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Theorem cncfiooicclem1 31878
Description: A continuous function  F on an open interval  ( A (,) B ) can be extended to a continuous function  G on the corresponding close interval, if it has a finite right limit  R in  A and a finite left limit  L in  B.  F can be complex valued. This lemma assumes  A  <  B, the invoking theorem drops this assumption. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicclem1.x  |-  F/ x ph
cncfiooicclem1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
cncfiooicclem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cncfiooicclem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cncfiooicclem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
cncfiooicclem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
cncfiooicclem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
cncfiooicclem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
cncfiooicclem1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, L    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfiooicclem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfiooicclem1.x . . . 4  |-  F/ x ph
2 limccl 22405 . . . . . . 7  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
3 cncfiooicclem1.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
42, 3sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
54ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  x  =  A )  ->  R  e.  CC )
6 limccl 22405 . . . . . . . 8  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
7 cncfiooicclem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
86, 7sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
98ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
10 simplll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
11 orel1 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  =  A  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  x  =  B ) )
1211con3dimp 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B
) )
13 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1413elpr 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
1512, 14sylnibr 305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
1615adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
17 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
18 cncfiooicclem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  e.  RR* )
21 cncfiooicclem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2310, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
24 cncfiooicclem1.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2518, 21, 24ltled 9750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2610, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  <_  B )
27 prunioo 11674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2917, 28eleqtrrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )
30 elun 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  \/  x  e. 
{ A ,  B } ) )
3129, 30sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B } ) )
32 orel2 383 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  { A ,  B }  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
3316, 31, 32sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
34 cncfiooicclem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
35 cncff 21523 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3810, 33, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
399, 38ifclda 3976 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  x  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) )  e.  CC )
405, 39ifclda 3976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
41 cncfiooicclem1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
421, 40, 41fmptdf 6057 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
43 elun 3641 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
4419, 22, 25, 27syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
4544eleq2d 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4643, 45syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
48 ioossicc 11635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
49 fssres 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5042, 48, 49sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5150feqmptd 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B
) ) `  y
) ) )
52 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
5341, 52nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x G
54 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( A (,) B
)
5553, 54nfres 5285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( G  |`  ( A (,) B ) )
56 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
5755, 56nffv 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y )
58 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( G  |`  ( A (,) B ) )
59 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
x
6058, 59nffv 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )
61 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 y )  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6257, 60, 61cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) ) )
64 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6748, 66sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
684adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
698ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
7037adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
7169, 70ifclda 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  e.  CC )
7268, 71ifcld 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
7341fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
7467, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
75 elioo4g 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7675biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7776simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR ) )
7877simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  e.  RR* )
79 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
8079rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR* )
81 eliooord 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
8281simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  x )
83 xrltne 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  A  < 
x )  ->  x  =/=  A )
8478, 80, 82, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  A )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  =/=  A )
8685neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8786iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
8881simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  <  B )
8979, 88ltned 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  B )
9089neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  B )
9190iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
9387, 92eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  ( F `  x ) )
9465, 74, 933eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
951, 94mpteq2da 4542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
9651, 63, 953eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  x ) ) )
9736feqmptd 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
98 ioosscn 31709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
101 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
102 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
103101cnfldtop 21417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
104 unicntop 31613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
105104restid 14851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
106103, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
107106eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
108101, 102, 107cncfcn 21539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
10999, 100, 108sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
11034, 97, 1093eltr3d 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
11196, 110eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
112104restuni 19790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  CC )  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
113103, 98, 112mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
114113cncnpi 19906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  /\  y  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
115111, 114sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
11748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
118 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  e.  _V )
120 restabs 19793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  e. 
_V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
122121eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) ) )
123122oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) )
124123fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
125115, 124eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
126 resttop 19788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e. 
