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Theorem cncfiooicclem1 37868
 Description: A continuous function on an open interval can be extended to a continuous function on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit in and a finite left limit in . can be complex valued. This lemma assumes , the invoking theorem drops this assumption. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicclem1.x
cncfiooicclem1.g
cncfiooicclem1.a
cncfiooicclem1.b
cncfiooicclem1.altb
cncfiooicclem1.f
cncfiooicclem1.l lim
cncfiooicclem1.r lim
Assertion
Ref Expression
cncfiooicclem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem cncfiooicclem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfiooicclem1.x . . . 4
2 limccl 22909 . . . . . . 7 lim
3 cncfiooicclem1.r . . . . . . 7 lim
42, 3sseldi 3416 . . . . . 6
54ad2antrr 740 . . . . 5
6 limccl 22909 . . . . . . . 8 lim
7 cncfiooicclem1.l . . . . . . . 8 lim
86, 7sseldi 3416 . . . . . . 7
98ad3antrrr 744 . . . . . 6
10 simplll 776 . . . . . . 7
11 orel1 389 . . . . . . . . . . 11
1211con3dimp 448 . . . . . . . . . 10
13 vex 3034 . . . . . . . . . . 11
1413elpr 3977 . . . . . . . . . 10
1512, 14sylnibr 312 . . . . . . . . 9
1615adantll 728 . . . . . . . 8
17 simpllr 777 . . . . . . . . . 10
18 cncfiooicclem1.a . . . . . . . . . . . . 13
1918rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11
21 cncfiooicclem1.b . . . . . . . . . . . . 13
2221rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11
24 cncfiooicclem1.altb . . . . . . . . . . . . 13
2518, 21, 24ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12
2610, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11
27 prunioo 11787 . . . . . . . . . . 11
2820, 23, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
2917, 28eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9
30 elun 3565 . . . . . . . . 9
3129, 30sylib 201 . . . . . . . 8
32 orel2 390 . . . . . . . 8
3316, 31, 32sylc 61 . . . . . . 7
34 cncfiooicclem1.f . . . . . . . . 9
35 cncff 22003 . . . . . . . . 9
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8
3736ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
3810, 33, 37syl2anc 673 . . . . . 6
399, 38ifclda 3904 . . . . 5
405, 39ifclda 3904 . . . 4
41 cncfiooicclem1.g . . . 4
421, 40, 41fmptdf 6063 . . 3
43 elun 3565 . . . . . . 7
4419, 22, 25, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8
4544eleq2d 2534 . . . . . . 7
4643, 45syl5bbr 267 . . . . . 6
4746biimpar 493 . . . . 5
48 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . 13
49 fssres 5761 . . . . . . . . . . . . 13
5042, 48, 49sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
5150feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11
52 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5341, 52nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54nfres 5113 . . . . . . . . . . . . . 14
56 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13
58 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
59 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
6058, 59nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
6257, 60, 61cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . 12
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11
64 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
66 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
6748, 66sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
684adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
698ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7037adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70ifclda 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15
7268, 71ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . 14
7341fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
7467, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
75 elioo4g 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7675biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7776simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 xrltne 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8478, 80, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . 14
8881simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8979, 88ltned 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
9387, 92eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
9465, 74, 933eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12
951, 94mpteq2da 4481 . . . . . . . . . . 11
9651, 63, 953eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10
9736feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11
98 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . 13
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
100 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12
101 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
102 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
103101cnfldtop 21882 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
104 unicntop 37433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld
105104restid 15410 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fldt fld
106103, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fld
107106eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13 fld fldt
108101, 102, 107cncfcn 22019 . . . . . . . . . . . 12 fldt fld
10999, 100, 108sylancl 675 . . . . . . . . . . 11 fldt fld
11034, 97, 1093eltr3d 2563 . . . . . . . . . 10 fldt fld
11196, 110eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 fldt fld
112104restuni 20255 . . . . . . . . . . 11 fld fldt
113103, 98, 112mp2an 686 . . . . . . . . . 10 fldt
114113cncnpi 20371 . . . . . . . . 9 fldt fld fldt fld
115111, 114sylan 479 . . . . . . . 8 fldt fld
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 fld
11748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
118 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
120 restabs 20258 . . . . . . . . . . . 12 fld fldt t fldt
121116, 117, 119, 120syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 fldt t fldt
122121eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10 fldt fldt t
123122oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 fldt fld fldt t fld
124123fveq1d 5881 . . . . . . . 8 fldt fld fldt t fld
125115, 124eleqtrd 2551 . . . . . . 7 fldt t fld
126 resttop 20253 . . . . . . . . . 10 fld fldt
127103, 118, 126mp2an 686 . . . . . . . . 9 fldt
128127a1i 11 . . . . . . . 8 fldt
