Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfres Structured version   Unicode version

Theorem cncfres 29892
Description: A continuous function on complex numbers restricted to a subset. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfres.1  |-  A  C_  CC
cncfres.2  |-  B  C_  CC
cncfres.3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
cncfres.4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
cncfres.5  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
cncfres.6  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
cncfres.7  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
cncfres.8  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
cncfres  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, K
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfres
StepHypRef Expression
1 cncfres.4 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 cncfres.5 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  C  e.  B )
31, 2fmpti 6044 . . 3  |-  G : A
--> B
4 cncfres.2 . . . 4  |-  B  C_  CC
5 cncfres.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  CC
6 resmpt 5323 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )
81, 7eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  G  =  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )
9 cncfres.3 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  C )
10 cncfres.6 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( CC -cn-> CC )
119, 10eqeltrri 2552 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC -cn-> CC )
12 rescncf 21164 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  C )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
135, 11, 12mp2 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  |->  C )  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC )
148, 13eqeltri 2551 . . . 4  |-  G  e.  ( A -cn-> CC )
15 cncffvrn 21165 . . . 4  |-  ( ( B  C_  CC  /\  G  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
G : A --> B ) )
164, 14, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( G  e.  ( A -cn-> B )  <->  G : A --> B )
173, 16mpbir 209 . 2  |-  G  e.  ( A -cn-> B )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
20 cncfres.7 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) )
21 cncfres.8 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) )
2218, 19, 20, 21cncfmet 21175 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
235, 4, 22mp2an 672 . 2  |-  ( A
-cn-> B )  =  ( J  Cn  K )
2417, 23eleqtri 2553 1  |-  G  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490    - cmin 9805   abscabs 13030   MetOpencmopn 18207    Cn ccn 19519   -cn->ccncf 21143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cncf 21145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator