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Theorem cncls 20367
Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncls
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnf2 20342 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
213expia 1233 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F : X
--> Y ) )
3 elpwi 3951 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
43adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
5 toponuni 20019 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
74, 6sseqtrd 3454 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_ 
U. J )
8 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
98cnclsi 20365 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  C_  U. J )  ->  ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )
109expcom 442 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
117, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
1211ralrimdva 2812 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
132, 12jcad 542 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) ) ) )
14 cnvimass 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 fdm 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1615ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16syl5sseq 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  X )
18 toponmax 20020 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1918ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  e.  J )
20 elpw2g 4564 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2217, 21mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P X )
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  J
) `  x )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )
2423imaeq2d 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) )
25 imaeq2 5170 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
2625fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) )
2724, 26sseq12d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  <->  ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2827rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " y )  e.  ~P X  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2922, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30 topontop 20018 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
3130ad3antlr 745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  K  e.  Top )
32 elpwi 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P Y  -> 
y  C_  Y )
3332adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_  Y )
34 toponuni 20019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
3534ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Y  =  U. K )
3633, 35sseqtrd 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_ 
U. K )
37 ffun 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3837ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Fun  F )
39 funimacnv 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
41 inss1 3643 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  ran  F )  C_  y
4240, 41syl6eqss 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )
43 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
4443clsss 20146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K  /\  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )  ->  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
4531, 36, 42, 44syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
46 sstr2 3425 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
)  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y ) ) )
4745, 46syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )  C_  (
( cls `  K
) `  y )
) )
48 topontop 20018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4948ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  J  e.  Top )
505ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  =  U. J )
5116, 50eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  U. J )
5214, 51syl5sseq 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  U. J )
538clsss3 20151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5449, 52, 53syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5554, 51sseqtr4d 3455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )
56 funimass3 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5738, 55, 56syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5847, 57sylibd 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) )
5929, 58syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
6059ralrimdva 2812 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) )
6160imdistanda 707 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) ) )
62 cncls2 20366 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) ) )
6361, 62sylibrd 242 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) ) )
6413, 63impbid 195 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   clsccl 20110    Cn ccn 20317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320
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