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Theorem cnambfre 32035
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
21feqmptd 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
32cnveqd 5032 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
43imaeq1d 5189 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
54ad2antrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
6 exmid 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  \/  -.  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)
76biantrur 513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b ) )
8 andir 884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) ) )
97, 8bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) )
10 retopbas 21836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
11 bastg 20036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
1312sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ran  (,)  ->  b  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1413ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
15 cnpimaex 20327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  b  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
16153com12 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
17163expa 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
1814, 17sylanl1 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
1918ex 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
20 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F " y )  C_  b
)
21 ffn 5755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
2221adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  Fn  A )
23 restsspw 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  C_  ~P A
2423sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  e.  ~P A )
2524elpwid 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  C_  A )
26 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  ->  x  e.  y )
27 fnfvima 6173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  C_  A  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y
) )
2822, 25, 26, 27syl3an 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
29283expb 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
3020, 29sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  b )
3130rexlimdvaa 2892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3231ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3319, 32impbid 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  <->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3433pm5.32da 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) ) )
35 r19.42v 2957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  <-> 
( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3634, 35syl6bbr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) ) )
3736orbi1d 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) )  <->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
389, 37syl5bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  b  <-> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
3938rabbidva 3047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) } )
40 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
4140mptpreima 5351 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " b
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }
42 unrab 3726 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) }
4339, 41, 423eqtr4g 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
445, 43eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
45443adantl3 1172 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  /\  b  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
46 incom 3637 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
47 dfin4 3695 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
48 inrab 3727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) } )
5049iuneq2i 4311 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
51 iunin2 4356 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
52 iunrab 4339 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5350, 51, 523eqtr3i 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5446, 47, 533eqtr3i 2492 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
55 eqeq2 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  y 
<->  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
56 eqeq2 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  if ( ( F
" y )  C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
57 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  x  e.  y )
5825adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  y  C_  A )
5958sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
60 pm3.22 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " y
)  C_  b  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
6160adantll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )
6259, 61jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
) )
6357, 62impbida 848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)  <->  x  e.  y
) )
6463abbidv 2580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) ) }  =  { x  |  x  e.  y } )
65 df-rab 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
66 cvjust 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  =  { x  |  x  e.  y }
6764, 65, 663eqtr4g 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  y )
68 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  -> 
( F " y
)  C_  b )
6968con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  -.  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
7069ralrimivw 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
71 rabeq0 3766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
7270, 71sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/) )
7372adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  -.  ( F " y )  C_  b )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  (/) )
7455, 56, 67, 73ifbothda 3928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) ) )
7574iuneq2i 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )
76 retop 21837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
77 resttop 20231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
7876, 77mpan 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
79 0opn 19989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
81 ifcl 3935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8281ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8380, 82sylan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8483ralrimiva 2814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
85 iunopn 19983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8678, 84, 85syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
87 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
8887subopnmbl 22618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e. 
dom  vol )
8986, 88mpdan 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  dom  vol )
9075, 89syl5eqel 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
9190adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
92 difss 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }
93 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9493rgenw 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
95 iunss 4333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A 
<-> 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A )
9694, 95mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9792, 96sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  A
98 mblss 22540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
9997, 98syl5ss 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
10099adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
101 ssdif 3580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )
103 ovex 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
^m  A )  e. 
_V
104103rabex 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) }  e.  _V
105 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR 
^m  A )  | 
A. b  e.  (
topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } )
106104, 105fnmpti 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
107 retopon 21839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
108 resttopon 20232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
109107, 98, 108sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  (TopOn `  A ) )
110 cnpfval 20305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( topGen `
 ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } ) )
111109, 107, 110sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } ) )
112111fneq1d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
) )
113106, 112mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A )
114 elpreima 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
116 rele 4985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  _E
117 elrelimasn 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
_E  ->  ( ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
119 fvex 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  _V
120119epelc 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  _E  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
121118, 120bitr2i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) )
122121anbi2i 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) )
123115, 122syl6rbbr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) ) )
124123abbidv 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) }  =  { x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) } )
125 df-rab 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
) }
126 imaco 5363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )
127 abid2 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }  =  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )
128126, 127eqtr4i 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  {
x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }
129124, 125, 1283eqtr4g 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  =  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )
130129difeq2d 3563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )  =  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
131102, 130syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
132 difss 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  A
133132, 98syl5ss 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
134131, 133jca 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
)
135 ovolssnul 22495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) )  =  0 )
1361353expa 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
137134, 136sylan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
138 nulmbl 22544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )  ->  ( U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
139100, 137, 138syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
140 difmbl 22552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol  /\  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14191, 139, 140syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14254, 141syl5eqelr 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  e.  dom  vol )
143 ssrab2 3526 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) }  C_  A
144143, 98syl5ss 3455 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
145144adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
146126eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } )  <-> 
x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) )
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148121, 147syl5rbb 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U_ciun 4292   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477    _E cep 4765   `'ccnv 4855   dom cdm 4856   ran crn 4857   "cima 4859    o. ccom 4860   Rel wrel 4861    Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    ^m cmap 7503   RRcr 9569   0cc0 9570   (,)cioo 11669   ↾t crest 15374   topGenctg 15391   Topctop 19972  TopOnctopon 19973   TopBasesctb 19975    CnP ccnp 20296   vol*covol 22468   volcvol 22470  MblFncmbf 22628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-omul 7218  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-acn 8407  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-rest 15376  df-topgen 15397  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-cnp 20299  df-cmp 20457  df-ovol 22471  df-vol 22473  df-mbf 22633
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