MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptid Structured version   Unicode version

Theorem cncfmptid 21501
Description: The identity function is a continuous function on  CC. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptid  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( x  e.  S  |->  x )  e.  ( S -cn-> T ) )
Distinct variable groups:    x, S    x, T

Proof of Theorem cncfmptid
StepHypRef Expression
1 cncfss 21488 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S -cn-> S ) 
C_  ( S -cn-> T ) )
2 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 21375 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4 sstr 3425 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
5 resttopon 19748 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
63, 4, 5sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
76cnmptid 20247 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( x  e.  S  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) )
8 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
92, 8, 8cncfcn 21498 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  S  C_  CC )  ->  ( S -cn-> S )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) ) )
104, 4, 9syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( S -cn-> S )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) )
117, 10eleqtrrd 2473 . 2  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( x  e.  S  |->  x )  e.  ( S -cn-> S ) )
121, 11sseldd 3418 1  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  C_  CC )  -> 
( x  e.  S  |->  x )  e.  ( S -cn-> T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    C_ wss 3389    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829  ℂfldccnfld 18533  TopOnctopon 19480    Cn ccn 19811   -cn->ccncf 21465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-xms 20908  df-ms 20909  df-cncf 21467
This theorem is referenced by:  addccncf  21505  negcncf  21507  dvcnp2  22408  mvth  22478  dvlipcn  22480  dvfsumle  22507  dvfsumabs  22509  dvfsumlem2  22513  taylthlem2  22854  loglesqrt  23219  pntlem3  23911  lgamgulmlem2  28761  areacirclem4  30276  idcncf  30422  areaquad  31352  idcncfg  31840  addccncf2  31844  itgsbtaddcnst  31947  dirkercncflem2  32052  fourierdlem16  32071  fourierdlem22  32077  fourierdlem93  32148  fourierdlem111  32166
  Copyright terms: Public domain W3C validator