MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddablo Structured version   Unicode version

Theorem cnaddablo 23982
Description: Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddablo  |-  +  e.  AbelOp

Proof of Theorem cnaddablo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9467 . . 3  |-  CC  e.  _V
2 ax-addf 9465 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 addass 9473 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
4 0cn 9482 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addid2 9656 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
6 negcl 9714 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
7 addcom 9659 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u x  e.  CC )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
86, 7mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  ( -u x  +  x )
)
9 negid 9760 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
108, 9eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10isgrpoi 23830 . 2  |-  +  e.  GrpOp
122fdmi 5665 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
13 addcom 9659 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1411, 12, 13isabloi 23920 1  |-  +  e.  AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758    X. cxp 4939  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386    + caddc 9389   -ucneg 9700   AbelOpcablo 23913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-addf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701  df-neg 9702  df-grpo 23823  df-ablo 23914
This theorem is referenced by:  cnid  23983  addinv  23984  readdsubgo  23985  zaddsubgo  23986  efghgrp  24005  cnrngo  24035  cncvc  24106  cnnv  24212  cnnvba  24214  cncph  24364
  Copyright terms: Public domain W3C validator