MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncffvrn Unicode version

Theorem cncffvrn 18881
Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncffvrn  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
F : A --> C ) )

Proof of Theorem cncffvrn
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 18874 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
21adantl 453 . . 3  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A  C_  CC )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  CC )
4 elcncf2 18873 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  C  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> C )  <->  ( F : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . 2  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
( F : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
6 cncfi 18877 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) )
763expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) )
87ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) )
98adantl 453 . . 3  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) )
109biantrud 494 . 2  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( F : A --> C  <->  ( F : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
115, 10bitr4d 248 1  |-  ( ( C  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> C )  <-> 
F : A --> C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    < clt 9076    - cmin 9247   RR+crp 10568   abscabs 11994   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  cncfss  18882  cncfmpt2ss  18898  rolle  19827  dvlipcn  19831  c1lip2  19835  dvivthlem1  19845  dvivth  19847  lhop1lem  19850  dvcnvrelem2  19855  dvfsumlem2  19864  itgsubstlem  19885  efcvx  20318  dvrelog  20481  relogcn  20482  logcn  20491  dvlog  20495  logccv  20507  resqrcn  20586  loglesqr  20595  lgamgulmlem2  24767  areacirclem5  26185  cncfres  26364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-abs 11996  df-cncf 18861
  Copyright terms: Public domain W3C validator