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Theorem cncfiooicclem1 37064
Description: A continuous function  F on an open interval  ( A (,) B ) can be extended to a continuous function  G on the corresponding close interval, if it has a finite right limit  R in  A and a finite left limit  L in  B.  F can be complex valued. This lemma assumes  A  <  B, the invoking theorem drops this assumption. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicclem1.x  |-  F/ x ph
cncfiooicclem1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
cncfiooicclem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cncfiooicclem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cncfiooicclem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
cncfiooicclem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
cncfiooicclem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
cncfiooicclem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
cncfiooicclem1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, L    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfiooicclem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfiooicclem1.x . . . 4  |-  F/ x ph
2 limccl 22571 . . . . . . 7  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
3 cncfiooicclem1.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
42, 3sseldi 3440 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
54ad2antrr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  x  =  A )  ->  R  e.  CC )
6 limccl 22571 . . . . . . . 8  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
7 cncfiooicclem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
86, 7sseldi 3440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
98ad3antrrr 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
10 simplll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
11 orel1 380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  =  A  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  x  =  B ) )
1211con3dimp 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B
) )
13 vex 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1413elpr 3990 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
1512, 14sylnibr 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
1615adantll 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
17 simpllr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
18 cncfiooicclem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  e.  RR* )
21 cncfiooicclem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
24 cncfiooicclem1.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2518, 21, 24ltled 9765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2610, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  <_  B )
27 prunioo 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2917, 28eleqtrrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )
30 elun 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  \/  x  e. 
{ A ,  B } ) )
3129, 30sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B } ) )
32 orel2 381 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  { A ,  B }  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
3316, 31, 32sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
34 cncfiooicclem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
35 cncff 21689 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3810, 33, 37syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
399, 38ifclda 3917 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  x  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) )  e.  CC )
405, 39ifclda 3917 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
41 cncfiooicclem1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
421, 40, 41fmptdf 6035 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
43 elun 3584 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
4419, 22, 25, 27syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
4544eleq2d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4643, 45syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746biimpar 483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
48 ioossicc 11664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
49 fssres 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5042, 48, 49sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5150feqmptd 5902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B
) ) `  y
) ) )
52 nfmpt1 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
5341, 52nfcxfr 2562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x G
54 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( A (,) B
)
5553, 54nfres 5096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( G  |`  ( A (,) B ) )
56 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
5755, 56nffv 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y )
58 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( G  |`  ( A (,) B ) )
59 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
x
6058, 59nffv 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )
61 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 y )  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6257, 60, 61cbvmpt 4486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) ) )
64 fvres 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
6564adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
66 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6748, 66sseldi 3440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
684adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
698ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
7037adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
7169, 70ifclda 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  e.  CC )
7268, 71ifcld 3928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
7341fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
7467, 72, 73syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
75 elioo4g 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7675biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7776simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR ) )
7877simp1d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  e.  RR* )
79 elioore 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
8079rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR* )
81 eliooord 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
8281simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  x )
83 xrltne 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  A  < 
x )  ->  x  =/=  A )
8478, 80, 82, 83syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  A )
8584adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  =/=  A )
8685neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8786iffalsed 3896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
8881simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  <  B )
8979, 88ltned 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  B )
9089neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  B )
9190iffalsed 3896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
9291adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
9387, 92eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  ( F `  x ) )
9465, 74, 933eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
951, 94mpteq2da 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
9651, 63, 953eqtrd 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  x ) ) )
9736feqmptd 5902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
98 ioosscn 36896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 ssid 3461 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
101 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
102 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
103101cnfldtop 21583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
104 unicntop 36807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
105104restid 15048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
106103, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
107106eqcomi 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
108101, 102, 107cncfcn 21705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
10999, 100, 108sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
11034, 97, 1093eltr3d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
11196, 110eqeltrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
112104restuni 19956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  CC )  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
113103, 98, 112mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
114113cncnpi 20072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  /\  y  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
115111, 114sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
11748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
118 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  e.  _V )
120 restabs 19959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  e. 
_V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
122121eqcomd 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) ) )
123122oveq1d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) )
124123fveq1d 5851 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
125115, 124eleqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
126 resttop 19954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e. 
