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Theorem cncfco 21951
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
cncfco.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
Assertion
Ref Expression
cncfco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables  w  u  x  y  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
2 cncff 21937 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  G : B
--> C )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> C )
4 cncfco.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
5 cncff 21937 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 fco 5744 . . 3  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> C )
83, 6, 7syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> C )
91adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> C ) )
106adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> B )
11 simprl 765 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  x  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 6028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  x
)  e.  B )
13 simprr 767 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR+ )
14 cncfi 21938 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( B
-cn-> C )  /\  ( F `  x )  e.  B  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
159, 12, 13, 14syl3anc 1269 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
164ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
17 simplrl 771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  x  e.  A
)
18 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  u  e.  RR+ )
19 cncfi 21938 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  x  e.  A  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
216ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  F : A --> B )
22 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
2321, 22ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
24 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
v  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )
2524fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
2625breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
) )
27 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  ( F `  w ) ) )
2827oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) )  =  ( ( G `
 ( F `  w ) )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
2928fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) ) )
3029breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
3126, 30imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3231rspcv 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3323, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
34 fvco3 5947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3521, 22, 34syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3617adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
37 fvco3 5947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3821, 36, 37syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3935, 38oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4039fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) ) )
4140breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
4241imbi2d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
4333, 42sylibrd 238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4443imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4544an32s 814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4645imim2d 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4746anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4847ralimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  A  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4948reximdva 2864 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5049ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
5120, 50mpid 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5251rexlimdva 2881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5315, 52mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
) )  <  y
) )
5453ralrimivva 2811 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
55 cncfrss 21935 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
564, 55syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
57 cncfrss2 21936 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  C  C_  CC )
581, 57syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
59 elcncf2 21934 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  C  C_  CC )  ->  (
( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
6056, 58, 59syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( A -cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
618, 54, 60mpbir2and 934 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406   class class class wbr 4405    o. ccom 4841   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542    < clt 9680    - cmin 9865   RR+crp 11309   abscabs 13309   -cn->ccncf 21920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-2 10675  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-abs 13311  df-cncf 21922
This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  21957  negfcncf  21963  cniccbdd  22424  cncombf  22626  cnmbf  22627  dvlip  22957  dvlipcn  22958  itgsubstlem  23012  sincn  23411  coscn  23412  logcn  23604  lgamgulmlem2  23967  ftalem3  24011  evthiccabs  37603  mulc1cncfg  37677  expcnfg  37681  cncfcompt  37770  divcncf  37771  cncficcgt0  37776  cncfcompt2  37787  dirkercncflem2  37976  dirkercncflem4  37978  fourierdlem18  37997  fourierdlem93  38073  fourierdlem101  38081  fourierdlem111  38091
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