Top )
127103, 118, 126mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  Top
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A [,] B
) )  e.  Top )
12948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
13018, 21iccssred 31721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
131 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
132130, 131syl6ss 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
133104restuni 19790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  CC )  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
134103, 132, 133sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
135129, 134sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
136135adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
137 retop 21394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top )
139 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  RR
140 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
\  ( A [,] B ) )  C_  RR
141139, 140unssi 3675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  C_  RR )
143 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )
145 uniretop 21395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
146145ntrss 19683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
147138, 142, 144, 146syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
148 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
149 ioontr 31731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
150148, 149syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )
151147, 150sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
15248, 148sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
153151, 152elind 3684 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
154130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
156145, 155restntr 19810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
157138, 154, 117, 156syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
158153, 157eleqtrrd 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
159101tgioo2 21434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
161160oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) ) )
162103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
163 reex 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
165 restabs 19793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
166162, 130, 164, 165syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) )
167161, 166eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
168167fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )  =  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) )
169168fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
170169adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
171158, 170eleqtrd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
172134feq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  <->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC ) )
17342, 172mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
174173adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G : U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
175 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
176175, 104cnprest 19917 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  Top  /\  ( A (,) B )  C_  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  /\  G : U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) --> CC ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
177128, 136, 171, 174, 176syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
178125, 177mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
179 elpri 4052 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
180 lbicc2 11661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
18119, 22, 25, 180syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
182 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
183182, 41fvmptg 5954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( A [,] B )  /\  R  e.  ( F lim CC  A ) )  -> 
( G `  A
)  =  R )
184181, 3, 183syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  =  R )
18597eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
18696, 185eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( G  |`  ( A (,) B
) ) )
187186oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
1883, 187eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
18918, 21, 24, 42limciccioolb 31809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A )  =  ( G lim CC  A ) )
190188, 189eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  ( G lim
CC  A ) )
191184, 190eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( G lim
CC  A ) )
192 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
193101, 192cnplimc 22417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  A  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
194132, 181, 193syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
19542, 191, 194mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
196195adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
) )
197 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
198197eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199198adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
200196, 199eleqtrd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
20121leidd 10140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
20218, 21, 21, 25, 201eliccd 31720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
203 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
204203iftruei 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) )  =  L
205204, 8syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  e.  CC )
2064, 205ifcld 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )
207202, 206jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC ) )
208 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )
209 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x B
21053, 209nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( G `  B
)
211210nfeq1 2634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
212208, 211nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
213 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  B  e.  ( A [,] B ) ) )
214182adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
215 eqtr2 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  B  =  A )
216 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  R )
217216eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  A  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
218215, 217syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
219214, 218eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
220 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
221220adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
222 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  L )
223222adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  L )
224 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  x  =  A )
225 pm13.18 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =/=  A )  ->  B  =/=  A )
226224, 225sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  B  =/=  A )
227226neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  B  =  A )
228227iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
229228, 204syl6req 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  L  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
230221, 223, 2293eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
231219, 230pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
232231eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC  <->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) )
233213, 232anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) ) )  e.  CC )  <->  ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) ) )
234 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( G `  x )  =  ( G `  B ) )
235234, 231eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  <-> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
236233, 235imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) ) )
237212, 236, 73vtoclg1f 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  (
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  B )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
238202, 207, 237sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
23918, 24gtned 9737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
240239neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
241240iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
242204a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  =  L )
243238, 241, 2423eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  L )
244186oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
2457, 244eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
24618, 21, 24, 42limcicciooub 31825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B )  =  ( G lim CC  B ) )
247245, 246eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ( G lim
CC  B ) )
248243, 247eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ( G lim
CC  B ) )
249101, 192cnplimc 22417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  B  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
250132, 202, 249syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
25142, 248, 250mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
252251adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )
253 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
254253eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
255254adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
256252, 255eleqtrd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
257200, 256jaodan 785 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
258179, 257sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
259178, 258jaodan 785 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
26047, 259syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
261260ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
262101cnfldtopon 21416 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
263 resttopon 19789 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A [,] B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B
) ) )
264262, 132, 263sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
265 cncnp 19908 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
266264, 262, 265sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
26742, 261, 266mpbir2and 922 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
268101, 192, 107cncfcn 21539 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
269132, 100, 268sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
270267, 269eleqtrrd 2548 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   {cpr 4034   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   intcnt 19645    Cn ccn 19852    CnP ccnp 19853   -cn->ccncf 21506   lim CC climc 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-xms 20949  df-ms 20950  df-cncf 21508  df-limc 22396
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  31879
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