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Theorem cncfiooicclem1 37765
Description: A continuous function  F on an open interval  ( A (,) B ) can be extended to a continuous function  G on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit  R in  A and a finite left limit  L in  B.  F can be complex valued. This lemma assumes  A  <  B, the invoking theorem drops this assumption. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicclem1.x  |-  F/ x ph
cncfiooicclem1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
cncfiooicclem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cncfiooicclem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cncfiooicclem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
cncfiooicclem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
cncfiooicclem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
cncfiooicclem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
cncfiooicclem1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, L    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfiooicclem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfiooicclem1.x . . . 4  |-  F/ x ph
2 limccl 22823 . . . . . . 7  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
3 cncfiooicclem1.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
42, 3sseldi 3429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
54ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  x  =  A )  ->  R  e.  CC )
6 limccl 22823 . . . . . . . 8  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
7 cncfiooicclem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
86, 7sseldi 3429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
98ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
10 simplll 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
11 orel1 384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  =  A  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  x  =  B ) )
1211con3dimp 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B
) )
13 vex 3047 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1413elpr 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
1512, 14sylnibr 307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
1615adantll 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
17 simpllr 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
18 cncfiooicclem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  e.  RR* )
21 cncfiooicclem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
24 cncfiooicclem1.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2518, 21, 24ltled 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2610, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  <_  B )
27 prunioo 11758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2917, 28eleqtrrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )
30 elun 3573 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  \/  x  e. 
{ A ,  B } ) )
3129, 30sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B } ) )
32 orel2 385 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  { A ,  B }  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
3316, 31, 32sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
34 cncfiooicclem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
35 cncff 21918 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6020 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3810, 33, 37syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
399, 38ifclda 3912 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  x  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) )  e.  CC )
405, 39ifclda 3912 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
41 cncfiooicclem1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
421, 40, 41fmptdf 6046 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
43 elun 3573 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
4419, 22, 25, 27syl3anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
4544eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4643, 45syl5bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746biimpar 488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
48 ioossicc 11717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
49 fssres 5747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5042, 48, 49sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5150feqmptd 5916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B
) ) `  y
) ) )
52 nfmpt1 4491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
5341, 52nfcxfr 2589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x G
54 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( A (,) B
)
5553, 54nfres 5106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( G  |`  ( A (,) B ) )
56 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
5755, 56nffv 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y )
58 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( G  |`  ( A (,) B ) )
59 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
x
6058, 59nffv 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )
61 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 y )  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6257, 60, 61cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) ) )
64 fvres 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
6564adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
66 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6748, 66sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
684adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
698ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
7037adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
7169, 70ifclda 3912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  e.  CC )
7268, 71ifcld 3923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
7341fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
7467, 72, 73syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
75 elioo4g 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7675biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7776simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR ) )
7877simp1d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  e.  RR* )
79 elioore 11663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
8079rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR* )
81 eliooord 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
8281simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  x )
83 xrltne 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  A  < 
x )  ->  x  =/=  A )
8478, 80, 82, 83syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  A )
8584adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  =/=  A )
8685neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8786iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
8881simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  <  B )
8979, 88ltned 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  B )
9089neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  B )
9190iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
9291adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
9387, 92eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  ( F `  x ) )
9465, 74, 933eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
951, 94mpteq2da 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
9651, 63, 953eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  x ) ) )
9736feqmptd 5916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
98 ioosscn 37585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 ssid 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
101 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
102 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
103101cnfldtop 21797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
104 unicntop 37365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
105104restid 15325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
106103, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
107106eqcomi 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
108101, 102, 107cncfcn 21934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
10999, 100, 108sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
11034, 97, 1093eltr3d 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
11196, 110eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
112104restuni 20171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  CC )  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
113103, 98, 112mp2an 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
114113cncnpi 20287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  /\  y  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
115111, 114sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
11748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
118 ovex 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  e.  _V )
120 restabs 20174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  e. 
_V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
122121eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) ) )
123122oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) )
124123fveq1d 5865 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
125115, 124eleqtrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
126 resttop 20169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e. 
Top )
127103, 118, 126mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  Top
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A [,] B
) )  e.  Top )
12948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
13018, 21iccssred 37596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
131 ax-resscn 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
132130, 131syl6ss 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
133104restuni 20171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  CC )  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
134103, 132, 133sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
135129, 134sseqtrd 3467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
136135adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
137 retop 21775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top )
139 ioossre 11693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  RR
140 difss 3559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
\  ( A [,] B ) )  C_  RR
141139, 140unssi 3608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  C_  RR )
143 ssun1 3596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )
145 uniretop 21776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
146145ntrss 20063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
147138, 142, 144, 146syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
148 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
149 ioontr 37605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
150148, 149syl6eleqr 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )
151147, 150sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
15248, 148sseldi 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
153151, 152elind 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
154130adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
156145, 155restntr 20191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
157138, 154, 117, 156syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
158153, 157eleqtrrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
159101tgioo2 21814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
161160oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) ) )
162103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
163 reex 9627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
165 restabs 20174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
166162, 130, 164, 165syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) )
167161, 166eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
168167fveq2d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )  =  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) )
169168fveq1d 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
170169adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
171158, 170eleqtrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
172134feq2d 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  <->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC ) )
17342, 172mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
174173adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G : U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
175 eqid 2450 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
176175, 104cnprest 20298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  Top  /\  ( A (,) B )  C_  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  /\  G : U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) --> CC ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
177128, 136, 171, 174, 176syl22anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
178125, 177mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
179 elpri 3984 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
180 lbicc2 11745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
18119, 22, 25, 180syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
182 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
183182, 41fvmptg 5944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( A [,] B )  /\  R  e.  ( F lim CC  A ) )  -> 
( G `  A
)  =  R )
184181, 3, 183syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  =  R )
18597eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
18696, 185eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( G  |`  ( A (,) B
) ) )
187186oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
1883, 187eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
18918, 21, 24, 42limciccioolb 37695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A )  =  ( G lim CC  A ) )
190188, 189eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  ( G lim
CC  A ) )
191184, 190eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( G lim
CC  A ) )
192 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
193101, 192cnplimc 22835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  A  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
194132, 181, 193syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
19542, 191, 194mpbir2and 932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
196195adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
) )
197 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
198197eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199198adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
200196, 199eleqtrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
20121leidd 10177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
20218, 21, 21, 25, 201eliccd 37595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
203 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
204203iftruei 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) )  =  L
205204, 8syl5eqel 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  e.  CC )
2064, 205ifcld 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )
207202, 206jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC ) )
208 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )
209 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x B
21053, 209nffv 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( G `  B
)
211210nfeq1 2604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
212208, 211nfim 2002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
213 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  B  e.  ( A [,] B ) ) )
214182adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
215 eqtr2 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  B  =  A )
216 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  R )
217216eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  A  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
218215, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
219214, 218eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
220 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
221220adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
222 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  L )
223222adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  L )
224 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  x  =  A )
225 pm13.18 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =/=  A )  ->  B  =/=  A )
226224, 225sylan2br 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  B  =/=  A )
227226neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  B  =  A )
228227iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
229228, 204syl6req 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  L  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
230221, 223, 2293eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
231219, 230pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
232231eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC  <->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) )
233213, 232anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) ) )  e.  CC )  <->  ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) ) )
234 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( G `  x )  =  ( G `  B ) )
235234, 231eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  <-> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
236233, 235imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) ) )
237212, 236, 73vtoclg1f 3105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  (
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  B )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
238202, 207, 237sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
23918, 24gtned 9767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
240239neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
241240iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
242204a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  =  L )
243238, 241, 2423eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  L )
244186oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
2457, 244eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
24618, 21, 24, 42limcicciooub 37711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B )  =  ( G lim CC  B ) )
247245, 246eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ( G lim
CC  B ) )
248243, 247eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ( G lim
CC  B ) )
249101, 192cnplimc 22835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  B  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
250132, 202, 249syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
25142, 248, 250mpbir2and 932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
252251adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )
253 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
254253eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
255254adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
256252, 255eleqtrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
257200, 256jaodan 793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
258179, 257sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
259178, 258jaodan 793 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
26047, 259syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
261260ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
262101cnfldtopon 21796 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
263 resttopon 20170 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A [,] B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B
) ) )
264262, 132, 263sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
265 cncnp 20289 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
266264, 262, 265sylancl 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
26742, 261, 266mpbir2and 932 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
268101, 192, 107cncfcn 21934 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
269132, 100, 268sylancl 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
270267, 269eleqtrrd 2531 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   F/wnf 1666    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ifcif 3880   {cpr 3969   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   intcnt 20025    Cn ccn 20233    CnP ccnp 20234   -cn->ccncf 21901   lim CC climc 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-xms 21328  df-ms 21329  df-cncf 21903  df-limc 22814
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