12948a1i 11 . . . . . . . . . 10
13018, 21iccssred 37698 . . . . . . . . . . . 12
131 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12
132130, 131syl6ss 3430 . . . . . . . . . . 11
133104restuni 20255 . . . . . . . . . . 11 fld fldt
134103, 132, 133sylancr 676 . . . . . . . . . 10 fldt
135129, 134sseqtrd 3454 . . . . . . . . 9 fldt
136135adantr 472 . . . . . . . 8 fldt
137 retop 21860 . . . . . . . . . . . . . 14
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
139 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15
141139, 140unssi 3600 . . . . . . . . . . . . . 14
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
143 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
145 uniretop 21861 . . . . . . . . . . . . . 14
146145ntrss 20147 . . . . . . . . . . . . 13
147138, 142, 144, 146syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
148 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
149 ioontr 37707 . . . . . . . . . . . . 13
150148, 149syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . 12
151147, 150sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
15248, 148sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
153151, 152elind 3609 . . . . . . . . . 10
154130adantr 472 . . . . . . . . . . 11
155 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 t t
156145, 155restntr 20275 . . . . . . . . . . 11 t
157138, 154, 117, 156syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 t
158153, 157eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9 t
159101tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
161160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 t fldt t
162103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
163 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
165 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fldt t fldt
166162, 130, 164, 165syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 fldt t fldt
167161, 166eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 t fldt
168167fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 t fldt
169168fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10 t fldt
170169adantr 472 . . . . . . . . 9 t fldt
171158, 170eleqtrd 2551 . . . . . . . 8 fldt
172134feq2d 5725 . . . . . . . . . 10 fldt
17342, 172mpbid 215 . . . . . . . . 9 fldt
174173adantr 472 . . . . . . . 8 fldt
175 eqid 2471 . . . . . . . . 9 fldt fldt
176175, 104cnprest 20382 . . . . . . . 8 fldt fldt fldt fldt fldt fld fldt t fld
177128, 136, 171, 174, 176syl22anc 1293 . . . . . . 7 fldt fld fldt t fld
178125, 177mpbird 240 . . . . . 6 fldt fld
179 elpri 3976 . . . . . . 7
180 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . 14
18119, 22, 25, 180syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
182 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . 14
183182, 41fvmptg 5961 . . . . . . . . . . . . 13 lim
184181, 3, 183syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
18597eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18696, 185eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
187186oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14 lim lim
1883, 187eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13 lim
18918, 21, 24, 42limciccioolb 37798 . . . . . . . . . . . . 13 lim lim
190188, 189eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12 lim
191184, 190eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11 lim
192 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
193101, 192cnplimc 22921 . . . . . . . . . . . 12 fldt fld lim
194132, 181, 193syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 fldt fld lim
19542, 191, 194mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10 fldt fld
196195adantr 472 . . . . . . . . 9 fldt fld
197 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11 fldt fld fldt fld
198197eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10 fldt fld fldt fld
199198adantl 473 . . . . . . . . 9 fldt fld fldt fld
200196, 199eleqtrd 2551 . . . . . . . 8 fldt fld
20121leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15
20218, 21, 21, 25, 201eliccd 37697 . . . . . . . . . . . . . 14
203 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204203iftruei 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
205204, 8syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2064, 205ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15
207202, 206jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
208 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16
209 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21053, 209nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211210nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212208, 211nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . 15
213 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214182adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
215 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
216 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
217216eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
218215, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
219214, 218eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
220 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
221220adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
222 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
223222adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
224 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
225 pm13.18 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
226224, 225sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
227226neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
228227iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
229228, 204syl6req 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
230221, 223, 2293eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
231219, 230pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
232231eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
233213, 232anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
234 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
235234, 231eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
236233, 235imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15
237212, 236, 73vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . . . . . 14
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