Theorem cncls 20277

Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncls	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncls

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnf2 20252	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expia 1207	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y ) )
3		elpwi 3988	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
4	3	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
5		toponuni 19929	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> X = U. J )
7	4, 6	sseqtrd 3500	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ U. J )
8		eqid 2422	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
9	8	cnclsi 20275	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x C_ U. J ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) )
10	9	expcom 436	. . . . 5 |- ( x C_ U. J -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
11	7, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
12	11	ralrimdva 2843	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
13	2, 12	jcad 535	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )
14		cnvimass 5204	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		fdm 5747	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	15	ad2antlr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = X )
17	14, 16	syl5sseq 3512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
18		toponmax 19930	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	ad3antrrr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X e. J )
20		elpw2g 4584	. . . . . . . . 9 |- ( X e. J -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
22	17, 21	mpbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) e. ~P X )
23		fveq2 5878	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) = ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) )
24	23	imaeq2d 5184	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) = ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) )
25		imaeq2 5180	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
26	25	fveq2d 5882	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) )
27	24, 26	sseq12d 3493	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) <-> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
28	27	rspcv 3178	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " y ) e. ~P X -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
29	22, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30		topontop 19928	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
31	30	ad3antlr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> K e. Top )
32		elpwi 3988	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
33	32	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ Y )
34		toponuni 19929	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
35	34	ad3antlr 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Y = U. K )
36	33, 35	sseqtrd 3500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ U. K )
37		ffun 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
38	37	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Fun F )
39		funimacnv 5670	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
41		inss1 3682	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ran F ) C_ y
42	40, 41	syl6eqss 3514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) C_ y )
43		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
44	43	clsss 20056	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K /\ ( F " ( `' F " y ) ) C_ y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
45	31, 36, 42, 44	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
46		sstr2 3471	. . . . . . . 8 |- ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
47	45, 46	syl5com 31	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
48		topontop 19928	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
49	48	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> J e. Top )
50	5	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X = U. J )
51	16, 50	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = U. J )
52	14, 51	syl5sseq 3512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
53	8	clsss3 20061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
54	49, 52, 53	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
55	54, 51	sseqtr4d 3501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F )
56		funimass3 6010	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
57	38, 55, 56	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
58	47, 57	sylibd 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
59	29, 58	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
60	59	ralrimdva 2843	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
61	60	imdistanda 697	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
62		cncls2 20276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
63	61, 62	sylibrd 237	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
64	13, 63	impbid 193	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   ran crn 4851   "cima 4853   Fun wfun 5592   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   clsccl 20020   Cn ccn 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-map 7479  df-top 19908  df-topon 19910  df-cld 20021  df-cls 20023  df-cn 20230

This theorem is referenced by: (None)