MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfss Structured version   Unicode version

Theorem cncfss 21697
Description: The set of continuous functions is expanded when the range is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfss  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( A -cn-> B ) 
C_  ( A -cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfss
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 21691 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( A -cn-> B )  ->  f : A
--> B )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f : A --> B )
3 simpll 754 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  C
)
42, 3fssd 5725 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f : A --> C )
5 cncffvrn 21696 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  CC  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( f  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
f : A --> C ) )
65adantll 714 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( f  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
f : A --> C ) )
74, 6mpbird 234 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  /\  f  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  f  e.  ( A -cn-> C ) )
87ex 434 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( f  e.  ( A -cn-> B )  -> 
f  e.  ( A
-cn-> C ) ) )
98ssrdv 3450 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  CC )  -> 
( A -cn-> B ) 
C_  ( A -cn-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844    C_ wss 3416   -->wf 5567  (class class class)co 6280   CCcc 9522   -cn->ccncf 21674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-2 10637  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-abs 13220  df-cncf 21676
This theorem is referenced by:  cncfmptid  21710  cncfmpt2ss  21713  evthicc2  22166  volivth  22310  iblabslem  22528  iblabs  22529  bddmulibl  22539  cnlimci  22587  rolle  22685  c1liplem1  22691  dvivth  22705  dvcnvrelem2  22713  itgsubst  22744  logcn  23324  logccv  23340  ftc1cnnclem  31474  ftc2nc  31485  areacirclem2  31492  evthiccabs  36911  cncfcompt  37066  cncficcgt0  37072  cncfiooicc  37078  cncfiooiccre  37079  cncfcompt2  37083  itgsubsticclem  37155  fourierdlem72  37342  fourierdlem78  37348  fourierdlem83  37353  fourierdlem84  37354  fourierdlem85  37355  fourierdlem88  37358  fourierdlem95  37365  fourierdlem111  37381
  Copyright terms: Public domain W3C validator