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Theorem cnambfre 31415
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
21feqmptd 5901 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
32cnveqd 4998 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
43imaeq1d 5155 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
54ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
6 exmid 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  \/  -.  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)
76biantrur 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b ) )
8 andir 869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) ) )
97, 8bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) )
10 retopbas 21557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
11 bastg 19757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
1312sseli 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ran  (,)  ->  b  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1413ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
15 cnpimaex 20048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  b  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
16153com12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
17163expa 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
1814, 17sylanl1 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
1918ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
20 simprrr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F " y )  C_  b
)
21 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
2221adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  Fn  A )
23 restsspw 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  C_  ~P A
2423sseli 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  e.  ~P A )
2524elpwid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  C_  A )
26 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  ->  x  e.  y )
27 fnfvima 6130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  C_  A  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y
) )
2822, 25, 26, 27syl3an 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
29283expb 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
3020, 29sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  b )
3130rexlimdvaa 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3231ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3319, 32impbid 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  <->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3433pm5.32da 639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) ) )
35 r19.42v 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  <-> 
( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3634, 35syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) ) )
3736orbi1d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) )  <->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
389, 37syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  b  <-> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
3938rabbidva 3049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) } )
40 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
4140mptpreima 5315 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " b
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }
42 unrab 3720 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) }
4339, 41, 423eqtr4g 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
445, 43eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
45443adantl3 1155 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  /\  b  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
46 incom 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
47 dfin4 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
48 inrab 3721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) } )
5049iuneq2i 4289 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
51 iunin2 4334 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
52 iunrab 4317 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5350, 51, 523eqtr3i 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5446, 47, 533eqtr3i 2439 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
55 eqeq2 2417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  y 
<->  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
56 eqeq2 2417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  if ( ( F
" y )  C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
57 simprrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  x  e.  y )
5825adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  y  C_  A )
5958sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
60 pm3.22 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " y
)  C_  b  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
6160adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )
6259, 61jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
) )
6357, 62impbida 833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)  <->  x  e.  y
) )
6463abbidv 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) ) }  =  { x  |  x  e.  y } )
65 df-rab 2762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
66 cvjust 2396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  =  { x  |  x  e.  y }
6764, 65, 663eqtr4g 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  y )
68 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  -> 
( F " y
)  C_  b )
6968con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  -.  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
7069ralrimivw 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
71 rabeq0 3760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
7270, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/) )
7372adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  -.  ( F " y )  C_  b )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  (/) )
7455, 56, 67, 73ifbothda 3919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) ) )
7574iuneq2i 4289 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )
76 retop 21558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
77 resttop 19952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
7876, 77mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
79 0opn 19703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
81 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8281ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8380, 82sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8483ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
85 iunopn 19697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8678, 84, 85syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
87 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
8887subopnmbl 22303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e. 
dom  vol )
8986, 88mpdan 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  dom  vol )
9075, 89syl5eqel 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
9190adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
92 difss 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }
93 ssrab2 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9493rgenw 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
95 iunss 4311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A 
<-> 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A )
9694, 95mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9792, 96sstri 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  A
98 mblss 22232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
9997, 98syl5ss 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
10099adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
101 ssdif 3577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )
103 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
^m  A )  e. 
_V
104103rabex 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) }  e.  _V
105 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR 
^m  A )  | 
A. b  e.  (
topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } )
106104, 105fnmpti 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
107 retopon 21560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
108 resttopon 19953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
109107, 98, 108sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  (TopOn `  A ) )
110 cnpfval 20026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( topGen `
 ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } ) )
111109, 107, 110sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } ) )
112111fneq1d 5651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
) )
113106, 112mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A )
114 elpreima 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
116 rele 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  _E
117 elrelimasn 5180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
_E  ->  ( ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
119 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  _V
120119epelc 4735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  _E  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
121118, 120bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) )
122121anbi2i 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) )
123115, 122syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) ) )
124123abbidv 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) }  =  { x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) } )
125 df-rab 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
) }
126 imaco 5327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )
127 abid2 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }  =  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )
128126, 127eqtr4i 2434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  {
x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }
129124, 125, 1283eqtr4g 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  =  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )
130129difeq2d 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )  =  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
131102, 130syl5sseq 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
132 difss 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  A
133132, 98syl5ss 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
134131, 133jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
)
135 ovolssnul 22188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) )  =  0 )
1361353expa 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
137134, 136sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
138 nulmbl 22236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )  ->  ( U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
139100, 137, 138syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
140 difmbl 22243 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol  /\  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14191, 139, 140syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14254, 141syl5eqelr 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  e.  dom  vol )
143 ssrab2 3523 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) }  C_  A
144143, 98syl5ss 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
145144adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
146126eleq2i 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } )  <-> 
x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) )
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148121, 147syl5rbb 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
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149115, 148sylan9bb 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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153152adantrd 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( -.  F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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156154, 155syl6sseqr 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
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157156, 133jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
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ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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b )  e.  dom  vol ) )
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)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   ~Pcpw 3954   {csn 3971   U_ciun 4270   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    _E cep 4731   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   ran crn 4823   "cima 4825    o. ccom 4826   Rel wrel 4827    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   RRcr 9520   0cc0 9521   (,)cioo 11581   ↾t crest 15033   topGenctg 15050   Topctop 19684  TopOnctopon 19685   TopBasesctb 19688    CnP ccnp 20017   vol*covol 22164   volcvol 22165  MblFncmbf 22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cnp 20020  df-cmp 20178  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318
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