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Theorem cncff 21821
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 21819 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 21820 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 21817 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 665 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 244 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 460 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536    < clt 9674    - cmin 9859   RR+crp 11302   abscabs 13276   -cn->ccncf 21804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-cncf 21806
This theorem is referenced by:  cncfss  21827  climcncf  21828  cncfco  21835  cncfmpt1f  21841  cncfmpt2ss  21843  negfcncf  21847  ivth2  22287  ivthicc  22290  evthicc2  22292  cniccbdd  22293  volivth  22442  cncombf  22491  cnmbf  22492  cniccibl  22675  cnmptlimc  22722  cpnord  22766  cpnres  22768  dvrec  22786  rollelem  22818  rolle  22819  cmvth  22820  mvth  22821  dvlip  22822  c1liplem1  22825  c1lip1  22826  c1lip2  22827  dveq0  22829  dvgt0lem1  22831  dvgt0lem2  22832  dvgt0  22833  dvlt0  22834  dvge0  22835  dvle  22836  dvivthlem1  22837  dvivth  22839  dvne0  22840  dvne0f1  22841  dvcnvrelem1  22846  dvcnvrelem2  22847  dvcnvre  22848  dvcvx  22849  dvfsumle  22850  dvfsumge  22851  dvfsumabs  22852  ftc1cn  22872  ftc2  22873  ftc2ditglem  22874  ftc2ditg  22875  itgparts  22876  itgsubstlem  22877  itgsubst  22878  ulmcn  23219  psercn  23246  pserdvlem2  23248  pserdv  23249  sincn  23264  coscn  23265  logtayl  23470  dvcncxp1  23548  leibpi  23733  lgamgulmlem2  23820  ivthALT  30776  cnicciblnc  31720  ftc1cnnclem  31722  ftc1cnnc  31723  ftc2nc  31733  cnioobibld  35800  evthiccabs  37181  cncfmptss  37240  mulc1cncfg  37242  expcnfg  37246  mulcncff  37320  cncfshift  37326  subcncff  37332  cncfcompt  37335  divcncf  37336  addcncff  37337  cncficcgt0  37341  divcncff  37344  cncfiooicclem1  37346  cncfiooiccre  37348  cncfioobd  37350  cncfcompt2  37352  dvsubcncf  37371  dvmulcncf  37372  dvdivcncf  37374  ioodvbdlimc1lem1  37378  cnbdibl  37411  itgsubsticclem  37424  itgsubsticc  37425  itgioocnicc  37426  iblcncfioo  37427  itgiccshift  37429  itgsbtaddcnst  37431  fourierdlem18  37559  fourierdlem32  37573  fourierdlem33  37574  fourierdlem39  37580  fourierdlem48  37589  fourierdlem49  37590  fourierdlem58  37599  fourierdlem59  37600  fourierdlem71  37612  fourierdlem73  37614  fourierdlem81  37622  fourierdlem84  37625  fourierdlem85  37626  fourierdlem88  37629  fourierdlem94  37635  fourierdlem97  37638  fourierdlem101  37642  fourierdlem103  37644  fourierdlem104  37645  fourierdlem111  37652  fourierdlem112  37653  fourierdlem113  37654  fouriercn  37667
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