MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Unicode version

Theorem cncfcnvcn 21849
Description: Rewrite cmphaushmeo 20746 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfcnvcn.k  |-  K  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( X -cn-> Y ) )
2 cncfrss 21819 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  X  C_  CC )
32adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  C_  CC )
4 cncfrss2 21820 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  Y  C_  CC )
54adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  C_  CC )
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  X )
8 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
96, 7, 8cncfcn 21837 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
103, 5, 9syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
111, 10eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
12 ishmeo 20705 . . . 4  |-  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  /\  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1312baib 911 . . 3  |-  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  -> 
( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1411, 13syl 17 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
156cnfldtop 21715 . . . . . 6  |-  J  e. 
Top
166cnfldtopon 21714 . . . . . . . 8  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716toponunii 19878 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. J
1817restuni 20109 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1915, 3, 18sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
207unieqi 4231 . . . . 5  |-  U. K  =  U. ( Jt  X )
2119, 20syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. K )
22 f1oeq2 5823 . . . 4  |-  ( X  =  U. K  -> 
( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2321, 22syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <-> 
F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2417restuni 20109 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  CC )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
2515, 5, 24sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
26 f1oeq3 5824 . . . 4  |-  ( Y  =  U. ( Jt  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2725, 26syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
28 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  K  e.  Comp )
296cnfldhaus 21716 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
30 cnex 9619 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
3130ssex 4569 . . . . . 6  |-  ( Y 
C_  CC  ->  Y  e. 
_V )
325, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  e.  _V )
33 resthaus 20315 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Haus )
3429, 32, 33sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Jt  Y
)  e.  Haus )
35 eqid 2429 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
36 eqid 2429 . . . . 5  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
3735, 36cmphaushmeo 20746 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  ( Jt  Y )  e.  Haus  /\  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3828, 34, 11, 37syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3923, 27, 383bitr4d 288 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) ) ) )
406, 8, 7cncfcn 21837 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  C_  CC )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
415, 3, 40syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K
) )
4241eleq2d 2499 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( `' F  e.  ( Y -cn-> X )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
4314, 39, 423bitr4d 288 1  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   U.cuni 4222   `'ccnv 4853   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279  ℂfldccnfld 18905   Topctop 19848    Cn ccn 20171   Hauscha 20255   Compccmp 20332   Homeochmeo 20699   -cn->ccncf 21804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cls 19967  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-cncf 21806
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  22847
  Copyright terms: Public domain W3C validator