Theorem cncfco 15887

Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous.

Assertion

Ref	Expression
cncfco	|- (((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) /\ (F e. (A-cn->B) /\ G e. (B-cn->C))) -> (G o. F) e. (A-cn->C))

Proof of Theorem cncfco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
2	1	cnmet 9182	. . . . . 6 |- (abs o. - ) e. Met
3		metres 9100	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) e. Met -> ((abs o. - ) |` (A X. A)) e. Met)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` (A X. A)) e. Met
5		eqid 1884	. . . . . 6 |- (Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) = (Open` ((abs o. - ) |` (A X. A)))
6	5	opntop 9147	. . . . 5 |- (((abs o. - ) |` (A X. A)) e. Met -> (Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) e. Top)
7	4, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- (Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) e. Top
8		metres 9100	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) e. Met -> ((abs o. - ) |` (B X. B)) e. Met)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` (B X. B)) e. Met
10		eqid 1884	. . . . . 6 |- (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) = (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))
11	10	opntop 9147	. . . . 5 |- (((abs o. - ) |` (B X. B)) e. Met -> (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) e. Top)
12	9, 11	ax-mp 7	. . . 4 |- (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) e. Top
13		metres 9100	. . . . . 6 |- ((abs o. - ) e. Met -> ((abs o. - ) |` (C X. C)) e. Met)
14	2, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((abs o. - ) |` (C X. C)) e. Met
15		eqid 1884	. . . . . 6 |- (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))) = (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))
16	15	opntop 9147	. . . . 5 |- (((abs o. - ) |` (C X. C)) e. Met -> (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))) e. Top)
17	14, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))) e. Top
18		cnco 9045	. . . . 5 |- ((((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) e. Top /\ (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) e. Top /\ (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))) e. Top) /\ (F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))) /\ G e. ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))) -> (G o. F) e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))
19	18	ex 402	. . . 4 |- (((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) e. Top /\ (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) e. Top /\ (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))) e. Top) -> ((F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))) /\ G e. ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))))) -> (G o. F) e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))))))
20	7, 12, 17, 19	mp3an 1191	. . 3 |- ((F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))) /\ G e. ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))))) -> (G o. F) e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))
21		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- ((abs o. - ) |` (A X. A)) = ((abs o. - ) |` (A X. A))
22		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- ((abs o. - ) |` (B X. B)) = ((abs o. - ) |` (B X. B))
23	21, 22, 5, 10	cncfmet 9183	. . . . . . 7 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC) -> (A-cn->B) = ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))))
24	23	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> (A-cn->B) = ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))))
25	24	eleq2d 1964	. . . . 5 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> (F e. (A-cn->B) <-> F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))))))
26		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- ((abs o. - ) |` (C X. C)) = ((abs o. - ) |` (C X. C))
27	22, 26, 10, 15	cncfmet 9183	. . . . . . 7 |- ((B C_ CC /\ C C_ CC) -> (B-cn->C) = ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))
28	27	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> (B-cn->C) = ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))
29	28	eleq2d 1964	. . . . 5 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> (G e. (B-cn->C) <-> G e. ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))))))
30	25, 29	anbi12d 690	. . . 4 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> ((F e. (A-cn->B) /\ G e. (B-cn->C)) <-> (F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))) /\ G e. ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))))
31	21, 26, 5, 15	cncfmet 9183	. . . . . 6 |- ((A C_ CC /\ C C_ CC) -> (A-cn->C) = ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))
32	31	3adant2 895	. . . . 5 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> (A-cn->C) = ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))
33	32	eleq2d 1964	. . . 4 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> ((G o. F) e. (A-cn->C) <-> (G o. F) e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))))))
34	30, 33	imbi12d 688	. . 3 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> (((F e. (A-cn->B) /\ G e. (B-cn->C)) -> (G o. F) e. (A-cn->C)) <-> ((F e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (B X. B)))) /\ G e. ((Open` ((abs o. - ) |` (B X. B))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C))))) -> (G o. F) e. ((Open` ((abs o. - ) |` (A X. A))) Cn (Open` ((abs o. - ) |` (C X. C)))))))
35	20, 34	mpbiri 211	. 2 |- ((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) -> ((F e. (A-cn->B) /\ G e. (B-cn->C)) -> (G o. F) e. (A-cn->C)))
36	35	imp 377	1 |- (((A C_ CC /\ B C_ CC /\ C C_ CC) /\ (F e. (A-cn->B) /\ G e. (B-cn->C))) -> (G o. F) e. (A-cn->C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   - cmin 6445  abscabs 8000  -cn->ccncf 8524  Topctop 8857   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  phtpycolem4 16054  pcohtpylem3 16082  pcopt 16084  pcoass 16085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-cncf 8525  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain