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Theorem cncfiooicclem1 37868
Description: A continuous function  F on an open interval  ( A (,) B ) can be extended to a continuous function  G on the corresponding closed interval, if it has a finite right limit  R in  A and a finite left limit  L in  B.  F can be complex valued. This lemma assumes  A  <  B, the invoking theorem drops this assumption. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfiooicclem1.x  |-  F/ x ph
cncfiooicclem1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
cncfiooicclem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cncfiooicclem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cncfiooicclem1.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
cncfiooicclem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
cncfiooicclem1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
cncfiooicclem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
cncfiooicclem1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, L    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x)    G( x)

Proof of Theorem cncfiooicclem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfiooicclem1.x . . . 4  |-  F/ x ph
2 limccl 22909 . . . . . . 7  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
3 cncfiooicclem1.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
42, 3sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
54ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  x  =  A )  ->  R  e.  CC )
6 limccl 22909 . . . . . . . 8  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
7 cncfiooicclem1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
86, 7sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
98ad3antrrr 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
10 simplll 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
11 orel1 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  =  A  -> 
( ( x  =  A  \/  x  =  B )  ->  x  =  B ) )
1211con3dimp 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B
) )
13 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1413elpr 3977 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
1512, 14sylnibr 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
1615adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  e.  { A ,  B } )
17 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
18 cncfiooicclem1.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  e.  RR* )
21 cncfiooicclem1.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2221rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
24 cncfiooicclem1.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2518, 21, 24ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2610, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  A  <_  B )
27 prunioo 11787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2820, 23, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2917, 28eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
) )
30 elun 3565 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( x  e.  ( A (,) B
)  \/  x  e. 
{ A ,  B } ) )
3129, 30sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B } ) )
32 orel2 390 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  { A ,  B }  ->  (
( x  e.  ( A (,) B )  \/  x  e.  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
3316, 31, 32sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A (,) B
) )
34 cncfiooicclem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
35 cncff 22003 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
3736ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3810, 33, 37syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  /\  -.  x  =  A
)  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
399, 38ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  x  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) )  e.  CC )
405, 39ifclda 3904 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
41 cncfiooicclem1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
421, 40, 41fmptdf 6063 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
43 elun 3565 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
4419, 22, 25, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
4544eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4643, 45syl5bbr 267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } )  <->  y  e.  ( A [,] B ) ) )
4746biimpar 493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )
48 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
49 fssres 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : ( A [,] B ) --> CC 
/\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5042, 48, 49sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5150feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B
) ) `  y
) ) )
52 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )
5341, 52nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x G
54 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( A (,) B
)
5553, 54nfres 5113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( G  |`  ( A (,) B ) )
56 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
y
5755, 56nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y )
58 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( G  |`  ( A (,) B ) )
59 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
x
6058, 59nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 y )  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6257, 60, 61cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  y ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) ) )
64 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( G  |`  ( A (,) B ) ) `
 x )  =  ( G `  x
) )
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( G `  x ) )
66 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
6748, 66sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
684adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
698ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  B )  ->  L  e.  CC )
7037adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
7169, 70ifclda 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  e.  CC )
7268, 71ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )
7341fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
7467, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  =  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) ) )
75 elioo4g 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7675biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
7776simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  RR ) )
7877simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  e.  RR* )
79 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
8079rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR* )
81 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  x  /\  x  <  B ) )
8281simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  A  <  x )
83 xrltne 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  A  < 
x )  ->  x  =/=  A )
8478, 80, 82, 83syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  A )
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  =/=  A )
8685neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8786iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
8881simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  <  B )
8979, 88ltned 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  =/=  B )
9089neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  B )
9190iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
9387, 92eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  ( F `  x ) )
9465, 74, 933eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
951, 94mpteq2da 4481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) `  x ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
9651, 63, 953eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  x ) ) )
9736feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
98 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
101 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
102 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
103101cnfldtop 21882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
104 unicntop 37433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
105104restid 15410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
106103, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
107106eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
108101, 102, 107cncfcn 22019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
10999, 100, 108sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
11034, 97, 1093eltr3d 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
11196, 110eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
112104restuni 20255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  CC )  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
113103, 98, 112mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
114113cncnpi 20371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  /\  y  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
115111, 114sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
116103a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
11748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
118 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A [,] B )  e. 
_V
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  e.  _V )
120 restabs 20258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B )  /\  ( A [,] B )  e. 
_V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
121116, 117, 119, 120syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
122121eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) ) )
123122oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) )
124123fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
125115, 124eleqtrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  |`  ( A (,) B
) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
126 resttop 20253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e. 
