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Theorem cncls 20277
Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncls
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnf2 20252 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
213expia 1207 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F : X
--> Y ) )
3 elpwi 3988 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
43adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
5 toponuni 19929 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
74, 6sseqtrd 3500 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_ 
U. J )
8 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
98cnclsi 20275 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  C_  U. J )  ->  ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )
109expcom 436 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
117, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
1211ralrimdva 2843 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
132, 12jcad 535 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) ) ) )
14 cnvimass 5204 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 fdm 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1615ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16syl5sseq 3512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  X )
18 toponmax 19930 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1918ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  e.  J )
20 elpw2g 4584 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2217, 21mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P X )
23 fveq2 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  J
) `  x )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )
2423imaeq2d 5184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) )
25 imaeq2 5180 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
2625fveq2d 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) )
2724, 26sseq12d 3493 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  <->  ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2827rspcv 3178 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " y )  e.  ~P X  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2922, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30 topontop 19928 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
3130ad3antlr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  K  e.  Top )
32 elpwi 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P Y  -> 
y  C_  Y )
3332adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_  Y )
34 toponuni 19929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
3534ad3antlr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Y  =  U. K )
3633, 35sseqtrd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_ 
U. K )
37 ffun 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3837ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Fun  F )
39 funimacnv 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
41 inss1 3682 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  ran  F )  C_  y
4240, 41syl6eqss 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )
43 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
4443clsss 20056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K  /\  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )  ->  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
4531, 36, 42, 44syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
46 sstr2 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
)  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y ) ) )
4745, 46syl5com 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )  C_  (
( cls `  K
) `  y )
) )
48 topontop 19928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4948ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  J  e.  Top )
505ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  =  U. J )
5116, 50eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  U. J )
5214, 51syl5sseq 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  U. J )
538clsss3 20061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5449, 52, 53syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5554, 51sseqtr4d 3501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )
56 funimass3 6010 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5738, 55, 56syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5847, 57sylibd 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) )
5929, 58syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
6059ralrimdva 2843 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) )
6160imdistanda 697 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) ) )
62 cncls2 20276 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) ) )
6361, 62sylibrd 237 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) ) )
6413, 63impbid 193 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   ran crn 4851   "cima 4853   Fun wfun 5592   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   clsccl 20020    Cn ccn 20227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-map 7479  df-top 19908  df-topon 19910  df-cld 20021  df-cls 20023  df-cn 20230
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