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Theorem cncfperiod 37696
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfperiod.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
cncfperiod.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
cncfperiod.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
cncfperiod.f  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
cncfperiod.cssdmf  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
cncfperiod.fper  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
cncfperiod.fcn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
cncfperiod  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem cncfperiod
Dummy variables  a 
b  w  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfperiod.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
2 cncfperiod.cssdmf . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
31, 2fssresd 5767 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
4 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
5 cncfperiod.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
64, 5syl6eleq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) } )
7 rabid 3002 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  <->  ( x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) ) )
86, 7sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) ) )
98simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) )
10 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
11103ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  ( ( y  +  T )  -  T ) )
12 cncfperiod.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1312sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  CC )
14 cncfperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1514recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  T  e.  CC )
1713, 16pncand 9994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
1817adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
( y  +  T
)  -  T )  =  y )
19183adant3 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( ( y  +  T )  -  T
)  =  y )
2011, 19eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  =  y )
21 simp2 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
y  e.  A )
2220, 21eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  A  /\  x  =  ( y  +  T ) )  -> 
( x  -  T
)  e.  A )
2322rexlimdv3a 2916 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  ->  (
x  -  T )  e.  A ) )
249, 23mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  -  T )  e.  A )
25 cncfperiod.fcn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) )
2625adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC ) )
2712adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  C_  CC )
28 ssid 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  CC  C_  CC )
30 elcncf 21919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) ) ) )
3226, 31mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  |`  A ) : A --> CC  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) ) )
3332simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
34 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
a  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  b ) )
3534fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( a  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) ) )
3635breq1d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z
) )
37 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( F  |`  A ) `
 a )  =  ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) ) )
3837oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )
3938fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  a )  -  (
( F  |`  A ) `
 b ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) ) )
4039breq1d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
4136, 40imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
a  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  <->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) ) )
4241rexralbidv 2944 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  <->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) ) )
4342ralbidv 2861 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( x  -  T )  ->  ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  <->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) ) )
4443rspcva 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  -  T
)  e.  A  /\  A. a  e.  A  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( a  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  a
)  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
4524, 33, 44syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
4645adantrr 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
47 simprr 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  w  e.  RR+ )
48 rspa 2789 . . . . 5  |-  ( ( A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
4946, 47, 48syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
50 simpl1l 1056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  ->  ph )
5150adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ph )
52 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  ->  x  e.  B
)
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  ->  x  e.  B )
5453adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  x  e.  B )
55 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  v  e.  B )
56 fvres 5895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
58 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  C_  CC
595, 58eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  C_  CC
6059sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  CC )
6160adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  CC )
6215adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  T  e.  CC )
6361, 62npcand 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  -  T
)  +  T )  =  x )
6463eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( ( x  -  T )  +  T ) )
6564fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( x  -  T )  +  T
) ) )
66 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ph )
6766, 24jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( ph  /\  ( x  -  T )  e.  A
) )
68 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  (
y  e.  A  <->  ( x  -  T )  e.  A
) )
6968anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  <->  ( ph  /\  ( x  -  T
)  e.  A ) ) )
70 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  (
y  +  T )  =  ( ( x  -  T )  +  T ) )
7170fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  (
( x  -  T
)  +  T ) ) )
72 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
7371, 72eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  (
( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( ( x  -  T )  +  T
) )  =  ( F `  ( x  -  T ) ) ) )
7469, 73imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  -  T )  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( x  -  T
)  e.  A )  ->  ( F `  ( ( x  -  T )  +  T
) )  =  ( F `  ( x  -  T ) ) ) ) )
75 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7675anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
77 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  T )  =  ( y  +  T ) )
7877fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  (
y  +  T ) ) )
79 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
8078, 79eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  ( y  +  T
) )  =  ( F `  y ) ) )
8176, 80imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y ) ) ) )
82 cncfperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
