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Theorem cncfco 20505
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
cncfco.5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
Assertion
Ref Expression
cncfco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables  w  u  x  y  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( B
-cn-> C ) )
2 cncff 20491 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  G : B
--> C )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : B --> C )
4 cncfco.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> B ) )
5 cncff 20491 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  F : A
--> B )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 fco 5589 . . 3  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : A --> B )  ->  ( G  o.  F ) : A --> C )
83, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> C )
91adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  G  e.  ( B -cn-> C ) )
106adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : A --> B )
11 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  x  e.  A )
1210, 11ffvelrnd 5865 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  x
)  e.  B )
13 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR+ )
14 cncfi 20492 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( B
-cn-> C )  /\  ( F `  x )  e.  B  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
159, 12, 13, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
164ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
17 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  x  e.  A
)
18 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  u  e.  RR+ )
19 cncfi 20492 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( A
-cn-> B )  /\  x  e.  A  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u ) )
216ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  F : A --> B )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
2321, 22ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
24 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
v  -  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )
2524fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x ) ) ) )
2625breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  <->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
) )
27 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  ( F `  w ) ) )
2827oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) )  =  ( ( G `
 ( F `  w ) )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
2928fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  ( abs `  ( ( G `
 v )  -  ( G `  ( F `
 x ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) ) )
3029breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
3126, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3231rspcv 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
3323, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
34 fvco3 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3521, 22, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  w
)  =  ( G `
 ( F `  w ) ) )
3617adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
37 fvco3 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3821, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3935, 38oveq12d 6130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( ( G `  ( F `
 w ) )  -  ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4039fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) ) )
4140breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  ( F `  w ) )  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )
4241imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  ( F `  w )
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) ) )
4333, 42sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4544an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
4645imim2d 52 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4746anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  w  e.  A )  ->  (
( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4847ralimdva 2815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  A  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
4948reximdva 2849 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  RR+ )  /\  A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  ( F `  x )
) )  <  u
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5049ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  ( F `
 x ) ) )  <  u )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
5120, 50mpid 41 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  RR+ )  ->  ( A. v  e.  B  ( ( abs `  ( v  -  ( F `  x ) ) )  <  u  ->  ( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5251rexlimdva 2862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. u  e.  RR+  A. v  e.  B  ( ( abs `  (
v  -  ( F `
 x ) ) )  <  u  -> 
( abs `  (
( G `  v
)  -  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) )
5315, 52mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( G  o.  F ) `  w )  -  (
( G  o.  F
) `  x )
) )  <  y
) )
5453ralrimivva 2829 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) )
55 cncfrss 20489 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
564, 55syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
57 cncfrss2 20490 . . . 4  |-  ( G  e.  ( B -cn-> C )  ->  C  C_  CC )
581, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
59 elcncf2 20488 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  C  C_  CC )  ->  (
( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
6056, 58, 59syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( A -cn-> C )  <->  ( ( G  o.  F ) : A --> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( G  o.  F ) `  w
)  -  ( ( G  o.  F ) `
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618, 54, 60mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301    < clt 9439    - cmin 9616   RR+crp 11012   abscabs 12744   -cn->ccncf 20474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-2 10401  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-abs 12746  df-cncf 20476
This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  20511  negfcncf  20517  cniccbdd  20967  cncombf  21158  cnmbf  21159  dvlip  21487  dvlipcn  21488  itgsubstlem  21542  sincn  21931  coscn  21932  logcn  22114  ftalem3  22434  lgamgulmlem2  27038  mulc1cncfg  29796  expcnfg  29799
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