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Theorem cncfco 21141
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
cncfco.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
Assertion
Ref Expression
cncfco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables  w  u  x  y  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
2 cncff 21127 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  G : B
--> C )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> C )
4 cncfco.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
5 cncff 21127 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 fco 5734 . . 3  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> C )
83, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> C )
91adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> C ) )
106adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> B )
11 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  x  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 6015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  x
)  e.  B )
13 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR+ )
14 cncfi 21128 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( B
-cn-> C )  /\  ( F `  x )  e.  B  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
159, 12, 13, 14syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
164ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
17 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  x  e.  A
)
18 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  u  e.  RR+ )
19 cncfi 21128 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  x  e.  A  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
216ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  F : A --> B )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
2321, 22ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
24 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
v  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )
2524fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
2625breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
) )
27 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  ( F `  w ) ) )
2827oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) )  =  ( ( G `
 ( F `  w ) )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
2928fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) ) )
3029breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
3126, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3231rspcv 3205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3323, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
34 fvco3 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3521, 22, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3617adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
37 fvco3 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3821, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3935, 38oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4039fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) ) )
4140breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
4241imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
4333, 42sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4544an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4645imim2d 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4746anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4847ralimdva 2867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  A  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4948reximdva 2933 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5049ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
5120, 50mpid 41 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5251rexlimdva 2950 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5315, 52mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
) )  <  y
) )
5453ralrimivva 2880 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
55 cncfrss 21125 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
564, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
57 cncfrss2 21126 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  C  C_  CC )
581, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
59 elcncf2 21124 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  C  C_  CC )  ->  (
( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
6056, 58, 59syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( A -cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
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618, 54, 60mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   class class class wbr 4442    o. ccom 4998   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481    < clt 9619    - cmin 9796   RR+crp 11211   abscabs 13019   -cn->ccncf 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-2 10585  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-abs 13021  df-cncf 21112
This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  21147  negfcncf  21153  cniccbdd  21603  cncombf  21795  cnmbf  21796  dvlip  22124  dvlipcn  22125  itgsubstlem  22179  sincn  22568  coscn  22569  logcn  22751  ftalem3  23071  lgamgulmlem2  28200  evthiccabs  31050  mulc1cncfg  31096  expcnfg  31099  cncfcompt  31178  divcncf  31179  cncficcgt0  31184  itgsbtaddcnst  31257  dirkeritg  31359  dirkercncflem2  31361  dirkercncflem4  31363  fourierdlem18  31382  fourierdlem23  31387  fourierdlem78  31442  fourierdlem83  31447  fourierdlem93  31457  fourierdlem101  31465  fourierdlem111  31475
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