Theorem cncls 20367

Description: Continuity in terms of closure. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncls	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J   x, K   x, X   x, Y

Proof of Theorem cncls

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnf2 20342	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
2	1	3expia 1233	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> Y ) )
3		elpwi 3951	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
4	3	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ X )
5		toponuni 20019	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6	5	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> X = U. J )
7	4, 6	sseqtrd 3454	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> x C_ U. J )
8		eqid 2471	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
9	8	cnclsi 20365	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ x C_ U. J ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) )
10	9	expcom 442	. . . . 5 |- ( x C_ U. J -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
11	7, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. ~P X ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
12	11	ralrimdva 2812	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) )
13	2, 12	jcad 542	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )
14		cnvimass 5194	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " y ) C_ dom F
15		fdm 5745	. . . . . . . . . 10 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
16	15	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = X )
17	14, 16	syl5sseq 3466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ X )
18		toponmax 20020	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
19	18	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X e. J )
20		elpw2g 4564	. . . . . . . . 9 |- ( X e. J -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P X <-> ( `' F " y ) C_ X ) )
22	17, 21	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) e. ~P X )
23		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) = ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) )
24	23	imaeq2d 5174	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) = ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) )
25		imaeq2 5170	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
26	25	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) )
27	24, 26	sseq12d 3447	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) <-> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
28	27	rspcv 3132	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " y ) e. ~P X -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
29	22, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
30		topontop 20018	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
31	30	ad3antlr 745	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> K e. Top )
32		elpwi 3951	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
33	32	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ Y )
34		toponuni 20019	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
35	34	ad3antlr 745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Y = U. K )
36	33, 35	sseqtrd 3454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> y C_ U. K )
37		ffun 5742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
38	37	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> Fun F )
39		funimacnv 5665	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = ( y i^i ran F ) )
41		inss1 3643	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ran F ) C_ y
42	40, 41	syl6eqss 3468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( F " ( `' F " y ) ) C_ y )
43		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
44	43	clsss 20146	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K /\ ( F " ( `' F " y ) ) C_ y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
45	31, 36, 42, 44	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) )
46		sstr2 3425	. . . . . . . 8 |- ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
47	45, 46	syl5com 30	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) ) )
48		topontop 20018	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
49	48	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> J e. Top )
50	5	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> X = U. J )
51	16, 50	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> dom F = U. J )
52	14, 51	syl5sseq 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( `' F " y ) C_ U. J )
53	8	clsss3 20151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( `' F " y ) C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
54	49, 52, 53	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ U. J )
55	54, 51	sseqtr4d 3455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F )
56		funimass3 6013	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
57	38, 55, 56	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` y ) <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
58	47, 57	sylibd 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( ( F " ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " ( `' F " y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
59	29, 58	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ y e. ~P Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
60	59	ralrimdva 2812	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) -> A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) )
61	60	imdistanda 707	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
62		cncls2 20366	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ~P Y ( ( cls ` J ) ` ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` K ) ` y ) ) ) ) )
63	61, 62	sylibrd 242	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) ) )
64	13, 63	impbid 195	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. ~P X ( F " ( ( cls ` J ) ` x ) ) C_ ( ( cls ` K ) ` ( F " x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   clsccl 20110   Cn ccn 20317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320

This theorem is referenced by: (None)