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Theorem cncls 19901
Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    x, X    x, Y

Proof of Theorem cncls
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnf2 19876 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
213expia 1198 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F : X
--> Y ) )
3 elpwi 4024 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_  X )
5 toponuni 19554 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
74, 6sseqtrd 3535 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  x  C_ 
U. J )
8 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
98cnclsi 19899 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  x  C_  U. J )  ->  ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )
109expcom 435 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. J  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  ~P X )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
1211ralrimdva 2875 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) )
132, 12jcad 533 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) ) ) )
14 cnvimass 5367 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 fdm 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  X )
1714, 16syl5sseq 3547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  X )
18 toponmax 19555 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  e.  J )
20 elpw2g 4619 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( `' F "
y )  e.  ~P X 
<->  ( `' F "
y )  C_  X
) )
2217, 21mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y )  e.  ~P X )
23 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  J
) `  x )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )
2423imaeq2d 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  x
) )  =  ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) )
25 imaeq2 5343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) ) )
2625fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) )
2724, 26sseq12d 3528 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( `' F " y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  <->  ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2827rspcv 3206 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " y )  e.  ~P X  -> 
( A. x  e. 
~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
2922, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30 topontop 19553 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
3130ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  K  e.  Top )
32 elpwi 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P Y  -> 
y  C_  Y )
3332adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_  Y )
34 toponuni 19554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
3534ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Y  =  U. K )
3633, 35sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  y  C_ 
U. K )
37 ffun 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  Fun  F )
39 funimacnv 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  =  ( y  i^i  ran  F ) )
41 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  ran  F )  C_  y
4240, 41syl6eqss 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )
43 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
4443clsss 19681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K  /\  ( F " ( `' F " y ) )  C_  y )  ->  ( ( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
4531, 36, 42, 44syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  K
) `  ( F " ( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
) )
46 sstr2 3506 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( ( ( cls `  K ) `
 ( F "
( `' F "
y ) ) ) 
C_  ( ( cls `  K ) `  y
)  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y ) ) )
4745, 46syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) ) )  C_  (
( cls `  K
) `  y )
) )
48 topontop 19553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
4948ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  J  e.  Top )
505ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  X  =  U. J )
5116, 50eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  dom  F  =  U. J )
5214, 51syl5sseq 3547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( `' F " y ) 
C_  U. J )
538clsss3 19686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5449, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  U. J )
5554, 51sseqtr4d 3536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )
56 funimass3 6004 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5738, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  y )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
5847, 57sylibd 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  (
( F " (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) )  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " ( `' F " y ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) )
5929, 58syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  ~P Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `  y
) ) ) )
6059ralrimdva 2875 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ~P  X ( F "
( ( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) )  ->  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) )
6160imdistanda 693 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y
( ( cls `  J
) `  ( `' F " y ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  K
) `  y )
) ) ) )
62 cncls2 19900 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ~P  Y ( ( cls `  J ) `
 ( `' F " y ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  K ) `
 y ) ) ) ) )
6361, 62sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  ~P  X
( F " (
( cls `  J
) `  x )
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( F " x ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) ) )
6413, 63impbid 191 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  ~P  X ( F
" ( ( cls `  J ) `  x
) )  C_  (
( cls `  K
) `  ( F " x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Topctop 19520  TopOnctopon 19521   clsccl 19645    Cn ccn 19851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-top 19525  df-topon 19528  df-cld 19646  df-cls 19648  df-cn 19854
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