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Theorem cncficcgt0 31550
Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncficcgt0.f  |-  F  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  C )
cncficcgt0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cncficcgt0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cncficcgt0.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
cncficcgt0.fcn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( RR  \  {
0 } ) ) )
Assertion
Ref Expression
cncficcgt0  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  ( A [,] B ) y  <_  ( abs `  C
) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    y, C    y, F    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    C( x)    F( x)

Proof of Theorem cncficcgt0
Dummy variables  a 
b  c  d  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncficcgt0.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cncficcgt0.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 cncficcgt0.aleb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
4 difss 3636 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  RR
5 ax-resscn 9561 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3518 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  \  {
0 } )  C_  CC )
8 ssid 3528 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
10 cncfss 21271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( RR  \  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR  \  { 0 } ) )  C_  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR 
\  { 0 } ) )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC ) )
12 cncficcgt0.fcn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( RR  \  {
0 } ) ) )
1311, 12sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
14 abscncf 21273 . . . . . 6  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
1613, 15cncfco 21279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
171, 2, 3, 16evthicc 21739 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( A [,] B
) A. b  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  b )  <_  (
( abs  o.  F
) `  a )  /\  E. c  e.  ( A [,] B ) A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d ) ) )
1817simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A [,] B ) A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d ) )
19 cncff 21265 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR  \  { 0 } ) )  ->  F : ( A [,] B ) --> ( RR 
\  { 0 } ) )
20 ffun 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( A [,] B ) --> ( RR 
\  { 0 } )  ->  Fun  F )
2112, 19, 203syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  Fun  F )
23 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  c  e.  ( A [,] B ) )
2412, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> ( RR  \  { 0 } ) )
25 fdm 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( A [,] B ) --> ( RR 
\  { 0 } )  ->  dom  F  =  ( A [,] B
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A [,] B ) )
2726eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  dom  F
)
2827adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A [,] B )  =  dom  F )
2923, 28eleqtrd 2557 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  c  e.  dom  F )
30 fvco 5950 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  c  e.  dom  F )  -> 
( ( abs  o.  F ) `  c
)  =  ( abs `  ( F `  c
) ) )
3122, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  c )  =  ( abs `  ( F `
 c ) ) )
32 difssd 3637 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( RR  \  { 0 } ) 
C_  RR )
3324ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  c )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
3432, 33sseldd 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  c )  e.  RR )
3534recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
36 eldifsni 4159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  c )  e.  ( RR  \  { 0 } )  ->  ( F `  c )  =/=  0
)
3733, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  c )  =/=  0
)
3835, 37absrpcld 13259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( abs `  ( F `  c
) )  e.  RR+ )
3931, 38eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  c )  e.  RR+ )
4039adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 c )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  d
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  c )  e.  RR+ )
41 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  c  e.  ( A [,] B
) )
42 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( A [,] B
)
43 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x abs
44 cncficcgt0.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  C )
45 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  C )
4644, 45nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x F
4743, 46nfco 5174 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( abs  o.  F
)
48 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
c
4947, 48nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( abs  o.  F ) `  c
)
50 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  <_
51 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
d
5247, 51nffv 5879 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( abs  o.  F ) `  d
)
5349, 50, 52nfbr 4497 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d )
5442, 53nfral 2853 . . . . . . 7  |-  F/ x A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d
)
5541, 54nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d
) )
56 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  x  ->  (
( abs  o.  F
) `  d )  =  ( ( abs 
o.  F ) `  x ) )
5756breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  x  ->  (
( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d )  <->  ( ( abs  o.  F ) `  c )  <_  (
( abs  o.  F
) `  x )
) )
5857rspccva 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d )  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
5958adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d
) )  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
60 absf 13150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  abs : CC
--> RR
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
6224, 7fssd 5746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
63 fcompt 6068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  F : ( A [,] B ) --> CC )  ->  ( abs  o.  F )  =  ( z  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  ( F `
 z ) ) ) )
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  =  ( z  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  ( F `  z
) ) ) )
65 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
z
6646, 65nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( F `  z
)
6743, 66nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( abs `  ( F `  z )
)
68 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z
( abs `  ( F `  x )
)
69 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
7069fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
7167, 68, 70cbvmpt 4543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  ( F `  z
) ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( abs `  ( F `  x )
) )
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( abs `  ( F `  z )
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  ( F `
 x ) ) ) )
7364, 72eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
7544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  C ) )
7675feq1d 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F : ( A [,] B ) --> ( RR  \  {
0 } )  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7724, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  C ) : ( A [,] B ) --> ( RR  \  {
0 } ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  C )  =  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )
8079fmpt 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( A [,] B ) C  e.  ( RR  \  {
0 } )  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) )
81 rsp 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( A [,] B ) C  e.  ( RR  \  {
0 } )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  ->  C  e.  ( RR  \  { 0 } ) ) )
8280, 81sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  |->  C ) : ( A [,] B ) --> ( RR  \  { 0 } )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  ->  C  e.  ( RR  \  { 0 } ) ) )
8378, 74, 82sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
8444fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  C  e.  ( RR  \  { 0 } ) )  ->  ( F `  x )  =  C )
8574, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  =  C )
8685fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  =  ( abs `  C ) )
8786mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( abs `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  C ) ) )
8873, 87eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  C ) ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( abs  o.  F )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  C ) ) )
9089fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  x )  =  ( ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( abs `  C
) ) `  x
) )
916, 83sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
9291abscld 13247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
93 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  C ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( abs `  C
) )
9493fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  ( abs `  C )  e.  RR )  -> 
( ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  ( abs `  C
) ) `  x
)  =  ( abs `  C ) )
9574, 92, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( abs `  C ) ) `  x )  =  ( abs `  C
) )
96 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( abs `  C )  =  ( abs `  C ) )
9790, 95, 963eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  x )  =  ( abs `  C ) )
9897adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B
) )  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  x )  =  ( abs `  C
) )
9998adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d
) )  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  x )  =  ( abs `  C
) )
10059, 99breqtrd 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  d
) )  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  c )  <_  ( abs `  C
) )
101100ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 c )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  d
) )  ->  (
x  e.  ( A [,] B )  -> 
( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( abs `  C ) ) )
10255, 101ralrimi 2867 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 c )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  d
) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  c )  <_  ( abs `  C ) )
103 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
104103, 49nfeq 2640 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  =  ( ( abs  o.  F ) `  c )
105 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( abs 
o.  F ) `  c )  ->  (
y  <_  ( abs `  C )  <->  ( ( abs  o.  F ) `  c )  <_  ( abs `  C ) ) )
106104, 105ralbid 2901 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( abs 
o.  F ) `  c )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) y  <_  ( abs `  C
)  <->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `  c
)  <_  ( abs `  C ) ) )
107106rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs  o.  F ) `  c
)  e.  RR+  /\  A. x  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 c )  <_ 
( abs `  C
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  ( A [,] B
) y  <_  ( abs `  C ) )
10840, 102, 107syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A [,] B
) )  /\  A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 c )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  d
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  ( A [,] B
) y  <_  ( abs `  C ) )
109108ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A. d  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 c )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  d
)  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  ( A [,] B
) y  <_  ( abs `  C ) ) )
110109rexlimdva 2959 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( A [,] B
) A. d  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  c )  <_  (
( abs  o.  F
) `  d )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  ( A [,] B ) y  <_  ( abs `  C
) ) )
11118, 110mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  ( A [,] B ) y  <_  ( abs `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    o. ccom 5009   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    <_ cle 9641   RR+crp 11232   [,]cicc 11544   abscabs 13047   -cn->ccncf 21248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  31798
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