MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfcn1 Structured version   Unicode version

Theorem cncfcn1 21144
Description: Relate complex function continuity to topological continuity. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncfcn1.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cncfcn1  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )

Proof of Theorem cncfcn1
StepHypRef Expression
1 ssid 3518 . 2  |-  CC  C_  CC
2 cncfcn1.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 21021 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
42cnfldtopon 21020 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
54toponunii 19195 . . . . . 6  |-  CC  =  U. J
65restid 14680 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
73, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( Jt  CC )  =  J
87eqcomi 2475 . . 3  |-  J  =  ( Jt  CC )
92, 8, 8cncfcn 21143 . 2  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> CC )  =  ( J  Cn  J ) )
101, 1, 9mp2an 672 1  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   ↾t crest 14667   TopOpenctopn 14668  ℂfldccnfld 18186   Topctop 19156    Cn ccn 19486   -cn->ccncf 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-rest 14669  df-topn 14670  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-xms 20553  df-ms 20554  df-cncf 21112
This theorem is referenced by:  expcncf  21156  dvcjbr  22082  plycn  22387  psercn2  22547  efopn  22762  cxpcn  22842  efrlim  23022  pntlem3  23517  sinccvglem  28501  climexp  31104
  Copyright terms: Public domain W3C validator