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Theorem cnambfre 31953
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
21feqmptd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
32cnveqd 5029 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
43imaeq1d 5186 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
54ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
6 exmid 416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  \/  -.  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)
76biantrur 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b ) )
8 andir 876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) ) )
97, 8bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) )
10 retopbas 21779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
11 bastg 19979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
1312sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ran  (,)  ->  b  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1413ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
15 cnpimaex 20270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  b  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
16153com12 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
17163expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
1814, 17sylanl1 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
1918ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
20 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F " y )  C_  b
)
21 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  Fn  A )
23 restsspw 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  C_  ~P A
2423sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  e.  ~P A )
2524elpwid 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  C_  A )
26 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  ->  x  e.  y )
27 fnfvima 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  C_  A  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y
) )
2822, 25, 26, 27syl3an 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
29283expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
3020, 29sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  b )
3130rexlimdvaa 2915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3231ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3319, 32impbid 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  <->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3433pm5.32da 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) ) )
35 r19.42v 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  <-> 
( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3634, 35syl6bbr 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) ) )
3736orbi1d 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) )  <->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
389, 37syl5bb 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  b  <-> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
3938rabbidva 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) } )
40 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
4140mptpreima 5347 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " b
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }
42 unrab 3744 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) }
4339, 41, 423eqtr4g 2488 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
445, 43eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
45443adantl3 1163 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  /\  b  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
46 incom 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
47 dfin4 3713 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
48 inrab 3745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) } )
5049iuneq2i 4318 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
51 iunin2 4363 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
52 iunrab 4346 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5350, 51, 523eqtr3i 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5446, 47, 533eqtr3i 2459 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
55 eqeq2 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  y 
<->  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
56 eqeq2 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  if ( ( F
" y )  C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
57 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  x  e.  y )
5825adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  y  C_  A )
5958sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
60 pm3.22 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " y
)  C_  b  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
6160adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )
6259, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
) )
6357, 62impbida 840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)  <->  x  e.  y
) )
6463abbidv 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) ) }  =  { x  |  x  e.  y } )
65 df-rab 2780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
66 cvjust 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  =  { x  |  x  e.  y }
6764, 65, 663eqtr4g 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  y )
68 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  -> 
( F " y
)  C_  b )
6968con3i 140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  -.  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
7069ralrimivw 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
71 rabeq0 3784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
7270, 71sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/) )
7372adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  -.  ( F " y )  C_  b )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  (/) )
7455, 56, 67, 73ifbothda 3946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) ) )
7574iuneq2i 4318 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )
76 retop 21780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
77 resttop 20174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
7876, 77mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
79 0opn 19932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
81 ifcl 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8281ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8380, 82sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8483ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
85 iunopn 19926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8678, 84, 85syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
87 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
8887subopnmbl 22560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e. 
dom  vol )
8986, 88mpdan 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  dom  vol )
9075, 89syl5eqel 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
9190adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
92 difss 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }
93 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9493rgenw 2783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
95 iunss 4340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A 
<-> 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A )
9694, 95mpbir 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9792, 96sstri 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  A
98 mblss 22483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
9997, 98syl5ss 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
10099adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
101 ssdif 3600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )
103 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
^m  A )  e. 
_V
104103rabex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) }  e.  _V
105 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR 
^m  A )  | 
A. b  e.  (
topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } )
106104, 105fnmpti 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
107 retopon 21782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
108 resttopon 20175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
109107, 98, 108sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  (TopOn `  A ) )
110 cnpfval 20248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( topGen `
 ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } ) )
111109, 107, 110sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } ) )
112111fneq1d 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
) )
113106, 112mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A )
114 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
116 rele 4982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  _E
117 elrelimasn 5211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
_E  ->  ( ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
119 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  _V
120119epelc 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  _E  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
121118, 120bitr2i 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) )
122121anbi2i 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) )
123115, 122syl6rbbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) ) )
124123abbidv 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) }  =  { x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) } )
125 df-rab 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
) }
126 imaco 5359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )
127 abid2 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }  =  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )
128126, 127eqtr4i 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  {
x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }
129124, 125, 1283eqtr4g 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  =  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )
130129difeq2d 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )  =  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
131102, 130syl5sseq 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
132 difss 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  A
133132, 98syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
134131, 133jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
)
135 ovolssnul 22438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) )  =  0 )
1361353expa 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
137134, 136sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
138 nulmbl 22487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )  ->  ( U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
139100, 137, 138syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
140 difmbl 22494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol  /\  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14191, 139, 140syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14254, 141syl5eqelr 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  e.  dom  vol )
143 ssrab2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) }  C_  A
144143, 98syl5ss 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
145144adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
146126eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } )  <-> 
x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) )
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148121, 147syl5rbb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
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149115, 148sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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150146, 149syl5rbb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( F  e.  ( ( ( (
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153152adantrd 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( -.  F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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156154, 155syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
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157156, 133jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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1591583expa 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
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ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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( ( ( topGen ` 
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C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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b )  e.  dom  vol ) )
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)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. b  e.  ran  (,) ( `' F "
b )  e.  dom  vol ) )
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 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2407   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U_ciun 4299   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    _E cep 4762   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854   "cima 4856    o. ccom 4857   Rel wrel 4858    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483   RRcr 9545   0cc0 9546   (,)cioo 11642   ↾t crest 15318   topGenctg 15335   Topctop 19915  TopOnctopon 19916   TopBasesctb 19918    CnP ccnp 20239   vol*covol 22411   volcvol 22413  MblFncmbf 22570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cnp 20242  df-cmp 20400  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575
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