MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmet Unicode version

Theorem cncfmet 18891
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
cncfmet.2  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
cncfmet.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
cncfmet.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cncfmet  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables  w  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  A  C_  CC )
2 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  w  e.  A )
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )
54oveqi 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x C w )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )
6 ovres 6172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) ) w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
75, 6syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  ) w ) )
87ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( x ( abs  o.  -  )
w ) )
9 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
10 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  CC  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  CC )
11 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1211cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
139, 10, 12syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
148, 13eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  x  e.  A )  /\  ( A  C_  CC  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( x C w )  =  ( abs `  (
x  -  w ) ) )
1615breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
x C w )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z
) )
17 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
1817ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  B
)
19 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( f `  w
)  e.  B )
2019ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  B
)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )
2221oveqi 6053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) ) ( f `
 w ) )
23 ovres 6172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) ) ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs  o.  -  ) ( f `  w ) ) )
2422, 23syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( f `  w
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x ) D ( f `  w
) )  =  ( ( f `  x
) ( abs  o.  -  ) ( f `
 w ) ) )
2518, 20, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( ( f `  x ) ( abs 
o.  -  ) (
f `  w )
) )
26 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  B  C_  CC )
2726, 18sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  x )  e.  CC )
2826, 20sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( f `  w )  e.  CC )
2911cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( f `  w
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 x ) ( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x )
( abs  o.  -  )
( f `  w
) )  =  ( abs `  ( ( f `  x )  -  ( f `  w ) ) ) )
3125, 30eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  =  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) ) )
3231breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( f `  x )  -  (
f `  w )
) )  <  y
) )
3316, 32imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  (
x  e.  A  /\  w  e.  A )
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3433anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  /\  w  e.  A
)  ->  ( (
( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3534ralbidva 2682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3635rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
x C w )  <  z  ->  (
( f `  x
) D ( f `
 w ) )  <  y )  <->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3736ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3837ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  /\  f : A --> B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) )
3938pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( f `  x ) D ( f `  w ) )  <  y ) )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
40 cnxmet 18760 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
41 xmetres2 18344 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( * Met `  A ) )
4240, 41mpan 652 . . . . 5  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  ( * Met `  A
) )
434, 42syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  C  e.  ( * Met `  A
) )
44 xmetres2 18344 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B ) )  e.  ( * Met `  B ) )
4540, 44mpan 652 . . . . 5  |-  ( B 
C_  CC  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( B  X.  B
) )  e.  ( * Met `  B
) )
4621, 45syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( B 
C_  CC  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
47 cncfmet.3 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
48 cncfmet.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
4947, 48metcn 18526 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  A )  /\  D  e.  ( * Met `  B
) )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
5043, 46, 49syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( (
f `  x ) D ( f `  w ) )  < 
y ) ) ) )
51 elcncf 18872 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
5239, 50, 513bitr4rd 278 . 2  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
f  e.  ( A
-cn-> B )  <->  f  e.  ( J  Cn  K
) ) )
5352eqrdv 2402 1  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( A -cn-> B )  =  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    < clt 9076    - cmin 9247   RR+crp 10568   abscabs 11994   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646    Cn ccn 17242   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  cncfcn  18892  evthicc  19309  cncfres  26364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cncf 18861
  Copyright terms: Public domain W3C validator