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Theorem cncfshift 31535
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshift.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
cncfshift.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
cncfshift.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
cncfshift.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
cncfshift.g  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfshift  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F    x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    F( y)    G( x, y)

Proof of Theorem cncfshift
Dummy variables  a 
b  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfshift.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
2 cncff 21265 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F : A --> CC )
5 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
6 cncfshift.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
75, 6syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) } )
8 rabid 3043 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  <->  ( x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) ) )
109simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) )
11 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
12113ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
13 cncfshift.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1413sselda 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
15 cncfshift.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  T  e.  CC )
1714, 16pncand 9943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
19183adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( ( y  +  T )  -  T
)  =  y )
2012, 19eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  y )
21 simp2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
y  e.  A )
2220, 21eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  e.  A )
23223exp 1195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  ( y  +  T )  ->  ( x  -  T )  e.  A
) ) )
2423rexlimdv 2957 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  e.  A ) )
2510, 24mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  -  T )  e.  A )
264, 25ffvelrnd 6033 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )
27 cncfshift.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
2826, 27fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> CC )
291adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( A -cn-> CC ) )
3013adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  C_  CC )
31 ssid 3528 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  CC  C_  CC )
33 elcncf 21261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn->
CC )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F  e.  ( A -cn->
CC )  <->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) ) )
3529, 34mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
3635simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
37 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
a  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  b ) )
3837fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( a  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) ) )
3938breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z
) )
40 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
4140oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) )
4241fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( ( F `
 a )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) ) )
4342breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
4439, 43imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4544ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <->  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4645rexbidv 2978 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  a )  -  ( F `  b )
) )  <  w
)  <->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4746ralbidv 2906 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
4847rspcva 3217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  T
)  e.  A  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  a
)  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
4925, 36, 48syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
5049adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
51 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  w  e.  RR+ )
52 rsp 2833 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  ( w  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) ) )
5352imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
)  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )
5450, 51, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
55 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ z ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )
56 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  ph )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ph )
58 simp1rl 1061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  x  e.  B )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  B )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  x  e.  B )
61 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  v  e.  B )
6227fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 ( x  -  T ) ) )
635, 26, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  x )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
64633adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( G `  x )  =  ( F `  ( x  -  T ) ) )
6527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  G  =  ( x  e.  B  |->  ( F `  ( x  -  T
) ) ) )
66 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
x  -  T )  =  ( v  -  T ) )
6766fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
v  -  T ) ) )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  B )  /\  x  =  v )  -> 
( F `  (
x  -  T ) )  =  ( F `
 ( v  -  T ) ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  B )
703adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  F : A --> CC )
71 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( ph  /\  v  e.  B )  ->  ( v  -  T
)  e.  A )
72 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  B  <->  v  e.  B ) )
7372anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  <->  ( ph  /\  v  e.  B ) ) )
7466eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  -  T
)  e.  A  <->  ( v  -  T )  e.  A
) )
7573, 74imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  ( x  -  T
)  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  B )  ->  ( v  -  T
)  e.  A ) ) )
7671, 75, 25chvar 1982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
7770, 76ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  ( F `  ( v  -  T ) )  e.  CC )
7865, 68, 69, 77fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  ( G `  v )  =  ( F `  ( v  -  T
) ) )
79783adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( G `  v )  =  ( F `  ( v  -  T ) ) )
8064, 79oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( G `  x )  -  ( G `  v ) )  =  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )
8180fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
8257, 60, 61, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
8357, 60, 61jca31 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B ) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )
859simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  CC )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  CC )
8715adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  T  e.  CC )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  T  e.  CC )
89 ssrab2 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  C_  CC
906, 89eqsstri 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  C_  CC
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  B  ->  v  e.  B )
9290, 91sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  B  ->  v  e.  CC )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  CC )
9486, 88, 93, 88sub4d 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) )  =  ( ( x  -  v )  -  ( T  -  T
) ) )
9515subidd 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  =  0 )
9695oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( x  -  v )  -  ( T  -  T )
)  =  ( ( x  -  v )  -  0 ) )
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  v
)  -  ( T  -  T ) )  =  ( ( x  -  v )  - 
0 ) )
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  B )
9990, 98sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  CC )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  CC )
10192adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  CC )
102100, 101subcld 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  ( x  -  v
)  e.  CC )
103102adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
x  -  v )  e.  CC )
104103subid1d 9931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  v
)  -  0 )  =  ( x  -  v ) )
10594, 97, 1043eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) )  =  ( x  -  v ) )
106105fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  v ) ) )
108 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)
109107, 108eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
)
11083, 84, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z )
11157, 61, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
112 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  b )
) )  <  w
) )
113 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( x  -  T
)  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )
114113fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) ) )
115114breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
) )
116 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  abs  =  abs )
117 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( v  -  T
) ) )
118117oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )
119116, 118fveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T
) ) ) ) )
120119breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
121115, 120imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) ) )
122121rspcva 3217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  -  T
)  e.  A  /\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  ( x  -  T
) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
123111, 112, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 ( v  -  T ) ) ) )  <  w ) )
124110, 123mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( x  -  T ) )  -  ( F `  ( v  -  T ) ) ) )  <  w
)
12582, 124eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  /\  ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )  <  w
)
126125ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B )  ->  (
( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
127126ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w ) )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
1281273exp 1195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( z  e.  RR+  ->  ( A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
12955, 128reximdai 2936 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  (
x  -  T ) )  -  ( F `
 b ) ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
13054, 129mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
131130ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
13228, 131jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
13390a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
13431a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
135 elcncf 21261 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( B -cn->
CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
136133, 134, 135syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
137 biid 236 . . . 4  |-  ( G : B --> CC  <->  G : B
--> CC )
138 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR+
139 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x B
140 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
a  -  v ) )  <  z
141 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
142 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
14327, 142nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x G
144 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
a
145143, 144nffv 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( G `  a
)
146 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  -
147 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
v
148143, 147nffv 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( G `  v
)
149145, 146, 148nfov 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( G `  a )  -  ( G `  v )
)
150141, 149nffv 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )
151 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <
152 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x w
153150, 151, 152nfbr 4497 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w
154140, 153nfim 1867 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
155139, 154nfral 2853 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
156138, 155nfrex 2930 . . . . . . 7  |-  F/ x E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  a )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)
157138, 156nfral 2853 . . . . . 6  |-  F/ x A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )
158 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ a A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)
159 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
a  -  v )  =  ( x  -  v ) )
160159fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( a  -  v ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
161160breq1d 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
) )
162 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  x  ->  ( G `  a )  =  ( G `  x ) )
163162oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  x  ->  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) )  =  ( ( G `
 x )  -  ( G `  v ) ) )
164163fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 a )  -  ( G `  v ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v ) ) ) )
165164breq1d 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  ( G `  v )
) )  <  w
) )
166161, 165imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
167166ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
168167rexbidv 2978 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  a )  -  ( G `  v )
) )  <  w
)  <->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
169168ralbidv 2906 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
170157, 158, 169cbvral 3089 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
171170bicomi 202 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w )  <->  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( a  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )
172137, 171anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) )  <->  ( G : B
--> CC  /\  A. a  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
a  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  a
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) )
173136, 172syl6bbr 263 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( G : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  ( G `
 v ) ) )  <  w ) ) ) )
174132, 173mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504    + caddc 9507    < clt 9640    - cmin 9817   RR+crp 11232   abscabs 13047   -cn->ccncf 21248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-cncf 21250
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  31554  itgiccshift  31621  fourierdlem92  31822
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