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Theorem cnambfre 30038
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
21feqmptd 5911 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
32cnveqd 5168 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
43imaeq1d 5326 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
54ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
6 exmid 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  \/  -.  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)
76biantrur 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b ) )
8 andir 868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) ) )
97, 8bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) )
10 retopbas 21244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
11 bastg 19444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
1312sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ran  (,)  ->  b  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
15 cnpimaex 19734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  b  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
16153com12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
17163expa 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
1814, 17sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
20 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F " y )  C_  b
)
21 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  Fn  A )
23 restsspw 14810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  C_  ~P A
2423sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  e.  ~P A )
2524elpwid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  C_  A )
26 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  ->  x  e.  y )
27 fnfvima 6135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  C_  A  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y
) )
2822, 25, 26, 27syl3an 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
29283expb 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
3020, 29sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  b )
3130rexlimdvaa 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3231ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3319, 32impbid 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  <->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3433pm5.32da 641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) ) )
35 r19.42v 2998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  <-> 
( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3634, 35syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) ) )
3736orbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) )  <->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
389, 37syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  b  <-> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
3938rabbidva 3086 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) } )
40 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
4140mptpreima 5490 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " b
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }
42 unrab 3754 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) }
4339, 41, 423eqtr4g 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
445, 43eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
45443adantl3 1155 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  /\  b  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
46 incom 3676 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
47 dfin4 3723 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
48 inrab 3755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) } )
5049iuneq2i 4334 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
51 iunin2 4379 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
52 iunrab 4362 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5350, 51, 523eqtr3i 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5446, 47, 533eqtr3i 2480 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
55 eqeq2 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  y 
<->  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
56 eqeq2 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  if ( ( F
" y )  C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
57 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  x  e.  y )
5825adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  y  C_  A )
5958sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
60 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " y
)  C_  b  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
6160adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )
6259, 61jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
) )
6357, 62impbida 832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)  <->  x  e.  y
) )
6463abbidv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) ) }  =  { x  |  x  e.  y } )
65 df-rab 2802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
66 cvjust 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  =  { x  |  x  e.  y }
6764, 65, 663eqtr4g 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  y )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  -> 
( F " y
)  C_  b )
6968con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  -.  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
7069ralrimivw 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
71 rabeq0 3793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
7270, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  -.  ( F " y )  C_  b )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  (/) )
7455, 56, 67, 73ifbothda 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) ) )
7574iuneq2i 4334 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )
76 retop 21245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
77 resttop 19638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
7876, 77mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
79 0opn 19390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
81 ifcl 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8281ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8380, 82sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8483ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
85 iunopn 19384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8678, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
87 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
8887subopnmbl 21990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e. 
dom  vol )
8986, 88mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  dom  vol )
9075, 89syl5eqel 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
92 difss 3616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }
93 ssrab2 3570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9493rgenw 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
95 iunss 4356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A 
<-> 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A )
9694, 95mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9792, 96sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  A
98 mblss 21919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
9997, 98syl5ss 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
10099adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
101 ssdif 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )
103 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
^m  A )  e. 
_V
104103rabex 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) }  e.  _V
105 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR 
^m  A )  | 
A. b  e.  (
topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } )
106104, 105fnmpti 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
107 retopon 21247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
108 resttopon 19639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
109107, 98, 108sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  (TopOn `  A ) )
110 cnpfval 19712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( topGen `
 ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } ) )
111109, 107, 110sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } ) )
112111fneq1d 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
) )
113106, 112mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A )
114 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
116 rele 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  _E
117 elrelimasn 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
_E  ->  ( ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
119 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  _V
120119epelc 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  _E  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
121118, 120bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) )
122121anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) )
123115, 122syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) ) )
124123abbidv 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) }  =  { x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) } )
125 df-rab 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
) }
126 imaco 5502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )
127 abid2 2583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }  =  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )
128126, 127eqtr4i 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  {
x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }
129124, 125, 1283eqtr4g 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  =  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )
130129difeq2d 3607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )  =  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
131102, 130syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
132 difss 3616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  A
133132, 98syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
134131, 133jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
)
135 ovolssnul 21875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) )  =  0 )
1361353expa 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
137134, 136sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
138 nulmbl 21923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )  ->  ( U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
139100, 137, 138syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
140 difmbl 21930 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol  /\  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14191, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14254, 141syl5eqelr 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  e.  dom  vol )
143 ssrab2 3570 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) }  C_  A
144143, 98syl5ss 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
145144adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
146126eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } )  <-> 
x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) )
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148121, 147syl5rbb 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
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149115, 148sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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153152adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( -.  F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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156154, 155syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
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157156, 133jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
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1591583expa 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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topGen `  ran  (,) )t  A
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( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
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)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U_ciun 4315   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    _E cep 4779   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   "cima 4992    o. ccom 4993   Rel wrel 4994    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   RRcr 9494   0cc0 9495   (,)cioo 11539   ↾t crest 14799   topGenctg 14816   Topctop 19371  TopOnctopon 19372   TopBasesctb 19375    CnP ccnp 19703   vol*covol 21851   volcvol 21852  MblFncmbf 22000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cnp 19706  df-cmp 19864  df-ovol 21853  df-vol 21854  df-mbf 22005
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