MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncff Structured version   Unicode version

Theorem cncff 20491
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 20489 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 20490 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 20487 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 241 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301    < clt 9439    - cmin 9616   RR+crp 11012   abscabs 12744   -cn->ccncf 20474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-map 7237  df-cncf 20476
This theorem is referenced by:  cncfss  20497  climcncf  20498  cncfco  20505  cncfmpt1f  20511  cncfmpt2ss  20513  negfcncf  20517  ivth2  20961  ivthicc  20964  evthicc2  20966  cniccbdd  20967  volivth  21109  cncombf  21158  cnmbf  21159  cniccibl  21340  cnmptlimc  21387  cpnord  21431  cpnres  21433  dvrec  21451  rollelem  21483  rolle  21484  cmvth  21485  mvth  21486  dvlip  21487  c1liplem1  21490  c1lip1  21491  c1lip2  21492  dveq0  21494  dvgt0lem1  21496  dvgt0lem2  21497  dvgt0  21498  dvlt0  21499  dvge0  21500  dvle  21501  dvivthlem1  21502  dvivth  21504  dvne0  21505  dvne0f1  21506  dvcnvrelem1  21511  dvcnvrelem2  21512  dvcnvre  21513  dvcvx  21514  dvfsumle  21515  dvfsumge  21516  dvfsumabs  21517  ftc1cn  21537  ftc2  21538  ftc2ditglem  21539  ftc2ditg  21540  itgparts  21541  itgsubstlem  21542  itgsubst  21543  ulmcn  21886  psercn  21913  pserdvlem2  21915  pserdv  21916  sincn  21931  coscn  21932  logtayl  22127  leibpi  22359  lgamgulmlem2  27038  cnicciblnc  28489  ftc1cnnclem  28491  ftc1cnnc  28492  ftc2nc  28502  dvcncxp1  28503  ivthALT  28556  cnioobibld  29615  cncfmptss  29794  mulc1cncfg  29796  expcnfg  29799
  Copyright terms: Public domain W3C validator