Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfshift Structured version   Unicode version

Theorem cncfshift 37691
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
cncfshift.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
cncfshift.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
cncfshift.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
cncfshift.g  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfshift  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F    x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    F( y)    G( x, y)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables  a 
b  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
2 cncff 21923 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
43adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F : A --> CC )
5 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
6 cncfshift.b . . . . . . . 8  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
75, 6syl6eleq 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) } )
8 rabid 3002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  <->  ( x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) ) )
97, 8sylib 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) ) )
109simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) )
11 oveq1 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
12113ad2ant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1413sselda 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1615adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  T  e.  CC )
1714, 16pncand 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
1817adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
19183adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( ( y  +  T )  -  T
)  =  y )
2012, 19eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  y )
21 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
y  e.  A )
2220, 21eqeltrd 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  e.  A )
2322rexlimdv3a 2916 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  e.  A ) )
2410, 23mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  -  T )  e.  A )
254, 24ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )
26 cncfshift.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
2725, 26fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  G : B --> CC )
281adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( A -cn-> CC ) )
2913adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  C_  CC )
30 ssid 3483 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
31 elcncf 21919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn->
CC )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) ) )
3229, 30, 31sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F  e.  ( A -cn->
CC )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) ) )
3328, 32mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
3433simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
35 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
a  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  b ) )
3635fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( a  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) ) )
3736breq1d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z
) )
38 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
3938oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) )
4039fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( ( F `
 a )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) ) )
4140breq1d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
4237, 41imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4342rexralbidv 2944 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  a )  -  ( F `  b )
) )  <  w
)  <->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4443ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4544rspcva 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  -  T
)  e.  A  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
4624, 34, 45syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
4746adantrr 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
48 simprr 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  w  e.  RR+ )
49 rspa 2789 . . . . 5  |-  ( ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
)  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
5047, 48, 49syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
51 simpl1l 1056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  ph )
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ph )
53 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  x  e.  B )
5453ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  x  e.  B )
55 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  v  e.  B )
5626fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 ( x  -  T ) ) )
575, 25, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  x )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
58573adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( G `  x )  =  ( F `  ( x  -  T ) ) )
5926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  ( x  -  T
) ) ) )
60 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
x  -  T )  =  ( v  -  T ) )
6160fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
v  -  T ) ) )
6261adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  B )  /\  x  =  v )  -> 
( F `  (
x  -  T ) )  =  ( F `
 ( v  -  T ) ) )
63 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  B )
643adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  F : A --> CC )
65 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  B  <->  v  e.  B ) )
6665anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  <->  ( ph  /\  v  e.  B ) ) )
6760eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  -  T
)  e.  A  <->  ( v  -  T )  e.  A
) )
6866, 67imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  ( x  -  T
)  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  B )  ->  ( v  -  T
)  e.  A ) ) )
6968, 24chvarv 2072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
7064, 69ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  ( F `  ( v  -  T ) )  e.  CC )
7159, 62, 63, 70fvmptd 5970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  ( G `  v )  =  ( F `  ( v  -  T
) ) )
72713adant2 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( G `  v )  =  ( F `  ( v  -  T ) ) )
7358, 72oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( G `  x )  -  ( G `  v ) )  =  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )
7473fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
7552, 54, 55, 74syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
7652, 54, 55jca31 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B ) )
77 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )
789simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  CC )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  CC )
80 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  C_  CC
816, 80eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  C_  CC
8281sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  B  ->  v  e.  CC )
8382adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  CC )
8415ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  T  e.  CC )
8579, 83, 84nnncan2d 10028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) )  =  ( x  -  v ) )
8685fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
8786adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  v ) ) )
88 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)
8987, 88eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
)
9076, 77, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z )
9152, 55, 69syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
92 simpll3 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
93 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( x  -  T
)  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )
9493fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) ) )
9594breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
) )
96 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( v  -  T
) ) )
9796oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )
9897fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
9998breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
10095, 99imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) ) )
101100rspcva 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  -  T
)  e.  A  /\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
10291, 92, 101syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
10390, 102mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w
)
10475, 103eqbrtrd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )  <  w
)
105104ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  (
( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
106105ralrimiva 2836 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
1071063exp 1204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( z  e.  RR+  ->  ( A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
108107reximdvai 2894 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
10950, 108mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
110109ralrimivva 2843 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
11181a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
112 elcncf 21919 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( B -cn->
CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
113111, 30, 112sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
114 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR+
115 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x B
116 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
a  -  v ) )  <  z
117 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
118 nfmpt1 4513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
11926, 118nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x G
120 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
121119, 120nffv 5888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( G `  a
)
122 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  -
123 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
v
124119, 123nffv 5888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( G `  v
)
125121, 122, 124nfov 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( G `  a )  -  ( G `  v )
)
126117, 125nffv 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )
127 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <
128 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x w
129126, 127, 128nfbr 4468 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w
130116, 129nfim 1980 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
131115, 130nfral 2808 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
132114, 131nfrex 2885 . . . . . . 7  |-  F/ x E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  a )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)
133114, 132nfral 2808 . . . . . 6  |-  F/ x A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
134 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ a A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)
135 oveq1 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  -  v )  =  ( x  -  v ) )
136135fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( a  -  v ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
137136breq1d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
) )
138 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  a )  =  ( G `  x ) )
139138oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) )  =  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )
140139fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 a )  -  ( G `  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v ) ) ) )
141140breq1d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
142137, 141imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
143142rexralbidv 2944 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  a )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)  <->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
144143ralbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
145133, 134, 144cbvral 3050 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
146145bicomi 205 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
147146anbi2i 698 . . 3  |-  ( ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )  <->  ( G : B
--> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
148113, 147syl6bbr 266 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
14927, 110, 148mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544    + caddc 9549    < clt 9682    - cmin 9867   RR+crp 11309   abscabs 13297   -cn->ccncf 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-ltxr 9687  df-sub 9869  df-cncf 21908
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  37710  itgiccshift  37797  fourierdlem92  38002
  Copyright terms: Public domain W3C validator