8381, 82chvarv 2072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
8474, 83vtoclg 3139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  -  T )  e.  A  ->  (
( ph  /\  (
x  -  T )  e.  A )  -> 
( F `  (
( x  -  T
)  +  T ) )  =  ( F `
 ( x  -  T ) ) ) )
8524, 67, 84sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( (
x  -  T )  +  T ) )  =  ( F `  ( x  -  T
) ) )
86 fvres 5895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  -  T )  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
x  -  T ) ) )
8724, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  |`  A ) `
 ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
x  -  T ) ) )
8885, 87eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  ( (
x  -  T )  +  T ) )  =  ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) ) )
8957, 65, 883eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) ) )
90893adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( F  |`  B ) `  x )  =  ( ( F  |`  A ) `
 ( x  -  T ) ) )
91 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  B  <->  v  e.  B ) )
9291anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  (
( ph  /\  x  e.  B )  <->  ( ph  /\  v  e.  B ) ) )
93 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( ( F  |`  B ) `  v
) )
94 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
x  -  T )  =  ( v  -  T ) )
9594fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
( F  |`  A ) `
 ( x  -  T ) )  =  ( ( F  |`  A ) `  (
v  -  T ) ) )
9693, 95eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  ( x  -  T
) )  <->  ( ( F  |`  B ) `  v )  =  ( ( F  |`  A ) `
 ( v  -  T ) ) ) )
9792, 96imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  ( x  -  T
) ) )  <->  ( ( ph  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( F  |`  B ) `  v )  =  ( ( F  |`  A ) `
 ( v  -  T ) ) ) ) )
9897, 89chvarv 2072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 v )  =  ( ( F  |`  A ) `  (
v  -  T ) ) )
99983adant2 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( F  |`  B ) `  v )  =  ( ( F  |`  A ) `
 ( v  -  T ) ) )
10090, 99oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( (
( F  |`  B ) `
 x )  -  ( ( F  |`  B ) `  v
) )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )
101100fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  =  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) ) )
10251, 54, 55, 101syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  =  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) ) )
10351, 54, 55jca31 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( ( ph  /\  x  e.  B
)  /\  v  e.  B ) )
104 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)
1058simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  CC )
106105adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  CC )
10759sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  B  ->  v  e.  CC )
108107adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  CC )
10962adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  T  e.  CC )
110106, 108, 109nnncan2d 10028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) )  =  ( x  -  v ) )
111110fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  =  ( abs `  (
x  -  v ) ) )
112111adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  v ) ) )
113 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)
114112, 113eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
)
115103, 104, 114syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
)
11694eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  -  T
)  e.  A  <->  ( v  -  T )  e.  A
) )
11792, 116imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  ( x  -  T
)  e.  A )  <-> 
( ( ph  /\  v  e.  B )  ->  ( v  -  T
)  e.  A ) ) )
118117, 24chvarv 2072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  B )  ->  (
v  -  T )  e.  A )
11951, 55, 118syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( v  -  T )  e.  A
)
120 simpll3 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )
121 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( x  -  T
)  -  b )  =  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )
122121fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b ) )  =  ( abs `  (
( x  -  T
)  -  ( v  -  T ) ) ) )
123122breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z
) )
124 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( F  |`  A ) `
 b )  =  ( ( F  |`  A ) `  (
v  -  T ) ) )
125124oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )
126125fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  ( x  -  T
) )  -  (
( F  |`  A ) `
 b ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) ) )
127126breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )  <  w ) )
128123, 127imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( v  -  T )  ->  (
( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  <->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )  <  w ) ) )
129128rspcva 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  -  T
)  e.  A  /\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  (
v  -  T ) ) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )  <  w ) )
130119, 120, 129syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  ( v  -  T
) ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )  <  w ) )
131115, 130mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  ( v  -  T
) ) ) )  <  w )
132102, 131eqbrtrd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  /\  ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w )
133132ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  z  e.  RR+ 
/\  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  /\  v  e.  B
)  ->  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) )
134133ralrimiva 2836 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+  /\ 
A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w ) )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) )
1351343exp 1204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( z  e.  RR+  ->  ( A. b  e.  A  ( ( abs `  ( ( x  -  T )  -  b
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  ->  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) ) ) )
136135reximdvai 2894 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  -> 
( E. z  e.  RR+  A. b  e.  A  ( ( abs `  (
( x  -  T
)  -  b ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  (
x  -  T ) )  -  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) ) )
13749, 136mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) )
138137ralrimivva 2843 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) )
13959a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
14028a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
141 elcncf 21919 . . 3  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
x  -  v ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) ) ) )
142139, 140, 141syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC )  <->  ( ( F  |`  B ) : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( x  -  v
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  x
)  -  ( ( F  |`  B ) `  v ) ) )  <  w ) ) ) )
1433, 138, 142mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B )  e.  ( B -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   dom cdm 4853    |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545    + caddc 9549    < clt 9682    - cmin 9867   RR+crp 11309   abscabs 13297   -cn->ccncf 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-ltxr 9687  df-sub 9869  df-cncf 21908
This theorem is referenced by:  itgperiod  37798  fourierdlem81  37991
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