MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddabl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnaddabl 17507
Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddablx 17506 hides the explicit structure indices i.e. is "scaffold-independent". Note that the proof also does not reference explicit structure indices. The actual structure is dependent on how  Base and  +g is defined. This theorem should not be referenced in any proof. For the group/ring properties of the complex numbers, see cnring 18990. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddabl.g  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. }
Assertion
Ref Expression
cnaddabl  |-  G  e. 
Abel

Proof of Theorem cnaddabl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9620 . . . 4  |-  CC  e.  _V
2 cnaddabl.g . . . . 5  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. }
32grpbase 15237 . . . 4  |-  ( CC  e.  _V  ->  CC  =  ( Base `  G
) )
41, 3ax-mp 5 . . 3  |-  CC  =  ( Base `  G )
5 addex 11300 . . . 4  |-  +  e.  _V
62grpplusg 15238 . . . 4  |-  (  +  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  G
) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  +  =  ( +g  `  G )
8 addcl 9621 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
9 addass 9626 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
10 0cn 9635 . . 3  |-  0  e.  CC
11 addid2 9816 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  x )  =  x )
12 negcl 9875 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  e.  CC )
13 addcom 9819 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u x  e.  CC )  ->  ( x  +  -u x )  =  (
-u x  +  x
) )
1412, 13mpdan 674 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  ( -u x  +  x )
)
15 negid 9921 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  +  -u x
)  =  0 )
1614, 15eqtr3d 2487 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u x  +  x )  =  0 )
174, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16isgrpi 16692 . 2  |-  G  e. 
Grp
18 addcom 9819 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
1917, 4, 7, 18isabli 17444 1  |-  G  e. 
Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   {cpr 3970   <.cop 3974   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539    + caddc 9542   -ucneg 9861   ndxcnx 15118   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   Abelcabl 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-cmn 17432  df-abl 17433
This theorem is referenced by:  cnaddcom  32538
  Copyright terms: Public domain W3C validator