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Theorem cncfshift 37057
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
cncfshift.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
cncfshift.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
cncfshift.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
cncfshift.g  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfshift  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F    x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    F( y)    G( x, y)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables  a 
b  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
2 cncff 21691 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F : A --> CC )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
6 cncfshift.b . . . . . . . 8  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
75, 6syl6eleq 2502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) } )
8 rabid 2986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  <->  ( x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) ) )
97, 8sylib 198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) ) )
109simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) )
11 oveq1 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
12113ad2ant3 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1413sselda 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  T  e.  CC )
1714, 16pncand 9970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
1817adantlr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
19183adant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( ( y  +  T )  -  T
)  =  y )
2012, 19eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  y )
21 simp2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
y  e.  A )
2220, 21eqeltrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  e.  A )
2322rexlimdv3a 2900 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  e.  A ) )
2410, 23mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  -  T )  e.  A )
254, 24ffvelrnd 6012 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )
26 cncfshift.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
2725, 26fmptd 6035 . 2  |-  ( ph  ->  G : B --> CC )
281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( A -cn-> CC ) )
2913adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  C_  CC )
30 ssid 3463 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
31 elcncf 21687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn->
CC )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F  e.  ( A -cn->
CC )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) ) )
3328, 32mpbid 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
3433simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
35 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
a  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  b ) )
3635fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( a  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) ) )
3736breq1d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z
) )
38 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
3938oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) )
4039fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( ( F `
 a )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) ) )
4140breq1d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
4237, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4342rexralbidv 2928 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  a )  -  ( F `  b )
) )  <  w
)  <->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4443ralbidv 2845 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4544rspcva 3160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  -  T
)  e.  A  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
4624, 34, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
4746adantrr 717 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
48 simprr 760 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  w  e.  RR+ )
49 rspa 2773 . . . . 5  |-  ( ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
)  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
51 simpl1l 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  ph )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ph )
53 simp1rl 1064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  x  e.  B )
5453ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  x  e.  B )
55 simplr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  v  e.  B )
5626fvmpt2 5943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 ( x  -  T ) ) )
575, 25, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  x )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
58573adant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( G `  x )  =  ( F `  ( x  -  T ) ) )
5926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  ( x  -  T
) ) ) )
60 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
x  -  T )  =  ( v  -  T ) )
6160fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
v  -  T ) ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  B )  /\  x  =  v )  -> 
( F `  (
x  -  T ) )  =  ( F `
 ( v  -  T ) ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  B )
643adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  F : A --> CC )
65 eleq1 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  B  <->  v  e.  B ) )
6665anbi2d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  <->  ( ph  /\  v  e.  B ) ) )
6760eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  -  T
)  e.  A  <->  ( v  -  T )  e.  A
) )
6866, 67imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  ( x  -  T
)  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  B )  ->  ( v  -  T
)  e.  A ) ) )
6968, 24chvarv 2043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
7064, 69ffvelrnd 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  ( F `  ( v  -  T ) )  e.  CC )
7159, 62, 63, 70fvmptd 5940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  ( G `  v )  =  ( F `  ( v  -  T
) ) )
72713adant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( G `  v )  =  ( F `  ( v  -  T ) ) )
7358, 72oveq12d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( G `  x )  -  ( G `  v ) )  =  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )
7473fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
7552, 54, 55, 74syl3anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
7652, 54, 55jca31 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )
789simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  CC )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  CC )
80 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  C_  CC
816, 80eqsstri 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  C_  CC
8281sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  B  ->  v  e.  CC )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  CC )
8415ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  T  e.  CC )
8579, 83, 84nnncan2d 10004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) )  =  ( x  -  v ) )
8685fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  v ) ) )
88 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)
8987, 88eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
)
9076, 77, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z )
9152, 55, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
92 simpll3 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
93 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( x  -  T
)  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )
9493fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) ) )
9594breq1d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
) )
96 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( v  -  T
) ) )
9796oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )
9897fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
9998breq1d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
10095, 99imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) ) )
101100rspcva 3160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  -  T
)  e.  A  /\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
10291, 92, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
10390, 102mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w
)
10475, 103eqbrtrd 4417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )  <  w
)
105104ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  (
( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
106105ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
1071063exp 1198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( z  e.  RR+  ->  ( A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
108107reximdvai 2878 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
10950, 108mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
110109ralrimivva 2827 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
11181a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
112 elcncf 21687 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( B -cn->
CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
113111, 30, 112sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
114 nfcv 2566 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR+
115 nfcv 2566 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x B
116 nfv 1730 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
a  -  v ) )  <  z
117 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
118 nfmpt1 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
11926, 118nfcxfr 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x G
120 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
121119, 120nffv 5858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( G `  a
)
122 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  -
123 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
v
124119, 123nffv 5858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( G `  v
)
125121, 122, 124nfov 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( G `  a )  -  ( G `  v )
)
126117, 125nffv 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )
127 nfcv 2566 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <
128 nfcv 2566 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x w
129126, 127, 128nfbr 4441 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w
130116, 129nfim 1950 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
131115, 130nfral 2792 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
132114, 131nfrex 2869 . . . . . . 7  |-  F/ x E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  a )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)
133114, 132nfral 2792 . . . . . 6  |-  F/ x A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
134 nfv 1730 . . . . . 6  |-  F/ a A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)
135 oveq1 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  -  v )  =  ( x  -  v ) )
136135fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( a  -  v ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
137136breq1d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
) )
138 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  a )  =  ( G `  x ) )
139138oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) )  =  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )
140139fveq2d 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 a )  -  ( G `  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v ) ) ) )
141140breq1d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
142137, 141imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
143142rexralbidv 2928 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  a )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)  <->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
144143ralbidv 2845 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
145133, 134, 144cbvral 3032 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
146145bicomi 204 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
147146anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )  <->  ( G : B
--> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
148113, 147syl6bbr 265 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
14927, 110, 148mpbir2and 925 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3416   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522    + caddc 9527    < clt 9660    - cmin 9843   RR+crp 11267   abscabs 13218   -cn->ccncf 21674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-sub 9845  df-cncf 21676
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  37076  itgiccshift  37160  fourierdlem92  37362
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