MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncff Structured version   Unicode version

Theorem cncff 20310
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 20308 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 20309 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 20306 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 654 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 241 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 456 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3316   class class class wbr 4280   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267    < clt 9405    - cmin 9582   RR+crp 10978   abscabs 12706   -cn->ccncf 20293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-map 7204  df-cncf 20295
This theorem is referenced by:  cncfss  20316  climcncf  20317  cncfco  20324  cncfmpt1f  20330  cncfmpt2ss  20332  negfcncf  20336  ivth2  20780  ivthicc  20783  evthicc2  20785  cniccbdd  20786  volivth  20928  cncombf  20977  cnmbf  20978  cniccibl  21159  cnmptlimc  21206  cpnord  21250  cpnres  21252  dvrec  21270  rollelem  21302  rolle  21303  cmvth  21304  mvth  21305  dvlip  21306  c1liplem1  21309  c1lip1  21310  c1lip2  21311  dveq0  21313  dvgt0lem1  21315  dvgt0lem2  21316  dvgt0  21317  dvlt0  21318  dvge0  21319  dvle  21320  dvivthlem1  21321  dvivth  21323  dvne0  21324  dvne0f1  21325  dvcnvrelem1  21330  dvcnvrelem2  21331  dvcnvre  21332  dvcvx  21333  dvfsumle  21334  dvfsumge  21335  dvfsumabs  21336  ftc1cn  21356  ftc2  21357  ftc2ditglem  21358  ftc2ditg  21359  itgparts  21360  itgsubstlem  21361  itgsubst  21362  ulmcn  21748  psercn  21775  pserdvlem2  21777  pserdv  21778  sincn  21793  coscn  21794  logtayl  21989  leibpi  22221  lgamgulmlem2  26863  cnicciblnc  28304  ftc1cnnclem  28306  ftc1cnnc  28307  ftc2nc  28317  dvcncxp1  28318  ivthALT  28371  cnioobibld  29431  cncfmptss  29610  mulc1cncfg  29613  expcnfg  29616
  Copyright terms: Public domain W3C validator