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Theorem cncls 19538
Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncls
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnf2 19513 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
213expia 1198 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F : X
--> Y ) )
3 elpwi 4019 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
5 toponuni 19192 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
74, 6sseqtrd 3540 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_ 
U. J )
8 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
98cnclsi 19536 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  C_  U. J )  ->  ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )
109expcom 435 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
1211ralrimdva 2882 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
132, 12jcad 533 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) ) ) )
14 cnvimass 5355 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 fdm 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16syl5sseq 3552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  X )
18 toponmax 19193 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  e.  J )
20 elpw2g 4610 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2217, 21mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P X )
23 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  J
) `  x )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )
2423imaeq2d 5335 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) )
25 imaeq2 5331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
2625fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) )
2724, 26sseq12d 3533 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  <->  ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2827rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " y )  e.  ~P X  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2922, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30 topontop 19191 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
3130ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  K  e.  Top )
32 elpwi 4019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P Y  -> 
y  C_  Y )
3332adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_  Y )
34 toponuni 19192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
3534ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Y  =  U. K )
3633, 35sseqtrd 3540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_ 
U. K )
37 ffun 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Fun  F )
39 funimacnv 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
41 inss1 3718 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  ran  F )  C_  y
4240, 41syl6eqss 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )
43 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
4443clsss 19318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K  /\  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )  ->  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
4531, 36, 42, 44syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
46 sstr2 3511 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
)  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y ) ) )
4745, 46syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )  C_  (
( cls `  K
) `  y )
) )
48 topontop 19191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4948ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  J  e.  Top )
505ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  =  U. J )
5116, 50eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  U. J )
5214, 51syl5sseq 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  U. J )
538clsss3 19323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5449, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5554, 51sseqtr4d 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )
56 funimass3 5995 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5738, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5847, 57sylibd 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) )
5929, 58syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
6059ralrimdva 2882 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) )
6160imdistanda 693 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) ) )
62 cncls2 19537 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) ) )
6361, 62sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) ) )
6413, 63impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Topctop 19158  TopOnctopon 19159   clsccl 19282    Cn ccn 19488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-top 19163  df-topon 19166  df-cld 19283  df-cls 19285  df-cn 19491
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