MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Unicode version

Theorem cncfcnvcn 18904
Description: Rewrite cmphaushmeo 17785 for functions on the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfcnvcn.k  |-  K  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( X -cn-> Y ) )
2 cncfrss 18874 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  X  C_  CC )
32adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  C_  CC )
4 cncfrss2 18875 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  Y  C_  CC )
54adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  C_  CC )
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  X )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
96, 7, 8cncfcn 18892 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
103, 5, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
111, 10eleqtrd 2480 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
12 ishmeo 17744 . . . 4  |-  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  /\  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1312baib 872 . . 3  |-  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  -> 
( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y
) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
1411, 13syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
156cnfldtop 18771 . . . . . 6  |-  J  e. 
Top
166cnfldtopon 18770 . . . . . . . 8  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716toponunii 16952 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. J
1817restuni 17180 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1915, 3, 18sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
207unieqi 3985 . . . . 5  |-  U. K  =  U. ( Jt  X )
2119, 20syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. K )
22 f1oeq2 5625 . . . 4  |-  ( X  =  U. K  -> 
( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <-> 
F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2417restuni 17180 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  CC )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
2515, 5, 24sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
26 f1oeq3 5626 . . . 4  |-  ( Y  =  U. ( Jt  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
28 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  K  e.  Comp )
296cnfldhaus 18772 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
30 cnex 9027 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
3130ssex 4307 . . . . . 6  |-  ( Y 
C_  CC  ->  Y  e. 
_V )
325, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  e.  _V )
33 resthaus 17386 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Haus )
3429, 32, 33sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Jt  Y
)  e.  Haus )
35 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
36 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
3735, 36cmphaushmeo 17785 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  ( Jt  Y )  e.  Haus  /\  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3828, 34, 11, 37syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3923, 27, 383bitr4d 277 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F  e.  ( K  Homeo  ( Jt  Y ) ) ) )
406, 8, 7cncfcn 18892 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  C_  CC )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
415, 3, 40syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K
) )
4241eleq2d 2471 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( `' F  e.  ( Y -cn-> X )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
4314, 39, 423bitr4d 277 1  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913    Cn ccn 17242   Hauscha 17326   Compccmp 17403    Homeo chmeo 17738   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  19855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cls 17040  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-cncf 18861
  Copyright terms: Public domain W3C validator