Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfres Structured version   Unicode version

Theorem cncfres 28690
Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfres.1  |-  A  C_  CC
cncfres.2  |-  B  C_  CC
cncfres.3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
cncfres.4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
cncfres.5  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
cncfres.6  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
cncfres.7  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
cncfres.8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfres  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, K
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfres
StepHypRef Expression
1 cncfres.4 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 cncfres.5 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
31, 2fmpti 5887 . . 3  |-  G : A
--> B
4 cncfres.2 . . . 4  |-  B  C_  CC
5 cncfres.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
6 resmpt 5177 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )
81, 7eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  G  =  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )
9 cncfres.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
10 cncfres.6 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
119, 10eqeltrri 2514 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC )
12 rescncf 20495 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
135, 11, 12mp2 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC )
148, 13eqeltri 2513 . . . 4  |-  G  e.  ( A -cn-> CC )
15 cncffvrn 20496 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  G  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
G : A --> B ) )
164, 14, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <->  G : A --> B )
173, 16mpbir 209 . 2  |-  G  e.  ( A -cn-> B )
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
20 cncfres.7 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
21 cncfres.8 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
2218, 19, 20, 21cncfmet 20506 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
235, 4, 22mp2an 672 . 2  |-  ( A
-cn-> B )  =  ( J  Cn  K )
2417, 23eleqtri 2515 1  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3349    e. cmpt 4371    X. cxp 4859    |` cres 4863    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301    - cmin 9616   abscabs 12744   MetOpencmopn 17828    Cn ccn 18850   -cn->ccncf 20474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-cncf 20476
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator