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Theorem cncfiooicclem1 37597
Description: A continuous function  F on an open interval  ( A (,) B ) can be extended to a continuous function  G on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit  R in  A and a finite left limit  L in  B.  F can be complex valued. This lemma assumes  A  <  B, the invoking theorem drops this assumption. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicclem1.x  |-  F/ x ph
cncfiooicclem1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
cncfiooicclem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cncfiooicclem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cncfiooicclem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
cncfiooicclem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
cncfiooicclem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
cncfiooicclem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
cncfiooicclem1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, L    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfiooicclem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfiooicclem1.x . . . 4  |-  F/ x ph
2 limccl 22822 . . . . . . 7  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
3 cncfiooicclem1.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
42, 3sseldi 3463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
54ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  x  =  A )  ->  R  e.  CC )
6 limccl 22822 . . . . . . . 8  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
7 cncfiooicclem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
86, 7sseldi 3463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
98ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
10 simplll 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
11 orel1 384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  =  A  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  x  =  B ) )
1211con3dimp 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B
) )
13 vex 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1413elpr 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
1512, 14sylnibr 307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
1615adantll 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
17 simpllr 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
18 cncfiooicclem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  e.  RR* )
21 cncfiooicclem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
24 cncfiooicclem1.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2518, 21, 24ltled 9785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2610, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  <_  B )
27 prunioo 11763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2917, 28eleqtrrd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )
30 elun 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  \/  x  e. 
{ A ,  B } ) )
3129, 30sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B } ) )
32 orel2 385 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  { A ,  B }  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
3316, 31, 32sylc 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
34 cncfiooicclem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
35 cncff 21917 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3810, 33, 37syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
399, 38ifclda 3942 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  x  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) )  e.  CC )
405, 39ifclda 3942 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
41 cncfiooicclem1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
421, 40, 41fmptdf 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
43 elun 3607 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
4419, 22, 25, 27syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
4544eleq2d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4643, 45syl5bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746biimpar 488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
48 ioossicc 11722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
49 fssres 5764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5042, 48, 49sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5150feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B
) ) `  y
) ) )
52 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
5341, 52nfcxfr 2583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x G
54 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( A (,) B
)
5553, 54nfres 5124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( G  |`  ( A (,) B ) )
56 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
5755, 56nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y )
58 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( G  |`  ( A (,) B ) )
59 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
x
6058, 59nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 y )  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6257, 60, 61cbvmpt 4513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) ) )
64 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
6564adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
66 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6748, 66sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
684adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
698ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
7037adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
7169, 70ifclda 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  e.  CC )
7268, 71ifcld 3953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
7341fvmpt2 5971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
7467, 72, 73syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
75 elioo4g 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7675biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7776simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR ) )
7877simp1d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  e.  RR* )
79 elioore 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
8079rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR* )
81 eliooord 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
8281simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  x )
83 xrltne 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  A  < 
x )  ->  x  =/=  A )
8478, 80, 82, 83syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  A )
8584adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  =/=  A )
8685neneqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8786iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
8881simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  <  B )
8979, 88ltned 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  B )
9089neneqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  B )
9190iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
9291adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
9387, 92eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  ( F `  x ) )
9465, 74, 933eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
951, 94mpteq2da 4507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
9651, 63, 953eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  x ) ) )
9736feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
98 ioosscn 37428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 ssid 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
101 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
102 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
103101cnfldtop 21796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
104 unicntop 37238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
105104restid 15325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
106103, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
107106eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
108101, 102, 107cncfcn 21933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
10999, 100, 108sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
11034, 97, 1093eltr3d 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
11196, 110eqeltrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
112104restuni 20170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  CC )  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
113103, 98, 112mp2an 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
114113cncnpi 20286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  /\  y  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
115111, 114sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
11748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
118 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  e.  _V )
120 restabs 20173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  e. 
_V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
122121eqcomd 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) ) )
123122oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) )
124123fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
125115, 124eleqtrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
126 resttop 20168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e. 
Top )
127103, 118, 126mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  Top
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A [,] B
) )  e.  Top )
12948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
13018, 21iccssred 37439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
131 ax-resscn 9598 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
132130, 131syl6ss 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
133104restuni 20170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  CC )  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
134103, 132, 133sylancr 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
135129, 134sseqtrd 3501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
136135adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
137 retop 21774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top )
139 ioossre 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  RR
140 difss 3593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
\  ( A [,] B ) )  C_  RR
141139, 140unssi 3642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  C_  RR )
143 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )
145 uniretop 21775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
146145ntrss 20062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
147138, 142, 144, 146syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
148 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
149 ioontr 37448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
150148, 149syl6eleqr 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )
151147, 150sseldd 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
15248, 148sseldi 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
153151, 152elind 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
154130adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
156145, 155restntr 20190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
157138, 154, 117, 156syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
158153, 157eleqtrrd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
159101tgioo2 21813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
161160oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) ) )
162103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
163 reex 9632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
165 restabs 20173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
166162, 130, 164, 165syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) )
167161, 166eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
168167fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )  =  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) )
169168fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
170169adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
171158, 170eleqtrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
172134feq2d 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  <->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC ) )
17342, 172mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
174173adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G : U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
175 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
176175, 104cnprest 20297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  Top  /\  ( A (,) B )  C_  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  /\  G : U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) --> CC ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
177128, 136, 171, 174, 176syl22anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
178125, 177mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
179 elpri 4014 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
180 lbicc2 11750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
18119, 22, 25, 180syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
182 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
183182, 41fvmptg 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( A [,] B )  /\  R  e.  ( F lim CC  A ) )  -> 
( G `  A
)  =  R )
184181, 3, 183syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  =  R )
18597eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
18696, 185eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( G  |`  ( A (,) B
) ) )
187186oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
1883, 187eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
18918, 21, 24, 42limciccioolb 37527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A )  =  ( G lim CC  A ) )
190188, 189eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  ( G lim
CC  A ) )
191184, 190eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( G lim
CC  A ) )
192 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
193101, 192cnplimc 22834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  A  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
194132, 181, 193syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
19542, 191, 194mpbir2and 931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
196195adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
) )
197 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
198197eqcomd 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199198adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
200196, 199eleqtrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
20121leidd 10182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
20218, 21, 21, 25, 201eliccd 37438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
203 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
204203iftruei 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) )  =  L
205204, 8syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  e.  CC )
2064, 205ifcld 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )
207202, 206jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC ) )
208 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )
209 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x B
21053, 209nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( G `  B
)
211210nfeq1 2600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
212208, 211nfim 1977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
213 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  B  e.  ( A [,] B ) ) )
214182adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
215 eqtr2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  B  =  A )
216 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  R )
217216eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  A  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
218215, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
219214, 218eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
220 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
221220adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
222 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  L )
223222adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  L )
224 df-ne 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  x  =  A )
225 pm13.18 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =/=  A )  ->  B  =/=  A )
226224, 225sylan2br 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  B  =/=  A )
227226neneqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  B  =  A )
228227iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
229228, 204syl6req 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  L  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
230221, 223, 2293eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
231219, 230pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
232231eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC  <->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) )
233213, 232anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) ) )  e.  CC )  <->  ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) ) )
234 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( G `  x )  =  ( G `  B ) )
235234, 231eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  <-> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
236233, 235imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) ) )
237212, 236, 73vtoclg1f 3139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  (
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  B )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
238202, 207, 237sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
23918, 24gtned 9772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
240239neneqd 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
241240iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
242204a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  =  L )
243238, 241, 2423eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  L )
244186oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
2457, 244eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
24618, 21, 24, 42limcicciooub 37543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B )  =  ( G lim CC  B ) )
247245, 246eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ( G lim
CC  B ) )
248243, 247eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ( G lim
CC  B ) )
249101, 192cnplimc 22834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  B  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
250132, 202, 249syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
25142, 248, 250mpbir2and 931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
252251adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )
253 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
254253eqcomd 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
255254adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
256252, 255eleqtrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
257200, 256jaodan 793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
258179, 257sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
259178, 258jaodan 793 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
26047, 259syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
261260ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
262101cnfldtopon 21795 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
263 resttopon 20169 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A [,] B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B
) ) )
264262, 132, 263sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
265 cncnp 20288 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
266264, 262, 265sylancl 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
26742, 261, 266mpbir2and 931 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
268101, 192, 107cncfcn 21933 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
269132, 100, 268sylancl 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
270267, 269eleqtrrd 2514 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   F/wnf 1664    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ifcif 3910   {cpr 3999   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678   (,)cioo 11637   [,]cicc 11640   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   Topctop 19909  TopOnctopon 19910   intcnt 20024    Cn ccn 20232    CnP ccnp 20233   -cn->ccncf 21900   lim CC climc 22809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-xms 21327  df-ms 21328  df-cncf 21902  df-limc 22813
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