MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddablo Structured version   Unicode version

Theorem cnaddablo 23788
Description: Complex number addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnaddablo  |-  +  e.  AbelOp

Proof of Theorem cnaddablo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9355 . . 3  |-  CC  e.  _V
2 ax-addf 9353 . . 3  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 addass 9361 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
4 0cn 9370 . . 3  |-  0  e.  CC
5 addid2 9544 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
6 negcl 9602 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
7 addcom 9547 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u x  e.  CC )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
86, 7mpdan 668 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  ( -u x  +  x )
)
9 negid 9648 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
108, 9eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10isgrpoi 23636 . 2  |-  +  e.  GrpOp
122fdmi 5559 . 2  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
13 addcom 9547 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1411, 12, 13isabloi 23726 1  |-  +  e.  AbelOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    X. cxp 4833  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277   -ucneg 9588   AbelOpcablo 23719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-addf 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-grpo 23629  df-ablo 23720
This theorem is referenced by:  cnid  23789  addinv  23790  readdsubgo  23791  zaddsubgo  23792  efghgrp  23811  cnrngo  23841  cncvc  23912  cnnv  24018  cnnvba  24020  cncph  24170
  Copyright terms: Public domain W3C validator