MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncff Unicode version

Theorem cncff 18876
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 18874 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 18875 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 18872 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 233 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 446 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    < clt 9076    - cmin 9247   RR+crp 10568   abscabs 11994   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  cncfss  18882  climcncf  18883  cncfco  18890  cncfmpt1f  18896  cncfmpt2ss  18898  negfcncf  18902  ivth2  19305  ivthicc  19308  evthicc2  19310  cniccbdd  19311  volivth  19452  cncombf  19503  cnmbf  19504  cniccibl  19685  cnmptlimc  19730  cpnord  19774  cpnres  19776  dvrec  19794  rollelem  19826  rolle  19827  cmvth  19828  mvth  19829  dvlip  19830  c1liplem1  19833  c1lip1  19834  c1lip2  19835  dveq0  19837  dvgt0lem1  19839  dvgt0lem2  19840  dvgt0  19841  dvlt0  19842  dvge0  19843  dvle  19844  dvivthlem1  19845  dvivth  19847  dvne0  19848  dvne0f1  19849  dvcnvrelem1  19854  dvcnvrelem2  19855  dvcnvre  19856  dvcvx  19857  dvfsumle  19858  dvfsumge  19859  dvfsumabs  19860  ftc1cn  19880  ftc2  19881  ftc2ditglem  19882  ftc2ditg  19883  itgparts  19884  itgsubstlem  19885  itgsubst  19886  ulmcn  20268  psercn  20295  pserdvlem2  20297  pserdv  20298  sincn  20313  coscn  20314  logtayl  20504  leibpi  20735  lgamgulmlem2  24767  cnicciblnc  26175  ftc1cnnclem  26177  ftc1cnnc  26178  ivthALT  26228  cncfmptss  27584  mulc1cncfg  27588  expcnfg  27593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-cncf 18861
  Copyright terms: Public domain W3C validator