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Theorem cnambfre 28445
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
21feqmptd 5749 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
32cnveqd 5020 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) )
43imaeq1d 5173 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
54ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) " b ) )
6 exmid 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  \/  -.  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)
76biantrur 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b ) )
8 andir 863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  \/  -.  F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) ) )
97, 8bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  b  <->  ( ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) )
10 retopbas 20344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
11 bastg 18576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
1312sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ran  (,)  ->  b  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
15 cnpimaex 18865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  b  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  ( F `  x
)  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
16153com12 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
17163expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) )
1814, 17sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  /\  ( F `  x )  e.  b )  ->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) )
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
20 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F " y )  C_  b
)
21 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  Fn  A )
23 restsspw 14375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  C_  ~P A
2423sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  e.  ~P A )
2524elpwid 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  y  C_  A )
26 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  ->  x  e.  y )
27 fnfvima 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  C_  A  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y
) )
2822, 25, 26, 27syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
29283expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " y ) )
3020, 29sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  b )
3130rexlimdvaa 2847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3231ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b )  ->  ( F `  x )  e.  b ) )
3319, 32impbid 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  b  <->  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3433pm5.32da 641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) ) )
35 r19.42v 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  <-> 
( F  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) ) )
3634, 35syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  <->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) ) )
3736orbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b )  \/  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) )  <->  ( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
389, 37syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR  /\  A  e. 
dom  vol )  /\  b  e.  ran  (,) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  b  <-> 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) ) )
3938rabbidva 2968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) } )
40 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
4140mptpreima 5336 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " b
)  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  b }
42 unrab 3626 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } )  =  {
x  e.  A  | 
( E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )  \/  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) ) }
4339, 41, 423eqtr4g 2500 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) ) "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
445, 43eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol )  /\  b  e. 
ran  (,) )  ->  ( `' F " b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
45443adantl3 1146 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  A  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  /\  b  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F "
b )  =  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  u.  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) } ) )
46 incom 3548 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
47 dfin4 3595 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  i^i  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  =  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
48 inrab 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  ( { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) } )
5049iuneq2i 4194 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
51 iunin2 4239 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )
52 iunrab 4222 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  ( F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5350, 51, 523eqtr3i 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  i^i  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) } )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
5446, 47, 533eqtr3i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }
55 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  y 
<->  { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F
" y )  C_  b ) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
56 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  if ( ( F
" y )  C_  b ,  y ,  (/) )  ->  ( {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  {
x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) ) ) )
57 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) )  ->  x  e.  y )
5825adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  y  C_  A )
5958sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  A )
60 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " y
)  C_  b  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
6160adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) )
6259, 61jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  /\  x  e.  y )  ->  (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
) )
6357, 62impbida 828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)  <->  x  e.  y
) )
6463abbidv 2562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) ) }  =  { x  |  x  e.  y } )
65 df-rab 2729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) ) }
66 cvjust 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  =  { x  |  x  e.  y }
6764, 65, 663eqtr4g 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  ( F " y )  C_  b
)  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  y )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b )  -> 
( F " y
)  C_  b )
6968con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  -.  ( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) )
7069ralrimivw 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
71 rabeq0 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ( x  e.  y  /\  ( F " y
)  C_  b )
)
7270, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F " y
)  C_  b  ->  { x  e.  A  | 
( x  e.  y  /\  ( F "
y )  C_  b
) }  =  (/) )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  -.  ( F " y )  C_  b )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  (/) )
7455, 56, 67, 73ifbothda 3829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  ->  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) ) )
7574iuneq2i 4194 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }  =  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )
76 retop 20345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
77 resttop 18769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
7876, 77mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top )
79 0opn 18522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Top  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
81 ifcl 3836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  /\  (/)  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8281ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
(/)  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  /\  y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8380, 82sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  if ( ( F "
y )  C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) )
8483ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
85 iunopn 18516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) )
8678, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
87 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
8887subopnmbl 21089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) if ( ( F " y
)  C_  b , 
y ,  (/) )  e. 
dom  vol )
8986, 88mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) if ( ( F " y ) 
C_  b ,  y ,  (/) )  e.  dom  vol )
9075, 89syl5eqel 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol )
92 difss 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) }
93 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9493rgenw 2788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
95 iunss 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A 
<-> 
A. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A )
9694, 95mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
C_  A
9792, 96sstri 3370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  A
98 mblss 21019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
9997, 98syl5ss 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
10099adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  RR )
101 ssdif 3496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  C_  A  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )
103 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
^m  A )  e. 
