MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt2f Structured version   Unicode version

Theorem cncfmpt2f 21148
Description: Composition of continuous functions.  -cn-> analog of cnmpt12f 19897. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt2f.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfmpt2f.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
cncfmpt2f.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
cncfmpt2f.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
cncfmpt2f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cncfmpt2f
StepHypRef Expression
1 cncfmpt2f.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 21020 . . . 4  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 cncfmpt2f.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X -cn-> CC ) )
4 cncfrss 21125 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( X
-cn-> CC )  ->  X  C_  CC )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
6 resttopon 19423 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  X  C_  CC )  ->  ( Jt  X )  e.  (TopOn `  X ) )
72, 5, 6sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Jt  X )  e.  (TopOn `  X ) )
8 ssid 3518 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
9 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
102toponunii 19195 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. J
1110restid 14680 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
122, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( Jt  CC )  =  J
1312eqcomi 2475 . . . . . 6  |-  J  =  ( Jt  CC )
141, 9, 13cncfcn 21143 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( X -cn-> CC )  =  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
155, 8, 14sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X -cn-> CC )  =  ( ( Jt  X )  Cn  J ) )
163, 15eleqtrd 2552 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
17 cncfmpt2f.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( X -cn-> CC ) )
1817, 15eleqtrd 2552 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
19 cncfmpt2f.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
207, 16, 18, 19cnmpt12f 19897 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( ( Jt  X )  Cn  J
) )
2120, 15eleqtrrd 2553 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A F B ) )  e.  ( X -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   ↾t crest 14667   TopOpenctopn 14668  ℂfldccnfld 18186  TopOnctopon 19157    Cn ccn 19486    tX ctx 19791   -cn->ccncf 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-rest 14669  df-topn 14670  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-tx 19793  df-xms 20553  df-ms 20554  df-cncf 21112
This theorem is referenced by:  cncfmpt2ss  21149  addccncf  21150  negcncf  21152  mulcncf  21589  dvcnp2  22053  dvlipcn  22125  dvfsumabs  22154  ftc2  22175  itgparts  22178  itgsubstlem  22179  taylthlem2  22498  sincn  22568  coscn  22569  logcn  22751  loglesqr  22855  pntlem3  23517  lgamgulmlem2  28200  ftc1cnnclem  29654  ftc2nc  29665  areacirclem3  29675  areacirclem4  29676  areacirc  29678  sub1cncf  29849  sub2cncf  29850  areaquad  30780  subcncf  31164  addcncf  31168  addccncf2  31171
  Copyright terms: Public domain W3C validator