Top )
127103, 118, 126mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  Top
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A [,] B
) )  e.  Top )
12948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
13018, 21iccssred 36907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
131 ax-resscn 9579 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
132130, 131syl6ss 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
133104restuni 19956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  CC )  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
134103, 132, 133sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
135129, 134sseqtrd 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
136135adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
137 retop 21560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top )
139 ioossre 11640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  RR
140 difss 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
\  ( A [,] B ) )  C_  RR
141139, 140unssi 3618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  C_  RR )
143 ssun1 3606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )
145 uniretop 21561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
146145ntrss 19848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
147138, 142, 144, 146syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
148 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
149 ioontr 36917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
150148, 149syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )
151147, 150sseldd 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
15248, 148sseldi 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
153151, 152elind 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
154130adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
156145, 155restntr 19976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
157138, 154, 117, 156syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
158153, 157eleqtrrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
159101tgioo2 21600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
161160oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) ) )
162103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
163 reex 9613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
165 restabs 19959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
166162, 130, 164, 165syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) )
167161, 166eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
168167fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )  =  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) )
169168fveq1d 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
170169adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
171158, 170eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
172134feq2d 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  <->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC ) )
17342, 172mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
174173adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G : U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
175 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
176175, 104cnprest 20083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  Top  /\  ( A (,) B )  C_  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  /\  G : U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) --> CC ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
177128, 136, 171, 174, 176syl22anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
178125, 177mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
179 elpri 3992 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
180 lbicc2 11690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
18119, 22, 25, 180syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
182 iftrue 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
183182, 41fvmptg 5930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( A [,] B )  /\  R  e.  ( F lim CC  A ) )  -> 
( G `  A
)  =  R )
184181, 3, 183syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  =  R )
18597eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
18696, 185eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( G  |`  ( A (,) B
) ) )
187186oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
1883, 187eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
18918, 21, 24, 42limciccioolb 36995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A )  =  ( G lim CC  A ) )
190188, 189eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  ( G lim
CC  A ) )
191184, 190eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( G lim
CC  A ) )
192 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
193101, 192cnplimc 22583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  A  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
194132, 181, 193syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
19542, 191, 194mpbir2and 923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
196195adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
) )
197 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
198197eqcomd 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199198adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
200196, 199eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
20121leidd 10159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
20218, 21, 21, 25, 201eliccd 36906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
203 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
204203iftruei 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) )  =  L
205204, 8syl5eqel 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  e.  CC )
2064, 205ifcld 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )
207202, 206jca 530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC ) )
208 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )
209 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x B
21053, 209nffv 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( G `  B
)
211210nfeq1 2579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
212208, 211nfim 1948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
213 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  B  e.  ( A [,] B ) ) )
214182adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
215 eqtr2 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  B  =  A )
216 iftrue 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  R )
217216eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  A  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
218215, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
219214, 218eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
220 iffalse 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
221220adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
222 iftrue 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  L )
223222adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  L )
224 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  x  =  A )
225 pm13.18 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =/=  A )  ->  B  =/=  A )
226224, 225sylan2br 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  B  =/=  A )
227226neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  B  =  A )
228227iffalsed 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
229228, 204syl6req 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  L  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
230221, 223, 2293eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
231219, 230pm2.61dan 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
232231eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC  <->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) )
233213, 232anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) ) )  e.  CC )  <->  ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) ) )
234 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( G `  x )  =  ( G `  B ) )
235234, 231eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  <-> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
236233, 235imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) ) )
237212, 236, 73vtoclg1f 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  (
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  B )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
238202, 207, 237sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
23918, 24gtned 9752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
240239neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
241240iffalsed 3896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
242204a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  =  L )
243238, 241, 2423eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  L )
244186oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
2457, 244eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
24618, 21, 24, 42limcicciooub 37011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B )  =  ( G lim CC  B ) )
247245, 246eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ( G lim
CC  B ) )
248243, 247eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ( G lim
CC  B ) )
249101, 192cnplimc 22583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  B  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
250132, 202, 249syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
25142, 248, 250mpbir2and 923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
252251adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )
253 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
254253eqcomd 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
255254adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
256252, 255eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
257200, 256jaodan 786 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
258179, 257sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
259178, 258jaodan 786 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
26047, 259syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
261260ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
262101cnfldtopon 21582 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
263 resttopon 19955 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A [,] B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B
) ) )
264262, 132, 263sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
265 cncnp 20074 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
266264, 262, 265sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
26742, 261, 266mpbir2and 923 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
268101, 192, 107cncfcn 21705 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
269132, 100, 268sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
270267, 269eleqtrrd 2493 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   F/wnf 1637    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   ifcif 3885   {cpr 3974   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ran crn 4824    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   (,)cioo 11582   [,]cicc 11585   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂfldccnfld 18740   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   intcnt 19810    Cn ccn 20018    CnP ccnp 20019   -cn->ccncf 21672   lim CC climc 22558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-rest 15037  df-topn 15038  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-xms 21115  df-ms 21116  df-cncf 21674  df-limc 22562
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