Theorem cnaddablNEW 17139

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddablxNEW 17140 hides the explicit structure i.e. is "scaffold-independent". The actual explicit structure is dependent on how Struct (df-struct 16708) is defined.

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl2.1NEW	|- G = StrBldr(2, g, ((base` g) = CC /\ (+g` g) = + ))

Assertion

Ref	Expression
cnaddablNEW	|- G e. AbelNEW

Proof of Theorem cnaddablNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnex 6419	. . . 4 |- CC e. _V
2		addex 6470	. . . 4 |- + e. _V
3		cnaddabl2.1NEW	. . . 4 |- G = StrBldr(2, g, ((base` g) = CC /\ (+g` g) = + ))
4	1, 2, 3	grpstr 17097	. . 3 |- G e. Struct(2, g, T. )
5		stbex 16728	. . . . . 6 |- StrBldr(2, g, ((base` g) = CC /\ (+g` g) = + )) e. _V
6	3, 5	eqeltri 1967	. . . . 5 |- G e. _V
7	6	baseval 16769	. . . 4 |- (base` G) = (G` 1)
8		visset 2295	. . . . . . . 8 |- g e. _V
9	8	baseval 16769	. . . . . . 7 |- (base` g) = (g` 1)
10	9	eqeq1i 1891	. . . . . 6 |- ((base` g) = CC <-> (g` 1) = CC)
11	8	plusgval 17096	. . . . . . 7 |- (+g` g) = (g` 2)
12	11	eqeq1i 1891	. . . . . 6 |- ((+g` g) = + <-> (g` 2) = + )
13	10, 12	anbi12i 540	. . . . 5 |- (((base` g) = CC /\ (+g` g) = + ) <-> ((g` 1) = CC /\ (g` 2) = + ))
14	1, 2, 13, 3	stb2val1 16735	. . . 4 |- (G` 1) = CC
15	7, 14	eqtr2i 1909	. . 3 |- CC = (base` G)
16	6	plusgval 17096	. . . 4 |- (+g` G) = (G` 2)
17	1, 2, 13, 3	stb2val2 16736	. . . 4 |- (G` 2) = +
18	16, 17	eqtr2i 1909	. . 3 |- + = (+g` G)
19		axaddcl 6424	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) e. CC)
20		axaddass 6430	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC) -> ((x + y) + z) = (x + (y + z)))
21		0cn 6481	. . 3 |- 0 e. CC
22		addid2 6482	. . 3 |- (x e. CC -> (0 + x) = x)
23		negcl 6525	. . 3 |- (x e. CC -> -ux e. CC)
24		addcom 6458	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ -ux e. CC) -> (x + -ux) = (-ux + x))
25	23, 24	mpdan 768	. . . 4 |- (x e. CC -> (x + -ux) = (-ux + x))
26		negid 6536	. . . 4 |- (x e. CC -> (x + -ux) = 0)
27	25, 26	eqtr3d 1927	. . 3 |- (x e. CC -> (-ux + x) = 0)
28	4, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 27	isgrpiNEW 17115	. 2 |- G e. GrpNEW
29		axaddcom 6428	. 2 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x + y) = (y + x))
30	28, 15, 18, 29	isabliNEW 17136	1 |- G e. AbelNEW

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389  -ucneg 6446  2c2 7145  StrBldrccstr 16724  basecbs 16758  +_gcplusg 17080  AbelNEWcabel 17084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-struct 16708  df-strbldr 16725  df-base 16768  df-plusg 17088  df-grpNEW 17089  df-ablNEW 17092

Copyright terms: Public domain