MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptc Structured version   Unicode version

Theorem cncfmptc 21599
Description: A constant function is a continuous function on  CC. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptc  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, S    x, T

Proof of Theorem cncfmptc
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 21474 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  S  C_  CC )
4 resttopon 19847 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
52, 3, 4sylancr 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
6 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  T  C_  CC )
7 resttopon 19847 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  T  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  T )  e.  (TopOn `  T ) )
82, 6, 7sylancr 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  T )  e.  (TopOn `  T ) )
9 simp1 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  A  e.  T )
105, 8, 9cnmptc 20347 . 2  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  T ) ) )
11 eqid 2402 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
12 eqid 2402 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  T )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  T )
131, 11, 12cncfcn 21597 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  ( S -cn-> T )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  T ) ) )
14133adant1 1015 . 2  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  ( S -cn-> T )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  T ) ) )
1510, 14eleqtrrd 2493 1  |-  ( ( A  e.  T  /\  S  C_  CC  /\  T  C_  CC )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413    |-> cmpt 4452   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   ↾t crest 14927   TopOpenctopn 14928  ℂfldccnfld 18632  TopOnctopon 19579    Cn ccn 19910   -cn->ccncf 21564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fi 7825  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-fz 11644  df-seq 12062  df-exp 12121  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-rest 14929  df-topn 14930  df-topgen 14950  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-xms 21007  df-ms 21008  df-cncf 21566
This theorem is referenced by:  addccncf  21604  negcncf  21606  dvidlem  22503  dvcnp2  22507  dvmulbr  22526  cmvth  22576  dvlipcn  22579  lhop1lem  22598  dvfsumle  22606  dvfsumge  22607  dvfsumabs  22608  dvfsumlem2  22612  taylthlem2  22953  loglesqrt  23320  lgamgulmlem2  23577  pntlem3  24067  ftc1cnnclem  31442  ftc2nc  31453  areacirclem3  31461  areacirclem4  31462  areacirc  31464  constcncf  31518  sub1cncf  31520  sub2cncf  31521  itgpowd  35527  arearect  35528  areaquad  35529  constcncfg  37023  itgsbtaddcnst  37131  dirkeritg  37234
  Copyright terms: Public domain W3C validator