_V
104103rabex 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) }  e.  _V
105 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR 
^m  A )  | 
A. b  e.  (
topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } )
106104, 105fnmpti 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
107 retopon 20347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
108 resttopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
109107, 98, 108sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  (TopOn `  A ) )
110 cnpfval 18843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( topGen `
 ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen `  ran  (,) )
( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( x  e.  y  /\  ( f
" y )  C_  b ) ) } ) )
111109, 107, 110sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } ) )
112111fneq1d 5506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  { f  e.  ( RR  ^m  A )  |  A. b  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) ( ( f `  x )  e.  b  ->  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) ( x  e.  y  /\  (
f " y ) 
C_  b ) ) } )  Fn  A
) )
113106, 112mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A )
114 elpreima 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Fn  A  -> 
( x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) ) )
116 rele 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  _E
117 elrelimasn 5198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
_E  ->  ( ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } )  <->  F  _E  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
119 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  _V
120119epelc 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  _E  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) )
121118, 120bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  <->  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) )
122121anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  e.  (  _E  " { F } ) ) )
123115, 122syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( x  e.  A  /\  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
)  <->  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) ) )
124123abbidv 2562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  |  ( x  e.  A  /\  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) ) }  =  { x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) } )
125 df-rab 2729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )
) }
126 imaco 5348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) )
127 abid2 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  x  e.  ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }  =  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) )
128126, 127eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } )  =  {
x  |  x  e.  ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) "
(  _E  " { F } ) ) }
129124, 125, 1283eqtr4g 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  |  F  e.  ( (
( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) }  =  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )
130129difeq2d 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } )  =  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
131102, 130syl5sseq 3409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  C_  ( A  \  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )
132 difss 3488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  A
133132, 98syl5ss 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  \  ( ( `' ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
134131, 133jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )
)
135 ovolssnul 20975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) )  =  0 )
1361353expa 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  ( A  \ 
( ( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  /\  ( A 
\  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } ) )  C_  RR )  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
137134, 136sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )
138 nulmbl 21022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A ) { x  e.  A  |  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) } 
\  { x  e.  A  |  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x ) } ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  =  0 )  ->  ( U_ y  e.  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
139100, 137, 138syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )
140 difmbl 21029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  e.  dom  vol  /\  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ y  e.  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14191, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  -> 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \ 
( U_ y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) { x  e.  A  |  ( x  e.  y  /\  ( F " y )  C_  b ) }  \  { x  e.  A  |  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x ) } ) )  e. 
dom  vol )
14254, 141syl5eqelr 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) ( F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  (
x  e.  y  /\  ( F " y ) 
C_  b ) ) }  e.  dom  vol )
143 ssrab2 3442 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  (
( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  x )  /\  ( F `  x
)  e.  b ) }  C_  A
144143, 98syl5ss 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  { x  e.  A  | 
( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
145144adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( A  \  (
( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  { x  e.  A  |  ( -.  F  e.  ( ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  CnP  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  x )  /\  ( F `  x )  e.  b ) }  C_  RR )
146126eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
)  o.  _E  ) " { F } )  <-> 
x  e.  ( `' ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  CnP  ( topGen `
 ran  (,) )
) " (  _E  " { F } ) ) )
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148121, 147syl5rbb 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
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( `' ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
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)  o.  _E  ) " { F } ) ) )  =  0 )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    \ cdif 3330    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   ~Pcpw 3865   {csn 3882   U_ciun 4176   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    _E cep 4635   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848    o. ccom 4849   Rel wrel 4850    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   RRcr 9286   0cc0 9287   (,)cioo 11305   ↾t crest 14364   topGenctg 14381   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   TopBasesctb 18507    CnP ccnp 18834   vol*covol 20951   volcvol 20952  MblFncmbf 21099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cnp 18837  df-cmp 18995  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104
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