Theorem cncffvelrn 8530

Description: A continuous complex function's value belongs to its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cncffvelrn	|- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> (C e. A -> (F` C) e. B))

Proof of Theorem cncffvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 8528	. 2 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> F:A-->B)
2		ffvelrn 4787	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (F` C) e. B)
3	2	ex 402	. 2 |- (F:A-->B -> (C e. A -> (F` C) e. B))
4	1, 3	syl 12	1 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ F e. (A-cn->B)) -> (C e. A -> (F` C) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   e. wcel 1300   C_ wss 2593  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  -cn->ccncf 8524

This theorem is referenced by:  ivthlem4 8546  ivthlem6 8548  ivthlem7 8549  ivthlem9 8551  dsupivthlem 8553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-cncf 8525

Copyright terms: Public domain