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Theorem cncfco 21537
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
cncfco.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
Assertion
Ref Expression
cncfco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables  w  u  x  y  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
2 cncff 21523 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  G : B
--> C )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> C )
4 cncfco.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
5 cncff 21523 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 fco 5747 . . 3  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> C )
83, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> C )
91adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> C ) )
106adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> B )
11 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  x  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  x
)  e.  B )
13 simprr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR+ )
14 cncfi 21524 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( B
-cn-> C )  /\  ( F `  x )  e.  B  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
159, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
164ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
17 simplrl 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  x  e.  A
)
18 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  u  e.  RR+ )
19 cncfi 21524 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  x  e.  A  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
216ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  F : A --> B )
22 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
2321, 22ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
24 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
v  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )
2524fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
2625breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
) )
27 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  ( F `  w ) ) )
2827oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) )  =  ( ( G `
 ( F `  w ) )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) ) )
3029breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
3126, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3231rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3323, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
34 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3521, 22, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3617adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
37 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3821, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3935, 38oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4039fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) ) )
4140breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
4241imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
4333, 42sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4544an32s 804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4645imim2d 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4746anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4847ralimdva 2865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  A  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4948reximdva 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5049ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
5120, 50mpid 41 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5251rexlimdva 2949 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5315, 52mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
) )  <  y
) )
5453ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
55 cncfrss 21521 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
564, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
57 cncfrss2 21522 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  C  C_  CC )
581, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
59 elcncf2 21520 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  C  C_  CC )  ->  (
( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
6056, 58, 59syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( A -cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
618, 54, 60mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507    < clt 9645    - cmin 9824   RR+crp 11245   abscabs 13079   -cn->ccncf 21506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-abs 13081  df-cncf 21508
This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  21543  negfcncf  21549  cniccbdd  21999  cncombf  22191  cnmbf  22192  dvlip  22520  dvlipcn  22521  itgsubstlem  22575  sincn  22965  coscn  22966  logcn  23154  ftalem3  23474  lgamgulmlem2  28769  evthiccabs  31732  mulc1cncfg  31786  expcnfg  31789  cncfcompt  31888  divcncf  31889  cncficcgt0  31894  cncfcompt2  31905  dirkercncflem2  32089  dirkercncflem4  32091  fourierdlem18  32110  fourierdlem93  32185  fourierdlem101  32193  fourierdlem111  32203
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