Top )
127103, 118, 126mp2an 686 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  Top
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t  ( A [,] B
) )  e.  Top )
12948a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
13018, 21iccssred 37698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
131 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
132130, 131syl6ss 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
133104restuni 20255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  CC )  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
134103, 132, 133sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
135129, 134sseqtrd 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
136135adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
137 retop 21860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top )
139 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  RR
140 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
\  ( A [,] B ) )  C_  RR
141139, 140unssi 3600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )  C_  RR )
143 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )
145 uniretop 21861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
146145ntrss 20147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \ 
( A [,] B
) ) )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  (
( A (,) B
)  u.  ( RR 
\  ( A [,] B ) ) ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
147138, 142, 144, 146syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) 
C_  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
148 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
149 ioontr 37707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
150148, 149syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )
151147, 150sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) ) )
15248, 148sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
153151, 152elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
154130adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
156145, 155restntr 20275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
157138, 154, 117, 156syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( A (,) B )  u.  ( RR  \  ( A [,] B ) ) ) )  i^i  ( A [,] B ) ) )
158153, 157eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
159101tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
161160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) ) )
162103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
163 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
165 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
166162, 130, 164, 165syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) )
167161, 166eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )
168167fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )  =  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) )
169168fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
170169adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( int `  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
171158, 170eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) ) )
172134feq2d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  <->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC ) )
17342, 172mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
174173adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G : U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) --> CC )
175 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
176175, 104cnprest 20382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  Top  /\  ( A (,) B )  C_  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) )  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) ) ) `
 ( A (,) B ) )  /\  G : U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) ) --> CC ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
177128, 136, 171, 174, 176syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
178125, 177mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
179 elpri 3976 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A ,  B }  ->  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )
180 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
18119, 22, 25, 180syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
182 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
183182, 41fvmptg 5961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( A [,] B )  /\  R  e.  ( F lim CC  A ) )  -> 
( G `  A
)  =  R )
184181, 3, 183syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  =  R )
18597eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
18696, 185eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( G  |`  ( A (,) B
) ) )
187186oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
1883, 187eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A ) )
18918, 21, 24, 42limciccioolb 37798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  A )  =  ( G lim CC  A ) )
190188, 189eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  ( G lim
CC  A ) )
191184, 190eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( G lim
CC  A ) )
192 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )
193101, 192cnplimc 22921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  A  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
194132, 181, 193syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  A )  e.  ( G lim CC  A
) ) ) )
19542, 191, 194mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
196195adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
) )
197 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
198197eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
199198adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
200196, 199eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
20121leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
20218, 21, 21, 25, 201eliccd 37697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
203 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
204203iftruei 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) )  =  L
205204, 8syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  e.  CC )
2064, 205ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )
207202, 206jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC ) )
208 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )
209 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x B
21053, 209nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( G `  B
)
211210nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
212208, 211nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
213 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  <->  B  e.  ( A [,] B ) ) )
214182adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  R )
215 eqtr2 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  B  =  A )
216 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  A  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  R )
217216eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  A  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
218215, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  R  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
219214, 218eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =  A )  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
220 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  =  A  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
221220adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )
222 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) )  =  L )
223222adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) )  =  L )
224 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =/=  A  <->  -.  x  =  A )
225 pm13.18 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  B  /\  x  =/=  A )  ->  B  =/=  A )
226224, 225sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  B  =/=  A )
227226neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  -.  B  =  A )
228227iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
229228, 204syl6req 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  L  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `
 B ) ) ) )
230221, 223, 2293eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  B  /\  -.  x  =  A
)  ->  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
231219, 230pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) ) )
232231eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L ,  ( F `
 x ) ) )  e.  CC  <->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) )
233213, 232anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  ( A [,] B )  /\  if ( x  =  A ,  R ,  if ( x  =  B ,  L , 
( F `  x
) ) )  e.  CC )  <->  ( B  e.  ( A [,] B
)  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC ) ) )
234 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  B  ->  ( G `  x )  =  ( G `  B ) )
235234, 231eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  <-> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
236233, 235imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( x  e.  ( A [,] B
)  /\  if (
x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  x
)  =  if ( x  =  A ,  R ,  if (
x  =  B ,  L ,  ( F `  x ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  e.  CC )  -> 
( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) ) )
237212, 236, 73vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  (
( B  e.  ( A [,] B )  /\  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) ) )  e.  CC )  ->  ( G `  B )  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) ) )
238202, 207, 237sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) ) )
23918, 24gtned 9787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
240239neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  B  =  A )
241240iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  A ,  R ,  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )  =  if ( B  =  B ,  L ,  ( F `  B ) ) )
242204a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( B  =  B ,  L , 
( F `  B
) )  =  L )
243238, 241, 2423eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  =  L )
244186oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
2457, 244eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B ) )
24618, 21, 24, 42limcicciooub 37814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  ( A (,) B ) ) lim CC  B )  =  ( G lim CC  B ) )
247245, 246eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ( G lim
CC  B ) )
248243, 247eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ( G lim
CC  B ) )
249101, 192cnplimc 22921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  B  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
250132, 202, 249syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  ( G `  B )  e.  ( G lim CC  B
) ) ) )
25142, 248, 250mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
252251adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  B
) )
253 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) )
254253eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
255254adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
256252, 255eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
257200, 256jaodan 802 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  A  \/  y  =  B ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
258179, 257sylan2 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { A ,  B }
)  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
259178, 258jaodan 802 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A (,) B
)  \/  y  e. 
{ A ,  B } ) )  ->  G  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
26047, 259syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
261260ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) )
262101cnfldtopon 21881 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
263 resttopon 20254 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A [,] B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B
) ) )
264262, 132, 263sylancr 676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) ) )
265 cncnp 20373 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  e.  (TopOn `  ( A [,] B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
266264, 262, 265sylancl 675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) G  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) ) )
26742, 261, 266mpbir2and 936 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
268101, 192, 107cncfcn 22019 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
269132, 100, 268sylancl 675 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,] B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
270267, 269eleqtrrd 2552 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   intcnt 20109    Cn ccn 20317    CnP ccnp 20318   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-cncf 21988  df-limc 22900
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