MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcnvcn Structured version   Unicode version

Theorem cncfcnvcn 20628
Description: Rewrite cmphaushmeo 19504 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfcnvcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cncfcnvcn.k  |-  K  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cncfcnvcn  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )

Proof of Theorem cncfcnvcn
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( X -cn-> Y ) )
2 cncfrss 20598 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  X  C_  CC )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  C_  CC )
4 cncfrss2 20599 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X -cn-> Y )  ->  Y  C_  CC )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  C_  CC )
6 cncfcnvcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
7 cncfcnvcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  X )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  Y )
96, 7, 8cncfcn 20616 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
103, 5, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( X -cn-> Y )  =  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
111, 10eleqtrd 2544 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )
12 ishmeo 19463 . . . 4  |-  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  /\  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1312baib 896 . . 3  |-  ( F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) )  -> 
( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  (
( Jt  Y )  Cn  K
) ) )
1411, 13syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
156cnfldtop 20494 . . . . . 6  |-  J  e. 
Top
166cnfldtopon 20493 . . . . . . . 8  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716toponunii 18668 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. J
1817restuni 18897 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1915, 3, 18sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
207unieqi 4207 . . . . 5  |-  U. K  =  U. ( Jt  X )
2119, 20syl6eqr 2513 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  X  =  U. K )
22 f1oeq2 5740 . . . 4  |-  ( X  =  U. K  -> 
( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y )  <-> 
F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2417restuni 18897 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  CC )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
2515, 5, 24sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  =  U. ( Jt  Y ) )
26 f1oeq3 5741 . . . 4  |-  ( Y  =  U. ( Jt  Y )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
28 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  K  e.  Comp )
296cnfldhaus 20495 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
30 cnex 9473 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
3130ssex 4543 . . . . . 6  |-  ( Y 
C_  CC  ->  Y  e. 
_V )
325, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  Y  e.  _V )
33 resthaus 19103 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  Y  e.  _V )  ->  ( Jt  Y )  e.  Haus )
3429, 32, 33sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Jt  Y
)  e.  Haus )
35 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
36 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. ( Jt  Y )  =  U. ( Jt  Y )
3735, 36cmphaushmeo 19504 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  ( Jt  Y )  e.  Haus  /\  F  e.  ( K  Cn  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3828, 34, 11, 37syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) )  <->  F : U. K -1-1-onto-> U. ( Jt  Y ) ) )
3923, 27, 383bitr4d 285 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  F  e.  ( K Homeo ( Jt  Y ) ) ) )
406, 8, 7cncfcn 20616 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  C_  CC )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
415, 3, 40syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( Y -cn-> X )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  K
) )
4241eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( `' F  e.  ( Y -cn-> X )  <->  `' F  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) ) )
4314, 39, 423bitr4d 285 1  |-  ( ( K  e.  Comp  /\  F  e.  ( X -cn-> Y ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   U.cuni 4198   `'ccnv 4946   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   ↾t crest 14477   TopOpenctopn 14478  ℂfldccnfld 17942   Topctop 18629    Cn ccn 18959   Hauscha 19043   Compccmp 19120   Homeochmeo 19457   -cn->ccncf 20583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fi 7771  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-icc 11417  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-rest 14479  df-topn 14480  df-topgen 14500  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-cls 18756  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-cmp 19121  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-cncf 20585
This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  21622
  Copyright terms: Public domain W3C validator