
33	32	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ Y )
34		toponuni 19554	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
35	34	ad3antlr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Y = U. K )
36	33, 35	sseqtrd 3535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ U. K )
37		ffun 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Fun F )
39		funimacnv 5666	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
41		inss1 3714	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ran F ) C_ y
42	40, 41	syl6eqss 3549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) C_ y )
43		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
44	43	clsss 19681	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K /\ ( F " ( `' F " y ) ) C_ y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
45	31, 36, 42, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
46		sstr2 3506	. . . . . . . 8 |- ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
47	45, 46	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
48		topontop 19553	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
49	48	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> J e. Top )
50	5	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X = U. J )
51	16, 50	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = U. J )
52	14, 51	syl5sseq 3547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
53	8	clsss3 19686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
54	49, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
55	54, 51	sseqtr4d 3536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F )
56		funimass3 6004	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
57	38, 55, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
58	47, 57	sylibd 214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
59	29, 58	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
60	59	ralrimdva 2875	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
61	60	imdistanda 693	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
62		cncls2 19900	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
63	61, 62	sylibrd 234	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
64	13, 63	impbid 191	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   clsccl 19645   Cn ccn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-top 19525  df-topon 19528  df-cld 19646  df-cls 19648  df-cn 19854

This theorem is referenced by: (None)