MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfss Structured version   Unicode version

Theorem cncfss 20475
Description: The set of continuous functions is expanded when the range is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfss  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( A -cn-> B ) 
C_  ( A -cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfss
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 20469 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( A -cn-> B )  ->  f : A
--> B )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f : A --> B )
3 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  C
)
4 fss 5567 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  B  C_  C )  -> 
f : A --> C )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f : A --> C )
6 cncffvrn 20474 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  CC  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( f  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
f : A --> C ) )
76adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( f  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
f : A --> C ) )
85, 7mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f  e.  ( A -cn-> C ) )
98ex 434 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( f  e.  ( A -cn-> B )  -> 
f  e.  ( A
-cn-> C ) ) )
109ssrdv 3362 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( A -cn-> B ) 
C_  ( A -cn-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   -->wf 5414  (class class class)co 6091   CCcc 9280   -cn->ccncf 20452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-2 10380  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-abs 12725  df-cncf 20454
This theorem is referenced by:  cncfmptid  20488  cncfmpt2ss  20491  evthicc2  20944  volivth  21087  iblabslem  21305  iblabs  21306  bddmulibl  21316  cnlimci  21364  rolle  21462  c1liplem1  21468  dvivth  21482  dvcnvrelem2  21490  itgsubst  21521  logcn  22092  logccv  22108  ftc1cnnclem  28465  ftc2nc  28476  areacirclem2  28485
  Copyright terms: Public domain W3C validator