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Theorem cncff 21224
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )

Proof of Theorem cncff
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 21222 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
2 cncfrss2 21223 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
3 elcncf 21220 . . . 4  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <-> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
54ibi 241 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
65simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491    < clt 9629    - cmin 9806   RR+crp 11221   abscabs 13033   -cn->ccncf 21207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-map 7423  df-cncf 21209
This theorem is referenced by:  cncfss  21230  climcncf  21231  cncfco  21238  cncfmpt1f  21244  cncfmpt2ss  21246  negfcncf  21250  ivth2  21694  ivthicc  21697  evthicc2  21699  cniccbdd  21700  volivth  21843  cncombf  21892  cnmbf  21893  cniccibl  22074  cnmptlimc  22121  cpnord  22165  cpnres  22167  dvrec  22185  rollelem  22217  rolle  22218  cmvth  22219  mvth  22220  dvlip  22221  c1liplem1  22224  c1lip1  22225  c1lip2  22226  dveq0  22228  dvgt0lem1  22230  dvgt0lem2  22231  dvgt0  22232  dvlt0  22233  dvge0  22234  dvle  22235  dvivthlem1  22236  dvivth  22238  dvne0  22239  dvne0f1  22240  dvcnvrelem1  22245  dvcnvrelem2  22246  dvcnvre  22247  dvcvx  22248  dvfsumle  22249  dvfsumge  22250  dvfsumabs  22251  ftc1cn  22271  ftc2  22272  ftc2ditglem  22273  ftc2ditg  22274  itgparts  22275  itgsubstlem  22276  itgsubst  22277  ulmcn  22620  psercn  22647  pserdvlem2  22649  pserdv  22650  sincn  22665  coscn  22666  logtayl  22866  leibpi  23098  lgamgulmlem2  28323  cnicciblnc  29939  ftc1cnnclem  29941  ftc1cnnc  29942  ftc2nc  29952  dvcncxp1  29953  ivthALT  30006  cnioobibld  31013  evthiccabs  31320  cncfmptss  31364  mulc1cncfg  31366  expcnfg  31369  mulcncff  31433  cncfshift  31439  subcncff  31445  cncfcompt  31448  divcncf  31449  addcncff  31450  cncficcgt0  31454  divcncff  31457  cncfiooicclem1  31459  cncfiooiccre  31461  cncfioobd  31463  dvsubcncf  31481  dvmulcncf  31482  dvdivcncf  31484  ioodvbdlimc1lem1  31488  cnbdibl  31507  itgsubsticclem  31520  itgsubsticc  31521  itgioocnicc  31522  iblcncfioo  31523  itgiccshift  31525  itgsbtaddcnst  31527  fourierdlem18  31652  fourierdlem23  31657  fourierdlem32  31666  fourierdlem33  31667  fourierdlem39  31673  fourierdlem45  31679  fourierdlem48  31682  fourierdlem49  31683  fourierdlem58  31692  fourierdlem59  31693  fourierdlem71  31705  fourierdlem73  31707  fourierdlem81  31715  fourierdlem84  31718  fourierdlem85  31719  fourierdlem88  31722  fourierdlem94  31728  fourierdlem97  31731  fourierdlem101  31735  fourierdlem103  31737  fourierdlem104  31738  fourierdlem111  31745  fourierdlem112  31746  fourierdlem113  31747  fouriercn  31760
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