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Theorem cncfval 20591
Description: The value of the continuous complex function operation is the set of continuous functions from  A to  B. (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cncfval  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
Distinct variable groups:    w, f, x, y, z, A    B, f, w, x, y, z

Proof of Theorem cncfval
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9469 . . 3  |-  CC  e.  _V
21elpw2 4559 . 2  |-  ( A  e.  ~P CC  <->  A  C_  CC )
31elpw2 4559 . 2  |-  ( B  e.  ~P CC  <->  B  C_  CC )
4 oveq2 6203 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
b  ^m  a )  =  ( b  ^m  A ) )
5 raleq 3017 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( A. w  e.  a 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65rexbidv 2857 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
)  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
76ralbidv 2843 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
87raleqbi1dv 3025 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
94, 8rabeqbidv 3067 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  { f  e.  ( b  ^m  a )  |  A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  =  { f  e.  ( b  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
10 oveq1 6202 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  A )  =  ( B  ^m  A ) )
11 rabeq 3066 . . . 4  |-  ( ( b  ^m  A )  =  ( B  ^m  A )  ->  { f  e.  ( b  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  { f  e.  ( b  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
13 df-cncf 20581 . . 3  |-  -cn->  =  ( a  e.  ~P CC ,  b  e.  ~P CC  |->  { f  e.  ( b  ^m  a
)  |  A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
14 ovex 6220 . . . 4  |-  ( B  ^m  A )  e. 
_V
1514rabex 4546 . . 3  |-  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) }  e.  _V
169, 12, 13, 15ovmpt2 6331 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P CC  /\  B  e.  ~P CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
172, 3, 16syl2anbr 480 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800    C_ wss 3431   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   CCcc 9386    < clt 9524    - cmin 9701   RR+crp 11097   abscabs 12836   -cn->ccncf 20579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-cnex 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-cncf 20581
This theorem is referenced by:  elcncf  20592
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