Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfres Structured version   Unicode version

Theorem cncfres 28510
Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfres.1  |-  A  C_  CC
cncfres.2  |-  B  C_  CC
cncfres.3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
cncfres.4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
cncfres.5  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
cncfres.6  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
cncfres.7  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
cncfres.8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfres  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, K
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfres
StepHypRef Expression
1 cncfres.4 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 cncfres.5 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
31, 2fmpti 5856 . . 3  |-  G : A
--> B
4 cncfres.2 . . . 4  |-  B  C_  CC
5 cncfres.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
6 resmpt 5146 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )
81, 7eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  G  =  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )
9 cncfres.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
10 cncfres.6 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
119, 10eqeltrri 2506 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC )
12 rescncf 20317 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
135, 11, 12mp2 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC )
148, 13eqeltri 2505 . . . 4  |-  G  e.  ( A -cn-> CC )
15 cncffvrn 20318 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  G  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
G : A --> B ) )
164, 14, 15mp2an 667 . . 3  |-  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <->  G : A --> B )
173, 16mpbir 209 . 2  |-  G  e.  ( A -cn-> B )
18 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
19 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
20 cncfres.7 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
21 cncfres.8 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
2218, 19, 20, 21cncfmet 20328 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
235, 4, 22mp2an 667 . 2  |-  ( A
-cn-> B )  =  ( J  Cn  K )
2417, 23eleqtri 2507 1  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1757    C_ wss 3318    e. cmpt 4340    X. cxp 4827    |` cres 4831    o. ccom 4833   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270    - cmin 9585   abscabs 12709   MetOpencmopn 17652    Cn ccn 18672   -cn->ccncf 20296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-map 7206  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-sup 7681  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-seq 11793  df-exp 11852  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-topgen 14367  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-cncf 20298
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator